2.3直线的交点坐标与距离公式【十大考点】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.3直线的交点坐标与距离公式 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离 公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点三　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【例题详解】 题型一、求相交直线的交点坐标 【例1】．（25-26高二上·江苏连云港）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【分析】设与平行的直线方程为，求出两直线交点的坐标并代入即可求得结果. 【详解】设与平行的直线方程为， 联立，解得， 又因为点在直线上，即， 解得. 所以直线方程为. 故答案为： 【变式1】．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知直线过两条直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为(结果用一般式表示) ． 【答案】 【分析】由题意可得直线过点，且斜率为，由点斜式求解即可. 【详解】解：由，可得， 即所求直线过点， 又因为所求直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即. 故答案为： 【变式2】．（24-25高二上·天津·阶段练习）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为 . 【答案】 【分析】求出直线与的交点坐标为，利用垂直关系求得斜率为，再由直线的点斜式方程可得结果. 【详解】联立两条直线方程，解得， 即交点坐标为； 易知直线的斜率为，可得所求直线的斜率为； 由直线的点斜式方程可得，即. 故答案为： 题型二：直线交点参数问题 【例2】．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知两直线，．若直线与，不能构成三角形，求实数 ． 【答案】或或 【分析】分别讨论或或过与的交点时，即可求解. 【详解】由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：； ②当时，不能构成三角形，此时：，解得：； ③当过与的交点时，不能构成三角形，此时： 联立与，得，解得， 所以与过点，将代入得：，解得； 综上：当或或时，不能构成三角形. 故答案为：或或. 【变式2】．（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 【答案】 【分析】先求出直线在轴、轴的交点，再结合直线的斜率公式与图形，即可求解． 【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ，，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 故答案为：． 题型三、两点间的距离问题 【例3】．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则 ． 【答案】13 【分析】根据题意结合直线方程可得，再利用两点间距离公式运算求解. 【详解】因为，在直线上，则，． 又因为，则， 所以． 故答案为：13. 【变式1】．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求 . 【答案】 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与交于点，若点到坐标原点的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】求出直线的交点坐标，再利用两点间距离公式求出即可得解. 【详解】由，解得，即， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 故答案为：或 题型四、两点间的距离求函数最值问题 【例4】．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为： 【变式1】．（23-24高二上·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【分析】由函数的几何意义为点至和的距离之和，结合图形即可求得. 【详解】函数， 即为点至和的距离之和， 点关于轴对称的点为， 所以, 由图形易得最小值为. 故答案为: . 【变式2】．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案. 【详解】即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，则， ∴ ， 当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立， 故答案为：5. 题型五、点到直线的距离或参数问题 【例5】．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（    ） A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由题可知，解得或7． 故选：D. 【变式1】．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C 题型六、两平行线间的距离问题 【例6】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）直线与之间的距离为（   ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，利用两平行线之间的距离公式，即可求解. 【详解】由直线与，可得与平行， 根据两平行线间的距离公式，可得． 即直线与的距离为. 故选：A. 【变式1】．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【答案】D 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为，所以直线与直线间的距离为， 解得或， 因为，所以. 故选：D. 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 【答案】A 【分析】根据题意，结合两平行线间的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为两条平行直线与之间的距离为， 由两平行线间的距离公式，可得，解得或． 故选：A. 题型七、求点关于直线对称问题 【例7】．（25-26高二上·河北邯郸·阶段练习）在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则解得即，关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故选：C. 【变式1】．（25-26高二上·江西·阶段练习）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由光学知识可知点关于轴的对称点在反射光线上，利用两点坐标写出直线方程即可. 【详解】由题知，点关于轴的对称点在反射光线上， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：B. 【变式2】．（25-26高二上·河南·阶段练习）设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求出点关于轴的对称点，关于直线的对称点，将折线转化为直线，通过两点之间线段最短求解即可. 【详解】如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，    易得的坐标为，设点的坐标为，则，解得， 所以，因为，，所以的周长为， 所以当、、、四点共线时，的周长最小，最小值为． 故选：A 题型八、求直线关于直线对称问题 【例8】．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 【变式1】．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故反射光线过点与点， 则反射光线所在直线的方程为，即． 故选：D． 【变式2】．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 题型九、直线关于点、直线对称问题 【例9】．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 【变式1】．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 【变式2】．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 题型十、交点与距离的综合应用问题 【例10】．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知的两顶点坐标为是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程； (3)求过点，且到距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】 （1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用两点式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. （3）当过中点时由两点式可得，与平行时由点斜式可得. 【详解】（1）因为是边的中点，由中点坐标公式可得， 由两点式可得，整理可得. （2）因为是边上的高，结合上问结论可知：， ，所以， 因此高所在直线的方程为：，即. （3）由题意可得当所求直线过的中点， 所以由两点式可得，整理可得； 当所求直线平行于时，其斜率为，由点斜式可得， 整理可得. 综上，所求直线方程为和. 【变式1】．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B． (1)求a的值； (2)若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； (3)若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角与的终边相同， 因为直线的斜率为，所以， ， 所以，所以． （2）由已知可得， 当直线经过点时，，即， 当直线经过点时，，即， 所以当点在直线的两侧时，． （3）直线关于直线对称，则的交点在上， 由已知可知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 因为在上，关于的对称点在上，设， 由得，即， 由的中点在上，得，即， 代入得，解得． 【变式2】．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）在直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，直线与线段交于点，与轴交于点. (1)求与平行且距离为的直线的方程； (2)若与在某种对应方式下相似，求实数的值； (3)若点满足为等腰直角三角形，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)若，；若， (3)或或 【分析】（1）根据直线平行，设出方程，然后根据平行线间的距离公式，即可求解； （2）根据图形，与有两种相似情况，分别求解即可； （3）分三种情况利用向量表示直线垂直，以及线段相等列方程组，分别求解即得. 【详解】（1）设与平行的直线方程为， 则，解得或， 即所求直线方程为或. （2）由题知，点坐标为， 若，则，即，解得；若，则， 即，解得.故若，；若，. （3）由题知，，点坐标为， 则，若为直角，则，解得； 若为直角，则，即，解得或（舍去）；若为直角，则，即，解得.综上，若点满足为等腰直角三角形，则或或. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程组得交点坐标，再由直线过原点即可求解. 【详解】由题，解得，则交点为， 又因直线过原点，所以直线斜率为，则直线方程为，即，故B正确. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏·阶段练习）两条直线，之间的距离为（   ） A． B． C． D．13 【答案】A 【分析】根据平行线之间的距离公式即可求解. 【详解】直线可化为，所以两平行线之间的距离. 故选：A 3．（25-26高二上·北京·阶段练习）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 4．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）两条平行直线与之间的距离为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线与平行，所以， 直线即， 所以两条平行直线之间的距离为. 故选：C. 5．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 6．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点到直线上的距离，再由直线平行即可求解. 【详解】， 设点到直线上的距离为，则，则， 直线的方程为，即， 所以动点的轨迹是与平行的直线， 设直线方程为，则4， 解得或12，则动点的轨迹方程为或． 故选：D． 7．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先求出两平行线间的距离，再根据截得线段的长度求出直线与平行线的夹角，最后结合平行线的倾斜角，即可得出所求直线的倾斜角. 【详解】因为直线与平行，所以两直线之间的距离， 设直线与两平行线的夹角为，则有，即夹角，又的斜率为，则其倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 8．（25-26高二上·北京·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解出的长度. 【详解】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设，    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 故选：D. 9．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案. 【详解】直线，由，解得，则直线过定点， 所以点P到直线l的距离d的最大值为. 故选：A 10．（25-26高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.    二、多选题 11．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线：，：（），则（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为2 【答案】AB 【分析】将直线变形为即可求解定点坐标，进而可判断A；将直线化为斜截式方程，再根据两直线垂直和平行满足的关系判断BC；根据两平行线间距离公式可判断D. 【详解】将直线的方程变形为， 由 ，则，因此直线过定点，故A正确； 当时，，， 斜率相等，纵截距不等，故两直线平行，故B正确； 当时，，：， 因斜率之积不为，故两直线不垂直，故C错误； 当时，则满足，解得， 此时：，：，则两直线间的距离为，故D错误． 故选：AB． 12．（25-26高二上·浙江温州·阶段练习）对于直线，下列说法正确的有（   ） A．直线 过点 B．直线 与直线垂直 C．直线 的一个方向向量为 D．原点到直线的距离为1 【答案】ABC 【分析】点代入直线可判断A；利用两直线垂直的充要条件可判断B；利用直线的方向向量和斜率的关系可判断C；利用点到直线的距离公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为满足方程，所以直线l过点，故A正确； 对于B，直线斜率为，直线斜率为1，所以直线与直线垂直，故B正确； 对于C，直线的一个方向向量为，则斜率为，故C正确； 对于D，原点到直线的距离为，故D错误. 故选：ABC 13．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点与交于点，则（   ） A．点坐标为 B． C．与的方向向量的数量积为1 D．面积的最大值为 【答案】BD 【分析】根据直线方程确定定点坐标，结合两点距离公式判断A、B；由直线垂直的判定得，进而可得两直线方向向量的数量积，即可判断C；根据分析得，由勾股定理得，再应用基本不等式求三角形面积的最大值判断D. 【详解】对于A，由显然恒过，错误； 对于B，将化为恒过定点，故，正确； 对于C，由，则两条直线垂直，垂足为，故， 故与的方向向量的数量积为0，错误； 对于D，由A、B分析有，由勾股定理知， 故的面积，当且仅当时等号成立，正确． 故选：BD 14．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A．当时， B．若，则，间的距离为 C．当时， D．原点到的距离的最大值为 【答案】BD 【分析】根据直线一般式中平行和垂直满足的系数关系即可求解AC,结合距离公式即可求解BD. 【详解】对于A，当时， ，两直线重合，错误； 对于B，若 ，则，解得或.当时，重合， 当时， ，∴的方程为，的方程为，间的距离为，正确； 对于C，当时，则，解得或，故C错误， 对于D，由，可得恒过点，所以原点到的距离的最大值为，正确； 故选：BD. 15．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1 C．若直线不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】求出过的定点判断A，当时，求出直线l的横纵截距计算判断B，根据的取值情况判断C；求出原点到定点的距离即判断D. 【详解】可变形为， 由，得所以直线l恒过点，故A正确； 当时，直线方程为，在x，y轴上的截距分别为1，1， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B不正确； 当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确； 因为直线l过定点，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确． 故选：AD 三、填空题 16．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）直线关于直线对称的直线的方程是 . 【答案】 【分析】法1，求出直线与的交点坐标，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算得解；法2，利用直线关于特殊直线对称结论求解. 【详解】（方法1）联立，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以关于直线对称的直线为：，即. 故答案为：. 17．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）一条光线从射出，经y轴后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】设关于轴的对称点， 则有，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为：. 18．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，是直线上的两点，若，则 【答案】 【分析】由两点间的距离公式可求解. 【详解】因为，是直线上的两点， 所以，． 根据两点间的距离公式，得 ， 解得. 故答案为： 19．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值. 【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B的坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得, 即，解得，当且仅当时取得最大值. 故答案为：4 20．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是 ，对应点的坐标是 ． 【答案】 4 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，所以直线的方程为， 联立：，解得，所以点， 故答案为：4；    21．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】根据动点，满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线：与：上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离. 故答案为： 四、解答题 22．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知直线：和直线：. (1)求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； (2)若，求两直线与间的距离. 【答案】(1)定点，距离为 (2) 【分析】先求出直线的定点，再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线之间的距离公式即可得到答案. 【详解】（1）直线：恒过定点， 定点到直线的距离为. （2）由，则，即， 此时：，即，：，满足， 则两直线与间的距离为. 23．（25-26高二上·宁夏·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线的方程； (2)已知点.求线段的垂直平分线的方程； (3)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）联立直线，方程可得交点M坐标，然后由题设所求直线方程为：，代入坐标可得答案； （2）由垂直平分线定义，结合直线AB斜率及线段AB中点坐标可得答案； （3）分直线过原点与不过两种情况，对于直线不过原点时，设满足题意直线方程为：，由题及可得答案. 【详解】（1），则交点为. 又所求直线与平行，设所求直线方程为：， 代入，得，则所求方程为：. （2）由题，直线AB斜率为：， 则所求直线斜率为：， 又所求直线过线段AB中点，即过点，即， 则所求直线方程为：. （3）当直线过原点时，显然满足条件，此时方程为：； 当直线不过原点，设满足题意的直线方程为：. 则，则方程为：. 则所求直线方程为：或. 24．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，BC边上的高所在的直线方程为的平分线所在的直线方程为，若点B的坐标为，求 (1)点A的坐标和直线AC的方程； (2)直线BC的方程和点C的坐标； (3)的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）联立即可求出点坐标，再利用对称性求出直线的斜率，利用点斜式求方程； （2）先求出直线的斜率，利用点斜式求方程，再与直线联立，即可求出点； （3）利用两点间距离公式求出的边长，再利用余弦定理即可. 【详解】（1）联立，得，即， 又，则， 因为的平分线所在的直线方程为， 则， 所以所在直线方程为， 即； （2）BC边上的高所在的直线方程为，斜率为， 则直线的斜率为，则直线BC的方程为，即， 联立，得，即； （3）因为，，， 则，，， 在中由余弦定理得. 25．（25-26高二上·天津静海·阶段练习）已知直线和点. (1)在直线上求一点，使的值最小； (2)直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程. (3)已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由位于直线两侧，可知点即直线与直线交点； （2）直线与直线的位置关系有两种，讨论求方程； （3）由中线求出点坐标，由角平分线求出点A的对称点，由、求直线方程. 【详解】（1）将点坐标代入直线方程得，将点坐标代入直线方程得， 所以点和在直线的两侧， 的最小值为的长度，此时为与的交点. 斜率，的直线方程： ，即. 由，解得故； （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线.因为直线斜率为3，故方程为，即. ②直线过中点.中点为，又直线经过点，所以直线方程为. 综上，直线的方程为或. （3）设（因在角平分线上），则中点. 中线过，代入得， 解得，故. 设关于的对称点则，解得， 所以，由角平分线性质知在上. 因为，所以直线方程为， 整理得. 26．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求得，由点斜式求得直线的方程； （2）设点，得线段的中点的坐标，将其代入直线的方程，将点代入直线的方程，分别可得的方程，求解得坐标，求出点关于直线对称点，由三点共线求出，进而可得直线的方程． 【详解】（1）∵直线的方程为，其斜率为， ∵，∴，又， ∴由点斜式得直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称点为， 则，得，即， 因三点共线，则， 所以直线所在的直线方程为，即． 27．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知为坐标原点，过点的直线分别交与于，两点. (1)当直线的斜率为时，求的面积； (2)设点的坐标为，用实数表示点的坐标，并写出实数的取值范围； (3)求的周长的最小值. 【答案】(1) (2)点坐标为， (3) 【分析】（1）写出直线l的方程，分别与与联立，求得，，可判断，从而； （2）设，则，由于三点共线，，可求得点坐标， 由于在第一象限，在第四象限，求得； （3）由（2）可知，，，求得，，，进而得的周长，令，则，然后利用基本不等式求解最小值. 【详解】（1）因为直线l的斜率为，且l过点， 故l方程为，即. 由所以，, 又因为所以，, 因为，所以， 故. （2）设，由于在射线上，则.，由于三点共线，，则， 解得， 所以点坐标为.由于在第一象限，在第四象限，故，解得. （3）由（2）可知，，， 则，，因为，所以， 所以， 所以的周长， 令， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 故周长的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3直线的交点坐标与距离公式 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离 公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点三　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【例题详解】 题型一、求相交直线的交点坐标 【例1】．（25-26高二上·江苏连云港）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 【变式1】．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知直线过两条直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为(结果用一般式表示) ． 【变式2】．（24-25高二上·天津·阶段练习）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为 . 题型二：直线交点参数问题 【例2】．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为 ． 【变式1】．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知两直线，．若直线与，不能构成三角形，求实数 ． 【变式2】．（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 题型三、两点间的距离问题 【例3】．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则 ． 【变式1】．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求 . 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与交于点，若点到坐标原点的距离为，则点的坐标为 ． 题型四、两点间的距离求函数最值问题 【例4】．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 【变式1】．（23-24高二上·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 【变式2】．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 题型五、点到直线的距离或参数问题 【例5】．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（    ） A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7 【变式1】．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 题型六、两平行线间的距离问题 【例6】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）直线与之间的距离为（   ） A． B． C．2 D．2 【变式1】．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 题型七、求点关于直线对称问题 【例7】．（25-26高二上·河北邯郸·阶段练习）在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·江西·阶段练习）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·河南·阶段练习）设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型八、求直线关于直线对称问题 【例8】．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 题型九、直线关于点、直线对称问题 【例9】．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【变式1】．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【变式2】．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 题型十、交点与距离的综合应用问题 【例10】．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知的两顶点坐标为是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程； (3)求过点，且到距离相等的直线的方程. 【变式1】．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B． (1)求a的值； (2)若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； (3)若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 【变式2】．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）在直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，直线与线段交于点，与轴交于点. (1)求与平行且距离为的直线的方程； (2)若与在某种对应方式下相似，求实数的值； (3)若点满足为等腰直角三角形，求实数的值. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·阶段练习）两条直线，之间的距离为（   ） A． B． C． D．13 3．（25-26高二上·北京·阶段练习）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）两条平行直线与之间的距离为（   ） A．6 B．5 C． D． 5．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（   ） A． B．或 C． D．或 8．（25-26高二上·北京·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 9．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 11．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线：，：（），则（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为2 12．（25-26高二上·浙江温州·阶段练习）对于直线，下列说法正确的有（   ） A．直线 过点 B．直线 与直线垂直 C．直线 的一个方向向量为 D．原点到直线的距离为1 13．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点与交于点，则（   ） A．点坐标为 B． C．与的方向向量的数量积为1 D．面积的最大值为 14．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A．当时， B．若，则，间的距离为 C．当时， D．原点到的距离的最大值为 15．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1 C．若直线不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线的距离的最大值为 三、填空题 16．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）直线关于直线对称的直线的方程是 . 17．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）一条光线从射出，经y轴后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 18．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，是直线上的两点，若，则 19．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为 ． 20．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是 ，对应点的坐标是 ． 21．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为 . 四、解答题 22．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知直线：和直线：. (1)求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； (2)若，求两直线与间的距离. 23．（25-26高二上·宁夏·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线的方程； (2)已知点.求线段的垂直平分线的方程； (3)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等. 24．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，BC边上的高所在的直线方程为的平分线所在的直线方程为，若点B的坐标为，求 (1)点A的坐标和直线AC的方程； (2)直线BC的方程和点C的坐标； (3)的值． 25．（25-26高二上·天津静海·阶段练习）已知直线和点. (1)在直线上求一点，使的值最小； (2)直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程. (3)已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程； 26．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 27．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知为坐标原点，过点的直线分别交与于，两点. (1)当直线的斜率为时，求的面积； (2)设点的坐标为，用实数表示点的坐标，并写出实数的取值范围； (3)求的周长的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $