第12章 概率初步（单元测试·提升卷）高二数学沪教版2020必修第三册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第12章 概率初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个 ． 2．已知某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，则该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为 ． 3．若事件、互斥，则 ． 4．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则 . 5．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 . 6．已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则 ． 7．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有 个． 8．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 9．已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 10．事件都没有发生的概率为，则事件至少有一个发生的概率为 ． 11．将一枚均匀的硬币连续抛掷 次，以 表示没有出现连续 3 次正面的概率，则 的递推关系式为 . 12．已知集合.现独立地随机选取集合的两个非空子集A、B（A与B可以相同），集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素的概率为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 14．已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 15．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为、．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（    ） A． B． C． D． 16．设A，B为两个随机事件， ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. 以上4个命题，正确的序号选项为（    ）. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）抛掷一颗均匀的骰子，设事件表示“点数为奇数”，事件表示“点数不超过2”. (1)用列举法写出一个等可能得样本空间，并求； (2)再抛掷一次骰子，设事件表示“两次点数的差的绝对值不小于4”，用描述法写出一个等可能的样本空间，并求. 18．（14分）已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. (1)分别求事件、事件的概率； (2)求事件、事件至少一个发生的概率. 19．（14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，． (1)用卡片上的数字列出所有可能的结果； (2)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； (3)求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率 20．（18分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求； (3)若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证C、D是独立的. 21．（18分）已知甲和乙分别依次各抛掷次和次同一枚质地均匀的硬币，甲和乙每次抛硬币均互不影响. (1)若，设事件：甲抛掷的3次硬币中至少1次正面；事件B：甲抛掷的3次硬币中有且仅有第二次是反面，判断事件和事件是否是独立的，并说明理由； (2)若，若甲在第次抛掷的结果与乙在第次抛掷的结果相同，则称甲和乙“有灵犀”，求在此情况下，甲和乙“心有灵犀”有且仅有2次的概率； (3)若，求甲抛掷次硬币的正面数比乙抛掷次硬币的正面数多的概率. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第12章 概率初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个 ． 【答案】7 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为：. 2．已知某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，则该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为 ． 【答案】 【详解】因为游戏玩家第一关通过的概率为0.9，第二关通过的概率为0.7， 所以游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为： . 故答案为：0.63. 3．若事件、互斥，则 ． 【答案】0 【详解】因为事件、互斥， 所以 ， 故答案为：0 4．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则 . 【答案】 【详解】由题意事件A与B互斥，它们都不发生的概率是， 则，结合， 可得，即，可得， 故， 故答案为： 5．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 . 【答案】 【详解】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为， 故答案为： 6．已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则 ． 【答案】 【详解】因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立， 又，， 所以， 所以. 故答案为： 7．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有 个． 【答案】3 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. 8．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 【答案】 【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 故答案为：. 9．已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 【答案】 【详解】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 10．事件都没有发生的概率为，则事件至少有一个发生的概率为 ． 【答案】 【详解】由都没有发生与至少一个发生互为对立事件， 所以事件至少有一个发生的概率为. 故答案为： 11．将一枚均匀的硬币连续抛掷 次，以 表示没有出现连续 3 次正面的概率，则 的递推关系式为 . 【答案】 【详解】共分三种情况：①如果第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，这个时候不出现连续三次正面的概率是; ②如果第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，这个时候不出现连续三次正面的概率是; ③如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，这时候不出现三次连续正面的概率是； 所以. 故答案为： 12．已知集合.现独立地随机选取集合的两个非空子集A、B（A与B可以相同），集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素的概率为 . 【答案】 【详解】集合的非空子集有个，则随机选取集合的两个非空子集A、B的总情况数为. 若集合B中的最小元素为5，则.则集合A 可为集合的非空子集，共； 若集合B中的最小元素为4，则或.则集合A 可为集合的非空子集，为； 若集合B中的最小元素为3，则为含有元素3的的子集，有种情况. 则集合A 可为集合的非空子集，为； 若集合B中的最小元素为2，则为含有元素2的的子集，有种情况. 此时集合A只能为. 故集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素的总情况数为：.则对应概率为：. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【答案】A 【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件； 三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件； 实数a，b都不为0，则，③是不可能事件； 某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件， 所以在给定的4个事件中，①④是随机事件. 故选：A 14．已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 【答案】C 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 15．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为、．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为每一关都有两次闯关机会，所以通过第一关的总概率为： . 通过第二关的总概率为： . 所以选手能进入第三关的概率为： . 故选：D. 16．设A，B为两个随机事件， ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. 以上4个命题，正确的序号选项为（    ）. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】①：由是互斥事件，则，故①错误； ②：由是对立事件，则为必然事件，即，故②正确； ③：由是独立事件，则也是互相独立的， 即，故③正确； ④：由，， 则相互独立，即相互独立，故④正确. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）抛掷一颗均匀的骰子，设事件表示“点数为奇数”，事件表示“点数不超过2”. (1)用列举法写出一个等可能得样本空间，并求； (2)再抛掷一次骰子，设事件表示“两次点数的差的绝对值不小于4”，用描述法写出一个等可能的样本空间，并求. 【详解】（1）由题意掷一颗均匀的骰子，出现的点数有6种结果，， 事件A包含的结果有1点，3点，5点，事件B包含的结果有1点，2点， 则；……（7分） （2）两次抛掷的点数记为，则基本事件有种， ， 事件C：两次点数的差的绝对值不小于4包含的结果有共6种， 故.……（14分） 18．（14分）已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. (1)分别求事件、事件的概率； (2)求事件、事件至少一个发生的概率. 【详解】（1）由题意可得，，数对的样本空间为 ，样本点共个. 若是二次函数的单调递增区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； 若是二次函数的单调递减区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以；……（7分） （2）记“事件、事件至少一个发生”为事件， 因为与互斥，所以.……（14分） 19．（14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，． (1)用卡片上的数字列出所有可能的结果； (2)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； (3)求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率 【详解】（1）由题意，，，所有的可能为： ，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，2，， ，3，，，3，，，3，，，1，，，1，，，1，， ，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，3，， ，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，2，， ，3，，，3，，，3，，共27种．……（6分） （2）设“抽取的卡片上的数字满足”为事件， 则事件包括，1，，，2，，，1，，共3种， 所以， 因此，“抽取的卡片上的数字满足”的概率为．……（10分） （3）设“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”为事件， 则事件包括，1，，，2，，，3，，共3种． 所以， 因此，“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率为……（14分） 20．（18分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求； (3)若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证C、D是独立的. 【详解】（1）若一次抽取张卡片，共包含、、、共个基本事件. 其中事件包含个基本事件   所以；……（6分） （2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，共包含个基本事件， 其中事件包含3个基本事件   所以……（12分） （3）一次抽取张卡片,共包含个基本事件， 事件， 所以 事件，所以   当同时发生，即张卡片上数字之和是的倍数同时积是的倍数，只有一种取法， 所以   因为，                                所以事件与事件是独立的．……（18分） 21．（18分）已知甲和乙分别依次各抛掷次和次同一枚质地均匀的硬币，甲和乙每次抛硬币均互不影响. (1)若，设事件：甲抛掷的3次硬币中至少1次正面；事件B：甲抛掷的3次硬币中有且仅有第二次是反面，判断事件和事件是否是独立的，并说明理由； (2)若，若甲在第次抛掷的结果与乙在第次抛掷的结果相同，则称甲和乙“有灵犀”，求在此情况下，甲和乙“心有灵犀”有且仅有2次的概率； (3)若，求甲抛掷次硬币的正面数比乙抛掷次硬币的正面数多的概率. 【详解】（1）事件：甲抛掷的3次硬币中至少1次正面，则， 事件B：甲抛掷的3次硬币中有且仅有第二次是反面，则， 而事件：表示甲抛掷的3次硬币中仅第二次反面，其余两次正面，则， 此时，故事件和事件不是独立的.……（6分） （2）设事件C：甲和乙“心有灵犀”有且仅有2次 则.……（12分） （3）设事件：甲抛掷的正面数比乙抛掷的正面数多；事件：甲抛掷的反面数比乙抛掷的反面数多. 现考虑，当两个事件同时发生时，甲抛掷的次数至少比乙抛掷的次数多2次， 故与矛盾，即. 再考虑，如果两个事件都不发生，则甲抛掷的次数要小于等于乙抛掷的次数，故与矛盾， 故，即为全集. 所以有可加性，可得， 由于硬币的质地均匀，故有.……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第12章 概率初步·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 7 2. 3. 0 4. 5. 6. 0.42 7. 3 8. 9. 10 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A C D D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由题意掷一颗均匀的骰子，出现的点数有6种结果，， 事件A包含的结果有1点，3点，5点，事件B包含的结果有1点，2点， 则；……（7分） （2）两次抛掷的点数记为，则基本事件有种， ， 事件C：两次点数的差的绝对值不小于4包含的结果有共6种， 故.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由题意可得，，数对的样本空间为 ，样本点共个. 若是二次函数的单调递增区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； 若是二次函数的单调递减区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以；……（7分） （2）记“事件、事件至少一个发生”为事件， 因为与互斥，所以.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由题意，，，所有的可能为： ，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，2，， ，3，，，3，，，3，，，1，，，1，，，1，， ，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，3，， ，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，2，， ，3，，，3，，，3，，共27种．……（6分） （2）设“抽取的卡片上的数字满足”为事件， 则事件包括，1，，，2，，，1，，共3种， 所以， 因此，“抽取的卡片上的数字满足”的概率为．……（10分） （3）设“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”为事件， 则事件包括，1，，，2，，，3，，共3种． 所以， 因此，“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率为……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）若一次抽取张卡片，共包含、、、共个基本事件. 其中事件包含个基本事件   所以；……（6分） （2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，共包含个基本事件， 其中事件包含3个基本事件   所以……（12分） （3）一次抽取张卡片,共包含个基本事件， 事件， 所以 事件，所以   当同时发生，即张卡片上数字之和是的倍数同时积是的倍数，只有一种取法， 所以   因为，                                所以事件与事件是独立的．……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）事件：甲抛掷的3次硬币中至少1次正面，则， 事件B：甲抛掷的3次硬币中有且仅有第二次是反面，则， 而事件：表示甲抛掷的3次硬币中仅第二次反面，其余两次正面，则， 此时，故事件和事件不是独立的.……（6分） （2）设事件C：甲和乙“心有灵犀”有且仅有2次 则.……（12分） （3）设事件：甲抛掷的正面数比乙抛掷的正面数多；事件：甲抛掷的反面数比乙抛掷的反面数多. 现考虑，当两个事件同时发生时，甲抛掷的次数至少比乙抛掷的次数多2次， 故与矛盾，即. 再考虑，如果两个事件都不发生，则甲抛掷的次数要小于等于乙抛掷的次数，故与矛盾， 故，即为全集. 所以有可加性，可得， 由于硬币的质地均匀，故有.……（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第12章 概率初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个 ． 2．已知某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，则该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为 ． 3．若事件、互斥，则 ． 4．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则 . 5．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 . 6．已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则 ． 7．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有 个． 8．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 9．已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 10．事件都没有发生的概率为，则事件至少有一个发生的概率为 ． 11．将一枚均匀的硬币连续抛掷 次，以 表示没有出现连续 3 次正面的概率，则 的递推关系式为 . 12．已知集合.现独立地随机选取集合的两个非空子集A、B（A与B可以相同），集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素的概率为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 14．已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 15．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为、．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（    ） A． B． C． D． 16．设A，B为两个随机事件， ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. 以上4个命题，正确的序号选项为（    ）. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）抛掷一颗均匀的骰子，设事件表示“点数为奇数”，事件表示“点数不超过2”. (1)用列举法写出一个等可能得样本空间，并求； (2)再抛掷一次骰子，设事件表示“两次点数的差的绝对值不小于4”，用描述法写出一个等可能的样本空间，并求. 18．（14分）已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. (1)分别求事件、事件的概率； (2)求事件、事件至少一个发生的概率. 19．（14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，． (1)用卡片上的数字列出所有可能的结果； (2)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； (3)求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率 20．（18分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求； (3)若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证C、D是独立的. 21．（18分）已知甲和乙分别依次各抛掷次和次同一枚质地均匀的硬币，甲和乙每次抛硬币均互不影响. (1)若，设事件：甲抛掷的3次硬币中至少1次正面；事件B：甲抛掷的3次硬币中有且仅有第二次是反面，判断事件和事件是否是独立的，并说明理由； (2)若，若甲在第次抛掷的结果与乙在第次抛掷的结果相同，则称甲和乙“有灵犀”，求在此情况下，甲和乙“心有灵犀”有且仅有2次的概率； (3)若，求甲抛掷次硬币的正面数比乙抛掷次硬币的正面数多的概率. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $