第四章 一次函数（2）讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义以“复习巩固-精准突破”为主线构建一次函数知识体系，通过表格对比不同方案（如甲、乙水果店收费）、分类例题梳理应用类型（方案比较、行程问题等），清晰呈现知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“实际情境-问题解决”的例题设计，如通过猕猴桃购买方案比较培养数学思维（推理与运算能力），结合函数图象分析行程问题发展几何直观。实战演练题分层设置，基础题巩固方法（如待定系数法求关系式），综合题提升应用能力（如最优利润问题），助力教师实施分层教学，学生自主复习时可精准突破薄弱点。

2025秋季初二讲义第八讲：一次函数（2） 【复习巩固】 1、一次函数应用 2、一次函数行程问题 【精准突破】 1、 一次函数的应用 例1：（方案比较类）陕西周至“猕猴桃”家喻户晓.这里生长的猕猴桃吃起来更加香甜、更加有层次感．现有甲、乙两家水果店经销同一包装、品质完全相同的猕猴桃，销售价格如表： 不超过10箱 超过10箱 甲水果店 30 元/箱 超出部分25 元/箱 乙水果店 26 元/箱 某客户计划在甲、乙两家水果店中任意选择一家购买猕猴桃； (1)请分别写出该客户在甲、乙水果店购买猕猴桃的总费用y(元)与x(箱)之间的函数关系式； (2)若该客户计划用500元购买猕猴桃，则该客户应选择在哪一家购买，可使购买的猕猴桃更多? 例2：（要求画图象）随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（h） 超时费（元/min） A 7 25 0.01 B 10 50 0.01 设每月上网学习时间为，方式A，B的收费金额分别为，． 如图表示与x之间函数关系的图象，当时，，    (1)当时，与x的函数关系式为_________； (2)当时，与x的函数关系式为_________ (3)在图中画出与x的函数图象，并结合图象直接写出上网时间在什么范围内，选择方式A更省钱． 例3：（待定系数法求函数关系式）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：      (1)该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； (2)点B的实际意义是什么？ (3)求y与x之间的关系式； (4)目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 例4：（最优方案问题）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.7万元，每套B型健身器材售价2万元．经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.3万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．学校想购进A，B两种健身器材共80套，若A型健身器材买x套，共花费y元． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)若A型健身器材的数量不超过53套，学校应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 例5：“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． (1)求每千克花生、茶叶的售价； (2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，计划两种产品共助销600千克，若花生销售m千克，花生和茶叶的销售总利润为w元，求w的最大值． 例6：（实际应用：审题是关键）甲、乙两个草莓采摘园，草莓售价均为20元/千克．为吸引顾客两园分别推出优惠方案．甲园：顾客入园需购买门票，采摘的草莓按八折销售；乙园：顾客免门票，采摘草莓超过，超过的部分打折销售．活动期间，设草莓采摘量为千克，在甲园采摘的总费用为元，在乙园采摘的总费用为元，，与之间的函数图象如图所示．已知：在甲园采摘3千克草莓总费用为58元，采摘4千克草莓两园的总费用相同． (1)请在图中标记出已知（划线部分）的数据； (2)甲园的门票是多少元？ (3)求点的坐标，并说明点的实际意义． 【实战演练】 1．某校九年级学生陈强和张红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为6元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 陈强：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可获取利润800元． 张红：我通过调查验证，发现每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间存在（是常数，且）的关系． (1)求（千克）与（元）的函数关系式； (2)当销售单价为9元时，该超市销售这种水果每天获得的利润为多少元？[利润销售量（销售单价进价）]． 2．在创建国家卫生城市环境综合整治行动中，某小区计划对楼体外墙进行粉刷，现有甲、乙两家装饰公司有意承接此项工程，已知甲公司的费用y（元）与粉刷面积的关系如表： 粉刷面积 … 100 200 300 400 … 费用y（元） … 2000 4000 6000 8000 … 乙公司表示：若该小区先支付2000元的基本承包费，则可按10元的价格收费，请据以上信息，解答下列问题： (1)若甲公司收取的费用y（元）与粉刷面积满足我们学过的某一函数关系，试确定这一函数关系式． (2)试确定乙公司收取的费用y（元）与粉刷面积满足的函数关系式． (3)在给出的平面直角坐标系内画出（1）（2）中的函数图象，并确定若该小区粉刷面积约为600，则选择哪家装饰公司施工更合算． 3．疫情防控人人有责，某学校需要购买的消毒液和医用口罩可在甲、乙两个商店买到．已知两个商店消毒液的标价都是每瓶25元，医用口罩的标价都是每包3元，但甲商场的优惠条件是：购买一瓶消毒液送一包医用口罩，其余医用口罩需原价购买；乙商场的优惠条件是：购买消毒液和医用口罩全部打八折，设该校一次性购买40瓶消毒液和m包医用口罩（）的总费用为y（元）． (1)分别写出到两个商场购买的总费用y与m之间的关系式； (2)当购买150包医用口罩时，选择哪家商店比较合算？请说明理由． 4．在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件． (1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式； (2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ (3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 5．某商店销售A，B两种商品，售价与成本如表所示： A，B商品售价与成本 A种商品 B种商品 售价（元/件） 120 80 成本（元/件） 110 65 该商店销售A，B两种商品共200件，设其中A种商品销售x件，总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)为了开拓市场，该商店购进A种商品不得少于50件．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件?可获得的最大利润为多少元? 6．七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，国人掀起购物潮．我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元． (1)该门店库存有上衣、裤子各多少件？ (2)售完这批库存后，该门店计划再次调进2000件上衣和裤子，其中裤子的数量不超过1200件，若该门店还是按原获利方式卖，则如何分配这2000件商品可使获利达到最大值，最大盈利多少元？ 7．某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，，分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 8．如图①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公交公司应降低运营成本，实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏；根据这两种意见，把图①分别改画成图②和图③，则下列判断不合理的是（　　） A．图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元 B．图②能反映公交公司意见 C．图③能反映乘客意见 D．图②中当乘客量为1.5万时公交公司收支平衡 9．某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　　元；甲复印社每张收费是 　　元； （2）求出乙复印社收费情况关于复印页数的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义； （3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同； （4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？ 2、 一次函数行程问题 例1：（y轴表示两人之间距离）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：（1）、之间的距离为；（2）乙行走的速度是甲的倍；（3）；（4）以上结论正确的是 ． 例2：小李、小王两人从学校出发去图书馆，小李步行一段时间后，小王骑电动车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差（米）与小李出发时间（分）之间的函数关系如图所示．    (1)请直接写出小李、小王两人的前行速度； (2)请直接写出小李、小王两人前行的路程（米）， 与小李出发时间（分）之间的函数关系式； (3)求小王出发多长时间，两人的路程差为240米． 例3：（同向）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中， 分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法中正确的是 ． ①乙比甲提前12分钟到达； ②甲平均速度为0.25千米/小时； ③甲、乙相遇时，乙走了6千米； ④乙出发6分钟后追上甲． 例4：甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，且当乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，且根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)乙在地时距地面的高度为______米；的值为______； (2)请求出甲在登山全程中，距离地面高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式； (3)已知段对应的函数关系式为，则登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？（直接写出答案） 例5：甲、乙两人相约周末登一座比较陡峭的小山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)甲在地时距地面的高度为 米，乙登山上升的速度是每分钟 ； (2)请求出乙距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式； (3)若甲提速后，甲的登山上升速度是乙登山上升速度的倍，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为米？ 例6：小明和爸爸进行登山锻炼，两人从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距离出发地280米，小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图，根据图象信息解答下列问题， （1）图中a=　　　　；b=　　　　；c=　　　　． （2）小明上山速度为　　　　米/分；爸爸上山速度为　　　　米/分， （3）直接写出小明与爸爸何时相距30米． 例7：（相向），两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，分别表示两人距地的距离与时间的关系，请结合图象解答下列问题： (1)甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h； (2)求点P的坐标，并写出点P的实际意义． 例8：在一条笔直的公路上的甲、乙两地相距，快、慢两车同时出发，快车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地，慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车后，继续按原路原速驶向甲地.在两车行驶过程中，两车距甲地的距离（单位：）与两车出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示，请结合图象求出两车出发 相距. 例9：沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为，（km），，与x的函数关系如图所示．有如下结论：①甲船的速度是25km/h；②从A港到C港全程为120km；③甲船比乙船早1.5小时到达终点；④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为；⑤两船在整个运动过程中有4个时刻相距10km，其中正确的有 ．（只填序号） 【实战演练】 1．已知A、B两地是一条直路，甲从A地到B地，乙从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（    ） A．两人出发后相遇 B．甲骑自行车的速度为 C．乙比甲提前到达目的地 D．乙到达目的地时两人相距 2．甲、乙两辆汽车同时分别从相距300千米的A、B两座城市出发相向而行．行驶过程中两车速度不变，甲车到达B城，立即停止，乙车继续行驶，到达A城后停止．若以两车之间的距离为y轴，以两车行驶时间为x轴，画出如图①所示函数图象．若以两车到A城的距离为y轴，以两车行驶时间为x轴在同一坐标体系看画出图象，与图①函数图象意义一致的是（    ）    A．    B．     C．   D．   3．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（）与骑行时间t（）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行； ④相遇后，乙又骑行了或时两人相距，其中正确的是（　　）    A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 4．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的函数关系． 根据图象回答下列问题： （1）甲地与乙地相距______千米，两车出发后______小时相遇； （2）普通列车到达终点共需_______小时，普通列车的速度是______千米/小时； （3）动车的速度是________千米/小时； （4）的值为________. 5．同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是 ． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 6．甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 7．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论： ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米时； ②甲、乙两地之间的距离为120千米： ③图中点的坐标为； ④快递车从乙地返回时的速度为90千米时． 以上4个结论中正确的是 （填序号） 8．如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为x（秒），两车之间的距离为y（米），根据图象解决下列问题：    (1)甲车经过 秒追上乙车，a＝ ． (2)设相遇前两车之间的距离为，直接写出与x的函数关系式： ；设相遇后两车之间的距离为，直接写出与x的函数关系式： ． (3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米？ 9．首条贯通丝绸之路经济带的高铁线进入全线拉通试验阶段，试运行期间，一列动车匀速从西安开往西宁，一列普通列车匀速从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：①西宁到西安两地相距1000千米，两车出发后3小时相遇；②普通列车到达终点共需12小时；③普通列车的速度是千米/小时；④动车的速度是250千米/小时．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．0 10．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度． (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离． (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 11．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有 ．（填序号） 12．某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有 （填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 13．甲、乙两人从学校出发，沿相同的线路跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程（米）与甲出发的时间（秒）的函数图象，请根据题意解答下列问题： (1)在跑步的全过程中，甲共跑了______米，甲的速度为______米/秒； (2)乙最早出发时跑步的速度为______米/秒，乙在途中等候甲的时间为______秒； (3)乙出发______秒后与甲第一次相遇； (4)______秒时，甲乙两人相距50米． 14．A，B两地相距60km，甲乙两人沿同一条路从A地前往B地，甲先出发．图中，表示甲、乙两人离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间的关系，请结合图象回答下列问题： (1)图中表示乙离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是______（填或）； (2)当其中一人到达B地时，另一人距B地______km； (3)乙出发多长时间时，甲乙两人刚好相距8km？ 15．甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地；乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示． （1）求乙车从B地到达A地的速度； （2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）求乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 16．为倡导低碳生活，绿色出行，某电动车俱乐部利用周末组织“远游”活动，电动车队从甲地出发骑向乙地，小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿电动车队行进路线前往乙地，如图是电动车队、邮政车离甲地的路程与电动车队离开甲地时间的函数关系图象；请根据图象解答下列问题： (1)邮政车到达乙地后，电动车距乙地多少千米？ (2)求线段对应的函数关系式； (3)邮政车到达乙地后，马上沿原路以与段相同的速度返回，求邮政车从甲地出发后多长时间再次与电动车相遇． 17．甲、乙两人相约登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题； (1) ______min； (2)若乙提速后，乙登山的速度是甲登山的速度的3倍， ①则甲登山的速度是______； ②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式； ③当甲、乙两人距地面的高度差为时，求x的值． 18．甲乙两车从A城出发匀速驶向B城，在整个行驶过程中，两车离开A城的距离y（）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图，则下列结论错误的是（　　） A．A、B两城相距300千米 B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时 C．乙车出发后2.5小时追上甲车 D．当甲乙两车相距50千米时，t的值为或 或 或 19．已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，沿同一条高速路前往B地，甲比乙早出发1小时，如图所示的分别表示甲，乙两车相对于出发地A距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的关系，    根据图象提供的信息，回答下列问题． (1)表示 （甲或乙）车相对与出发地A的距离和乙车行驶时间之间的关系，分别求出对应的两个一次函数表达式． (2)求乙车追上甲车时，乙车行驶了多长时间． 20．甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题： (1)甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为 ；乙同学上山过程中S乙与t的函数解析式为 ；点D的坐标为 ； (2)若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米； ①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式； ②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米． 21．如图，在一次爬山活动中，小新先出发，1h后，小宇从同一地点出发去追小新，两人在山顶相遇并一起在山顶欣赏日出，而后两人一起沿原路返回，小新和小宇距起点的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．在小宇追小新的过程中，小宇的平均速度是5km/h B．小新从起点出发到山顶的平均速度是4km/h C．AB的函数表达式是y=-4x+52 D．小宇从起点出发到返回起点所用的时间是13小时 22．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有 ． 23．已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到地．分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． 请根据图象填空： (1)大约在甲出发 后，两人相遇，这时他们离地 ； (2)甲的速度是 ；乙的速度是 ； (3)对应的表达式为： ，对应的表达式为： ． 2025秋季初二讲义第八讲：一次函数（2） 【复习巩固】 1、一次函数应用 2、一次函数行程问题 【精准突破】 3、 一次函数的应用 例1：（方案比较类）陕西周至“猕猴桃”家喻户晓.这里生长的猕猴桃吃起来更加香甜、更加有层次感．现有甲、乙两家水果店经销同一包装、品质完全相同的猕猴桃，销售价格如表： 不超过10箱 超过10箱 甲水果店 30 元/箱 超出部分25 元/箱 乙水果店 26 元/箱 某客户计划在甲、乙两家水果店中任意选择一家购买猕猴桃； (1)请分别写出该客户在甲、乙水果店购买猕猴桃的总费用y(元)与x(箱)之间的函数关系式； (2)若该客户计划用500元购买猕猴桃，则该客户应选择在哪一家购买，可使购买的猕猴桃更多? 【答案】(1)； (2)选择在乙水果店购买 【分析】本题考查一次函数的应用 （1）根据购买方案列出函数关系式即可； （2）可令，分别代入甲水果店和乙水果店的函数表达式中求出对应的x的值，通过比较两种情况下x的大小关系，选择x较大的即可． 【详解】（1）解：甲水果店：不超过10箱，即当时，, 超过10箱，即当时，， ∴ 乙水果店：∵销售价格为26元/箱， ∴. （2）解：当在甲水果店购买时， ∵， ∴购买的水果超过了10箱． 令， 解得：， ∴用500元在甲水果店最多购买18箱猕猴桃， 当在乙水果店购买时，令， 解得， ∴用500元在乙水果店最多购买19箱猕猴桃， ∵， ∴该客户应选择在乙水果店购买，可使购买的猕猴桃更多． 例2：（要求画图象）随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（h） 超时费（元/min） A 7 25 0.01 B 10 50 0.01 设每月上网学习时间为，方式A，B的收费金额分别为，． 如图表示与x之间函数关系的图象，当时，，    (1)当时，与x的函数关系式为_________； (2)当时，与x的函数关系式为_________ (3)在图中画出与x的函数图象，并结合图象直接写出上网时间在什么范围内，选择方式A更省钱． 【答案】(1) (2) (3)当时，选择方式更省钱． 【分析】本题考查一次函数的应用，分别写出两种方式的费用关于时间的函数关系式是本题的关键． （1）（2）根据题意，直接列式并化简即可； （3）根据函数图象，当时对应的的范围即为答案． 【详解】（1）解：根据题意，当时，， 当时，与的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：根据题意，当时，， 当时，与的函数关系式为， 故答案为：； （3）解：与的函数图象如图所示：    由函数图象可知，当时，， 当时，选择方式更省钱． 例3：（待定系数法求函数关系式）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：      (1)该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； (2)点B的实际意义是什么？ (3)求y与x之间的关系式； (4)目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 【答案】(1) (2)当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； (3) (4)①，  ②乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等 【分析】本题考查一次函数的应用，理解横纵坐标的含义是解本题的关键． （1）计算当时，，即可得到前期投入的资金数量； （2）根据B的坐标含义可得B表示的实际意义； （3）设y与x之间的关系式为，再利用待定系数法求解解析式即可， （4）①先分别求解两种方案下的函数解析式； ②令，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元， 故答案为：； （2）解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； （3）解：设直线的解析式为，把和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， （4）解：①方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元， ∴函数关系式为：， 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， ∴函数关系式为：， ②令，则， 解得：， ∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等． 例4：（最优方案问题）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.7万元，每套B型健身器材售价2万元．经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.3万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．学校想购进A，B两种健身器材共80套，若A型健身器材买x套，共花费y元． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)若A型健身器材的数量不超过53套，学校应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)学校应购买A型健身器材53套，B型健身器材27套，此时总费用最少为114.7万元 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据题意先得出A型健身器材的购进价格为万元，再根据费用数量价格，列出函数关系式即可； （2）由（1）得总费用y与x的函数关系式为，再由A型健身器材的数量不超过53套，得，进而可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，A型健身器材买x套，则B型健身器材的数量为套， B型健身器材的购进价格为万元，A型健身器材的购进价格为万元， ∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得总费用y与x的函数关系式为， ∴y随x的增大而减小，x最大时，y最小即总费用最少， ∵A型健身器材的数量不超过53套，即， ∴，y最小，总费用最少为万元，此时， ∴A型健身器材应购买53套，B型健身器材应购买27套， 答：学校应购买A型健身器材53套，B型健身器材27套，此时总费用最少为114.7万元． 例5：“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． (1)求每千克花生、茶叶的售价； (2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，计划两种产品共助销600千克，若花生销售m千克，花生和茶叶的销售总利润为w元，求w的最大值． 【答案】(1)每千克花生10元，每千克茶叶50元 (2)当花生销售120千克，茶叶销售480千克时利润最大，w的最大值为7200 【分析】（1）设每千克花生元，每千克茶叶元，列出一元一次方程求解即可； （2）设花生销售千克，茶叶销售千克，先根据总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍求出的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：设每千克花生元，每千克茶叶元， 根据题意得：， 解得：， （元）， 答：每千克花生10元，每千克茶叶50元； （2）解：设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， ， 当时，利润最大， 此时花生销售120千克，茶叶销售（千克），（元）， 当花生销售120千克，茶叶销售480千克时利润最大，的最大值为7200． 【点睛】本题考查一次函数的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式进行求解． 例6：（实际应用：审题是关键）甲、乙两个草莓采摘园，草莓售价均为20元/千克．为吸引顾客两园分别推出优惠方案．甲园：顾客入园需购买门票，采摘的草莓按八折销售；乙园：顾客免门票，采摘草莓超过，超过的部分打折销售．活动期间，设草莓采摘量为千克，在甲园采摘的总费用为元，在乙园采摘的总费用为元，，与之间的函数图象如图所示．已知：在甲园采摘3千克草莓总费用为58元，采摘4千克草莓两园的总费用相同． (1)请在图中标记出已知（划线部分）的数据； (2)甲园的门票是多少元？ (3)求点的坐标，并说明点的实际意义． 【答案】(1)见解析 (2)10元 (3)点A的实际意义是采摘2.5千克草莓两园的总费用都是50元 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出甲园的门票． （1）根据题意标记数据即可； （2）求出在甲园打折后草莓价格，根据在甲园采摘3千克58元，列式计算即可； （3）设，根据题意可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：在图中标记出已知的数据如下： （2）解：∵在甲园顾客入园需购买门票，采摘的草莓按八折销售， ∴打折后草莓价格为（元）， ∵在甲园采摘3千克58元， ∴甲园的门票是（元）； （3）解：设， 根据题意可得， 解得， ∴， 即：点A的实际意义是采摘2.5千克草莓两园的总费用都是50元． 【实战演练】 1．某校九年级学生陈强和张红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为6元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 陈强：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可获取利润800元． 张红：我通过调查验证，发现每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间存在（是常数，且）的关系． (1)求（千克）与（元）的函数关系式； (2)当销售单价为9元时，该超市销售这种水果每天获得的利润为多少元？[利润销售量（销售单价进价）]． 【答案】(1) (2)690元 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握利润的计算公式是解题关键． （1）先求出当时，，再根据利润的计算公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）先求出当时，，再根据利润的公式计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 则可列方程为， 解得， 则． （2）解：当时，， 则（元）， 答：该超市销售这种水果每天获得的利润为690元． 2．在创建国家卫生城市环境综合整治行动中，某小区计划对楼体外墙进行粉刷，现有甲、乙两家装饰公司有意承接此项工程，已知甲公司的费用y（元）与粉刷面积的关系如表： 粉刷面积 … 100 200 300 400 … 费用y（元） … 2000 4000 6000 8000 … 乙公司表示：若该小区先支付2000元的基本承包费，则可按10元的价格收费，请据以上信息，解答下列问题： (1)若甲公司收取的费用y（元）与粉刷面积满足我们学过的某一函数关系，试确定这一函数关系式． (2)试确定乙公司收取的费用y（元）与粉刷面积满足的函数关系式． (3)在给出的平面直角坐标系内画出（1）（2）中的函数图象，并确定若该小区粉刷面积约为600，则选择哪家装饰公司施工更合算． 【答案】(1) (2) (3)乙 【分析】（1）根据表中的已知点的坐标确定函数的解析式即可； （2）根据乙公司表示：若该小区先支付2000元的基本承包费，则可按10元的价格收费，则； （3）利用两点法画出函数的图象，然后把分别代入解析式即可判断． 【详解】（1）解：由表中的数据可知甲公司收取的费用y（元）与粉刷面积成正比例， 设，把代入得：， 解得， 所以； （2）解：根据题意得； （3）解：画出函数的图象如图： 把代入得，（元）， 把代入得，（元）， ， 所以，确定若该小区粉刷面积约为600，则选择乙装饰公司进行施工更合算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出相等关系是解题的关键． 3．疫情防控人人有责，某学校需要购买的消毒液和医用口罩可在甲、乙两个商店买到．已知两个商店消毒液的标价都是每瓶25元，医用口罩的标价都是每包3元，但甲商场的优惠条件是：购买一瓶消毒液送一包医用口罩，其余医用口罩需原价购买；乙商场的优惠条件是：购买消毒液和医用口罩全部打八折，设该校一次性购买40瓶消毒液和m包医用口罩（）的总费用为y（元）． (1)分别写出到两个商场购买的总费用y与m之间的关系式； (2)当购买150包医用口罩时，选择哪家商店比较合算？请说明理由． 【答案】(1)甲商场购买的总费用为：，乙商场购买的总费用为：； (2)选择乙商场比较划算，理由见解析． 【分析】（1）根据优惠条件解答即可，注意购买一瓶消毒液送一包医用口罩，八折等关键字； （2）代入求值，并进行比较即可． 【详解】（1）依题意得：甲商场购买的总费用为：， 乙商场购买的总费用为： （2）选择乙商场比较划算，理由如下∶ 当时，甲商场购买的总费用为：(元) 乙商场购买的总费用为：(元) ∵ ∴选择乙商场比较划算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，找出等量关系列函数解析式是解题的关键． 4．在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件． (1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式； (2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ (3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 【答案】(1)； (2)2310元； (3)总费用最多是2650元． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键； （1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式计算即可； （3）利用一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为； （2）当时，， 答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元； （3）由题意，得， 由（1）可知为， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为， 答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元． 5．某商店销售A，B两种商品，售价与成本如表所示： A，B商品售价与成本 A种商品 B种商品 售价（元/件） 120 80 成本（元/件） 110 65 该商店销售A，B两种商品共200件，设其中A种商品销售x件，总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)为了开拓市场，该商店购进A种商品不得少于50件．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件?可获得的最大利润为多少元? 【答案】(1) (2)为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各50件，150件，可获得的最大利润为2750元． 【分析】（1）根据利润=（售价-成本）×数量进行求解即可； （2）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：∵该商店购进A种商品不得少于50件， ∴， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 200-50=150件， ∴为了获得最大利润，应分别购进A，B两种商品50件，150件，可获得的最大利润为2750元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，列函数关系式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 6．七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，国人掀起购物潮．我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元． (1)该门店库存有上衣、裤子各多少件？ (2)售完这批库存后，该门店计划再次调进2000件上衣和裤子，其中裤子的数量不超过1200件，若该门店还是按原获利方式卖，则如何分配这2000件商品可使获利达到最大值，最大盈利多少元？ 【答案】(1)该门店库存有上衣800件，则有裤子650件 (2)再次调进800件上衣和1200件裤子，可使获利达到最大值，最大盈利136000元 【分析】（1）设该门店库存有上衣x件，则有裤子（1450-x）件，根据共可获利92000元得：50x+80（1450-x）=92000，即可解得答案； （2）设这2000件商品可获利W元，上衣m件，则裤子（2000-m）件，根据裤子的数量不超过1200件得m≥800，而W=-30m+160000，根据一次函数性质可得答案． 【小题1】解：设该门店库存有上衣x件，则有裤子（1450-x）件， 根据题意得：50x+80（1450-x）=92000， 解得x=800， ∴有裤子1450-x=1450-800=650， 答：该门店库存有上衣800件，则有裤子650件； 【小题2】设这2000件商品可获利W元，上衣m件，则裤子（2000-m）件， ∵裤子的数量不超过1200件， ∴2000-m≤1200， ∴m≥800， 根据题意得：W=50m+80（2000-m）=-30m+160000， ∵-30＜0， ∴W随m的增大而减小， ∴m=800时，W最大=-30×800+160000=136000（元）， 答：再次调进800件上衣和1200件裤子，可使获利达到最大值，最大盈利136000元． 【点睛】本题考查一次方程与一次函数，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程和函数关系式． 7．某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，，分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 【答案】10 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每千米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象，的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键．根据“电动汽车每千米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象，的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：设图象的函数关系式为，根据题意得： ，解得， 图象的函数关系式为， 设图象的函数关系式为，根据题意得： ，解得， 图象的函数关系式为， 当时，，， ， 当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：10． 8．如图①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公交公司应降低运营成本，实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏；根据这两种意见，把图①分别改画成图②和图③，则下列判断不合理的是（　　） A．图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元 B．图②能反映公交公司意见 C．图③能反映乘客意见 D．图②中当乘客量为1.5万时公交公司收支平衡 【答案】D 【分析】根据图②中提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡判断D选项错误即可． 【详解】解：A、图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元，表达合理，该选项不符合题意； B、图②能反映公交公司意见，表达合理，该选项不符合题意； C、图③能反映乘客意见，表达合理，该选项不符合题意； D、图②中实线表示提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡，表达不合理，该选项符合题意； 故选：D． 9．某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　　元；甲复印社每张收费是 　　元； （2）求出乙复印社收费情况关于复印页数的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义； （3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同； （4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？ 4、 一次函数行程问题 例1：（y轴表示两人之间距离）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：（1）、之间的距离为；（2）乙行走的速度是甲的倍；（3）；（4）以上结论正确的是 ． 【答案】（1），（2），（4） 【分析】本题考查了函数图象的识别，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．（1）由时，可得出A、B之间的距离为；（2）根据速度路程时间可求出乙的速度，再根据甲的速度路程时间乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍；（3）根据路程二者速度和运动时间，即可求出；（4）根据甲走完全程所需时间两地间的距离甲的速度，即可求出．综上即可得出结论． 【详解】解：（1）当时， ∴A、B之间的距离为，故结论（1）正确； （2）乙的速度为， 甲的速度为， ， ∴乙行走的速度是甲的倍，故结论（2）正确； （3），故结论（3）错误； （4），故结论（4）正确． 故结论正确的有（1），（2），（4）． 故答案为：（1），（2），（4）． 例2：小李、小王两人从学校出发去图书馆，小李步行一段时间后，小王骑电动车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差（米）与小李出发时间（分）之间的函数关系如图所示．    (1)请直接写出小李、小王两人的前行速度； (2)请直接写出小李、小王两人前行的路程（米）， 与小李出发时间（分）之间的函数关系式； (3)求小王出发多长时间，两人的路程差为240米． 【答案】(1)小李的速度为米/分，小王的速度为200米/分 (2)， (3)在小王出发4分钟或8分钟时，两人的路程差为240米 【分析】（1）由图象得出小李步行720米，需要9分钟，由此求得小李的速度；第15分钟相遇，根据小王此时行驶的路程和时间即可求得小王的速度； （2）根据路程速度时间，列出解析式即可； （3）分两种情况：相遇前与相遇后，分别列出方程解答即可． 【详解】（1）解：由图象得出小李步行720米，需要9分钟， 小李的运动速度为：（米/分）； 当第15分钟时，小王运动（分钟），运动距离为：（米）， 小王的运动速度为：（米/分）； （2）解：根据题意得：， ； （3）解：当相遇前两人的路程差为240米，得， 即， 解得：； 当相遇后两人的路程差为240米，，得， 即， 解得：， 小李出发13分钟或17分钟时，两人的路程差为240米， 小王比小李晚出发9分钟， （分钟），（分钟）， ∴在小王出发4分钟或8分钟时，两人的路程差为240米． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 例3：（同向）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中， 分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法中正确的是 ． ①乙比甲提前12分钟到达； ②甲平均速度为0.25千米/小时； ③甲、乙相遇时，乙走了6千米； ④乙出发6分钟后追上甲． 【答案】①③④ 【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答． 【详解】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达， 所以乙比甲提前了12分钟到达， 故①正确； ②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度， 故②错误； ④设乙出发x分钟后追上甲，则有：， 解得， 故④正确； ③由④知：乙遇到甲时，所走的距离为：， 故③正确． 所以正确的结论有三个：①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 例4：甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，且当乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，且根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)乙在地时距地面的高度为______米；的值为______； (2)请求出甲在登山全程中，距离地面高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式； (3)已知段对应的函数关系式为，则登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？（直接写出答案） 【答案】(1)30，11 (2) (3)3分钟或10分钟或13分钟 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）分别求出甲的速度，乙提速前和提速后的速度，进一步求解即可； （2）根据甲的速度，结合图象，写出函数关系式即可； （3）分甲在乙前和甲在乙后以及乙到达山顶后，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲的速度为：（米/分钟）； 乙提速前的速度为：（米/分钟）； 提速后的速度为：（米/分钟）； ∴乙在地时距地面的高度为（米）； ， 故答案为：30，11； （2）∵甲的速度为：10米/分钟， ∴甲在登山全程中的函数关系式为：； （3）当， 解得：； 当时 解得： 当时， 解得：， 综上：当登山3分钟或10分钟，13分钟时，甲乙两人距地面的高度差为70米． 例5：甲、乙两人相约周末登一座比较陡峭的小山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)甲在地时距地面的高度为 米，乙登山上升的速度是每分钟 ； (2)请求出乙距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式； (3)若甲提速后，甲的登山上升速度是乙登山上升速度的倍，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为米？ 【答案】(1)，米； (2)； (3)登山或秒时，甲、乙两人距地面的高度差为米． 【分析】（）根据速度高度时间即可算出甲，乙登山上升的速度，根据高度=速度时间即可算出甲在地时距地面的高度的值； （）待定系数法即可求解； （）找出甲乙登山全程中关于的函数关系式，分类讨论：①当时，②当时，由甲、乙两人距地面的高度差为米可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 此题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一次函数的应用． 【详解】（1）由图可知：甲在段时的速度为：（米分）， ∴当分时，； 乙的速度为：（米分） 故答案为：，米； （2）设乙距地面的高度与登山时间之间的函数关系式为， 根据图可知：， 解得：， ∴乙距地面的高度与登山时间之间的函数关系式为； （3）由（）得，乙的速度为：米分 ∴点， ∵甲的登山上升速度是乙登山上升速度的倍， ∴甲的登山上升速度是米分， 则设甲在段的解析式为， ∴，解得：， 则甲在段的解析式为， 当时， 解得：， ； 由（）得：乙距地面的高度与登山时间之间的函数关系式为， ①当时， ， 解得：或； ②当时， ， 解得：(不合题意，舍去) ； 综上所述：登山或秒时，甲、乙两人距地面的高度差为米． 例6：小明和爸爸进行登山锻炼，两人从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距离出发地280米，小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图，根据图象信息解答下列问题， （1）图中a=　　　　；b=　　　　；c=　　　　． （2）小明上山速度为　　　　米/分；爸爸上山速度为　　　　米/分， （3）直接写出小明与爸爸何时相距30米． 【答案】（1）8，280，10；（2）50，35；（3）2分或9.5分两人相距30米． 【分析】（1）根据题意结合图象即可得到a=8，b=280，求出小明下山的速度，小明与爸爸相遇的时间为x分，列出方程，解方程即可求出c； （2）用400÷8即可得到小明上山的速度，用280÷8即可得到爸爸上山的速度； （3）根据题意得到两人相距30米分为小明上山时和小明下山时两种情况列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，可知a=8，b=280， 小明下山用的时间为：24﹣8=16（分钟），下山的速度为：400÷16=25（米/分钟）， 设小明与爸爸相遇的时间为x分 由题意得（280÷8）x=400﹣25（x﹣8）， 解得：x=10， 故c=10． 故答案为：8；280；10； （2）小明上山速度为400÷8=50（米/分）；爸爸上山速280÷8=35（米/分）． 故答案为：50；35； （3）根据题意得：（50﹣35）x=30或25（x﹣8）+35x=400﹣30， 解得：x=2或x=9.5， 答：2分或9.5分两人相距30米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意与图象，利用数形结合思想解答是解题关键． 例7：（相向），两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，分别表示两人距地的距离与时间的关系，请结合图象解答下列问题： (1)甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h； (2)求点P的坐标，并写出点P的实际意义． 【答案】(1)30，20 (2)点的坐标为，其实际意义是甲、乙两人在出发后时相遇，这时距离地． 【分析】本题考查一次函数的应用，写出变量之间的函数表达式是解题的关键． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）分别求出图象，的关于的函数关系式，求出交点的坐标；点的横坐标表示二人相遇的时间，纵坐标表示相遇时距地的距离． 【详解】（1）解：甲的速度为，乙的速度为， 故答案为：30，20； （2）解：当时，设图象的函数关系式为 、为常数，且， 当时，；当时，， ，解得， 图象的函数关系式为(时）； 当时，设图象的函数关系式为、为常数，且， 当时，；当时，， ，解得， 图象的函数关系式为； 当时，解得， 当时，， 点的坐标为，其实际意义是甲、乙两人在出发后时相遇，这时距离地． 例8：在一条笔直的公路上的甲、乙两地相距，快、慢两车同时出发，快车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地，慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车后，继续按原路原速驶向甲地.在两车行驶过程中，两车距甲地的距离（单位：）与两车出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示，请结合图象求出两车出发 相距. 【答案】或或 【分析】本题考查一次函数的实际运用，利用待定系数法求的函数解析式，判断出两次相遇间的个时间段会出现两车相距，再依方程解答是解题关键． 【详解】∵快车的速度不变， ∴点D 的横坐标为4， ∴点D的坐标为， 慢车的速度为， ∴停车的时间为， ∴慢车再次行驶的时间为， ∴点B的坐标为， 设，代入点得： ，解得： ， ， 同理可得， 由 解得， ∴两车出发两车第二次相遇； 当 时，依题意得， 解得 当 时，依题意得 解得， 当 时，依题意得， 解得， ∴两车出发时间为 或或时，两车相距． 例9：沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为，（km），，与x的函数关系如图所示．有如下结论：①甲船的速度是25km/h；②从A港到C港全程为120km；③甲船比乙船早1.5小时到达终点；④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为；⑤两船在整个运动过程中有4个时刻相距10km，其中正确的有 ．（只填序号） 【答案】②④ 【分析】由速度=路程时间，可知甲、乙两船的速度，由此可判断①不成立；结合图形中甲的图象可知，A、C两港距离，由此可判断②成立；由时间路程速度可知甲、乙两船到达C港的时间，由此可判断③不成立；由A港口比B港口离C港口多，结合时间路程速度，得出两者相遇的时间，从而判断④成立；由行驶过程中的路程变化可得出甲、乙两船相距时，的取值，从而能判断出⑤不成立；由上述即可得出结论. 【详解】解：甲船速度为，故①不正确； 乙船速度为， 从港到港全程为，故②正确； 甲船到达港的时间为（小时），（小时），故③不正确； 设两船相遇的时间为小时，则有， 解得，， ∴P点的坐标为，故④正确； 两船第一次相距的时间为：（小时）； 两船第二次相距的时间为：（小时）； 两船第三次相距的时间为：（小时）； 即两船在整个运动过程中有3个时刻相距10km，故⑤不正确； 故答案为：②④． 【实战演练】 1．已知A、B两地是一条直路，甲从A地到B地，乙从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（    ） A．两人出发后相遇 B．甲骑自行车的速度为 C．乙比甲提前到达目的地 D．乙到达目的地时两人相距 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解题的关键在于能够正确读懂函数图象．先根据在一开始时，两人的距离为，得到A、B两地的距离为，从而可以求出甲的速度，即可判断B；根据在出发后，两人相距为，即可判断A；求出两人的合速度，从而求出乙到达目的地的花费时间即可判断C、D． 【详解】解：∵在一开始时，两人的距离为， ∴A、B两地的距离为， ∵乙先到底目的地， ∴甲到目的地花费的时间为， ∴甲的速度为，故B选项正确，不符合题意； ∵在出发后，两人相距为，即此时两人相遇，故A选项正确，不符合题意； ∵两人出发2h相遇， ∴两人的合速度为， ∴乙的速度为， ∴乙到目的地花费的时间为， ∴乙比甲提前到达目的地，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴乙到达目的地时两人相距，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 2．甲、乙两辆汽车同时分别从相距300千米的A、B两座城市出发相向而行．行驶过程中两车速度不变，甲车到达B城，立即停止，乙车继续行驶，到达A城后停止．若以两车之间的距离为y轴，以两车行驶时间为x轴，画出如图①所示函数图象．若以两车到A城的距离为y轴，以两车行驶时间为x轴在同一坐标体系看画出图象，与图①函数图象意义一致的是（    ）    B．    B．     C．   D．   【答案】D 【分析】由2小时的时候，甲车距离A城，乙车距离A城的距离也为，故A不符合题意；当甲车到达B城时，乙车距离A城的距离为：，故B，C不符合题意；D符合题意；从而可得答案． 【详解】解：由函数图象可得：两车2小时相遇， ∴两车的速度之和为：（）， 乙车的速度为：， ∴甲车的速度为：， ∴甲车到达B城的时间为， ∴2小时的时候，甲车距离A城， 乙车距离A城的距离也为，故A不符合题意； 当甲车到达B城时，乙车距离A城的距离为： ， ∴B，C不符合题意；故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解函数图象中点的横纵坐标的含义是解本题的关键． 3．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（）与骑行时间t（）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行； ④相遇后，乙又骑行了或时两人相距，其中正确的是（　　）    A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：由图象可知，当时，， 则两村相距，结论①正确； 由函数图象可知，甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，然后在时，甲到达村，之后两人之间的距离开始减小，则结论②正确； 甲每小时比乙多骑行的路程为，则结论③正确； 乙的速度为，甲的速度为， 当两人相遇后，甲未到达村时，， 当两人相遇后，甲已到达村时，， 综上，相遇后，乙又骑行了或时两人相距，结论④正确； 综上，正确的是①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象是解题关键． 4．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的函数关系． 根据图象回答下列问题： （1）甲地与乙地相距______千米，两车出发后______小时相遇； （2）普通列车到达终点共需_______小时，普通列车的速度是______千米/小时； （3）动车的速度是________千米/小时； （4）的值为________. 【答案】（1）1200；4；（2）12；100；（3）200；（4）6. 【分析】（1）初始时刻y=1200，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻； （2）最后到达的为普通列车，根据路程除以时间可得速度； （3）设动车速度a千米/小时，由4小时相遇，列出方程可求解； （4）t时刻是动车到达乙地的时刻，用路程除以速度即可. 【详解】（1）由图像可知，甲地与乙地相距1200千米，两车出发后4小时相遇； （2）普通列车12小时到达，则速度为1200÷12=100千米/小时 （3）设动车速度a千米/小时，由题意得， 解得，所以动车的速度是200千米/小时； （4）. 【点睛】本题考查一次函数图像的应用，根据图像读出相关数据是解题的关键. 5．同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是 ． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键． ①当时，小明落后于小张，当时，小明超过小张，这个期间小张处于静止状态，根据速度路程时间列式计算出小明的速度即可； ②根据小明的速度行驶时间列式计算，两地的距离即可； ③当时，小张乘坐的汽车中途出现故障；当时，小张乘坐的汽车维修结束后开始继续行驶，据此计算小张中途休息的时间即可； ④从到两人相遇时，小张处于静止状态，小明行驶了，根据时间路程速度求出从到两人相遇所用的时间，从而计算出两人何时相遇． 【详解】解：小明的速度是， ①正确，符合题意； ，两地相距， ②正确，符合题意； 小张中途休息的时长为， ③不正确，不符合题意； ， 小明行驶与小张相遇， ④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 6．甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键． 根据速度等于路程除以时间求解． 先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解． 根据甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，列出不等式求出的取值，再求当乙到达终点停止运动后的取值，即可求解． 用总路程减去甲走过的路程即可． 【详解】解：①∵乙用秒跑完米 ∴乙的速度为米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为秒， ， 秒， ∴米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒， ， ， 当乙到达终点停止运动后， ， ， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：米， 即甲距离终点还有米． 故④正确； 正确的个数为①③④． 故选：B． 7．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论： ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米时； ②甲、乙两地之间的距离为120千米： ③图中点的坐标为； ④快递车从乙地返回时的速度为90千米时． 以上4个结论中正确的是 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查一次函数的应用．根据和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：由图象可得， 快递车从甲地到乙地的速度为：（千米小时），故①正确，符合题意； 甲、乙两地之间的距离为：（千米），故②错误，不符合题意； 图中点的横坐标为：，纵坐标为：， 则图中点的坐标为，故③正确，符合题意； 快递车从乙地返回时的速度为：（千米小时），故④正确，符合题意； 综上，①③④正确， 故答案为：①③④． 8．如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为x（秒），两车之间的距离为y（米），根据图象解决下列问题：    (1)甲车经过 秒追上乙车，a＝ ． (2)设相遇前两车之间的距离为，直接写出与x的函数关系式： ；设相遇后两车之间的距离为，直接写出与x的函数关系式： ． (3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米？ 【答案】(1)3，8 (2)，； (3)两遥控车出发后1秒或5秒. 【分析】本题是一次函数的应用，利用了图，待定系数法求解，与方程结合解一元一次方程是解题关键． （1）根据图2可得3秒时，甲和乙相遇，又知3秒时甲比乙多走6米，则1秒甲比乙快2米，所以7秒时甲比乙多走了14米，可知a的值； （2）这是一个分段函数，利用待定系数法求解析式即可； （3）根据可解答． 【详解】（1）解：由图2可知：甲车经过3秒追上乙车，； 故答案为：3，8； （2）设与x的函数关系式为：， 把和代入得， 解得：， ， 经过点和， ∴同理可得：， 故答案为：，； （3）分两种情况： ①当时， ， ； ②当时， ， ； 综上，两遥控车出发后1秒或5秒． 9．首条贯通丝绸之路经济带的高铁线进入全线拉通试验阶段，试运行期间，一列动车匀速从西安开往西宁，一列普通列车匀速从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：①西宁到西安两地相距1000千米，两车出发后3小时相遇；②普通列车到达终点共需12小时；③普通列车的速度是千米/小时；④动车的速度是250千米/小时．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．0 【答案】C 【分析】由x＝0时y＝1000及x＝3时y＝0的实际意义可得答案；根据x＝12时的实际意义可得，由速度＝路程÷时间，可得答案；设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列车3小时行驶的路程＝1000”列方程求解可得； 【详解】解：①由x＝0时，y＝1000知，西宁到西安两地相距1000千米，由x＝3时，y＝0知，两车出发后3小时相遇，正确； ②由图象知x＝t时，动车到达西宁， ∴x＝12时，普通列车到达西安， 即普通列车到达终点共需12小时，正确； ③普通列车的速度是千米/小时，正确； ④设动车的速度为x千米/小时， 根据题意，得：3x+3×＝1000， 解得：x＝250， 动车的速度为250千米/小时，正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键． 10．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度． (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离． (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为 (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为 (3)货车出发或后，两车相距 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度，时间，路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）根据题意两车相距，可分两种情况讨论，相遇前和相遇后，利用待定系数法求出当时关于的函数关系式，将代入关系式，求出相应的值是相遇前两车相距时的时间，两车相遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为；当时，两车相距，可得方程，解方程即可得到相遇后两车两车相距时的时间，从而得到答案． 【详解】（1）解：轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：两车相遇前，即时，设与的函数关系式为：，将和代入得： 解得： ∴， 当时，即， 解得：； 两车相遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为； ∴当时，两车相距， ∴， 解得：， ∴货车出发或后，两车相距． 11．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查一次函数的应用．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度（米分）， 故①正确； 设乙速度为米分， 由题意得：， 解得：． ∴乙的速度为80米分． ∴乙走完全程的时间为（分， 故②正确； 由图可知，乙追上甲的时间为：（分， 故③正确； 乙到达终点时，甲离终点的距离是：（米， 故④正确． 故答案为：①②③④． 12．某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有 （填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的图象上特殊点的坐标和实际意义逐项判断即可求解，熟练掌握函数图象信息是解题的关键． 【详解】解：①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，①正确； ②，步行的速度是（千米/时），②正确； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了（分钟），③正确； ④骑车的同学到达目的地时间为54分钟，步行的同学到达目的地时间为60分钟，不同时到达目的地，④不正确． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 13．甲、乙两人从学校出发，沿相同的线路跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程（米）与甲出发的时间（秒）的函数图象，请根据题意解答下列问题： (1)在跑步的全过程中，甲共跑了______米，甲的速度为______米/秒； (2)乙最早出发时跑步的速度为______米/秒，乙在途中等候甲的时间为______秒； (3)乙出发______秒后与甲第一次相遇； (4)______秒时，甲乙两人相距50米． 【答案】(1)900， (2)；100 (3)150 (4)或200或300或 【分析】本题主要考查了根据函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，解题的关键是仔细观察图象，根据图象获取需要数据以及等量关系． （1）根据函数图象可得甲共跑了900米，再根据速度=路程÷时间，即可求出甲的速度； （2）根据图象可得，甲跑500秒跑米，则当乙刚好超过甲150米时，甲的路程为米，进而得出甲此时的时间，最后即可求出乙跑步的速度以及乙在途中等候甲的时间； （3）设乙出发t秒后，第一次相遇，根据相遇时，两人所跑路程相同，列出方程求解即可； （4）根据题意，分乙在出发前和出发后两种情况，①当时，甲乙相距50米，②当时，甲乙相距50米，又有两种情况，甲在乙前方，甲在乙后方： ③乙在甲前等甲时，两者相距50米． 【详解】（1）解：根据函数图象可得， 在跑步的全过程中，甲共跑了900米， 甲的速度为：（米/秒）， 故答案为：900，； （2）解：根据图象可得， 甲跑500秒的路程是：（米）， 当乙刚好超过甲150米时，甲的路程为：（米）， 甲跑600米的时间是：（秒）， 乙跑步的速度是：（米/秒）， 乙在途中等候甲的时间是：（秒）， 即乙跑步的速度是米/秒，乙在途中等候甲的时间是100秒； 故答案为：；100； （3）解：设乙出发t秒后，第一次相遇， ， 解得：， 即乙出发150秒时第一次与甲相遇． 故答案为：150； （4）解：根据题意，分乙在出发前和出发后两种情况， ①当时，甲乙相距50米， ， 解得， ②当时，甲乙相距50米，又有两种情况， 甲在乙前方：， 解得：， 甲在乙后方：， 解得：． ③乙在甲前等甲时，两者相距50米， 当乙刚开始等甲时的路程：， 此时甲的路程：， ， 综上分析，当甲乙两人相距50米时，或200或300或． 故答案为：或200或300或． 14．A，B两地相距60km，甲乙两人沿同一条路从A地前往B地，甲先出发．图中，表示甲、乙两人离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间的关系，请结合图象回答下列问题： (1)图中表示乙离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是______（填或）； (2)当其中一人到达B地时，另一人距B地______km； (3)乙出发多长时间时，甲乙两人刚好相距8km？ 【答案】(1) (2)10 (3)当乙出发或或时，甲乙两人刚好相距8km 【分析】（1）根据甲比乙先出发结合函数图象即可得到答案； （2）先求出甲、乙两人的速度，然后求出乙到达目的地的时间，由此求解即可； （3）分当两人相遇前，相距8km时，当两人相遇后，乙未到B地前，相距8km时， 当两人相遇后，乙到B地后，相距8km时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵甲比乙先出发，当时，，， ∴图中表示乙离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是， 故答案为：； （2）解：∵2小时内，甲行走的路程为40-20=20km，乙行走的路程为40km， ∴甲的速度为20÷2=10km/h，乙的速度为40÷2=20km/h， ∴乙到底B地的时间为60÷20=3h， ∴甲距离B地的距离为60-（20+10×3）=10km， 故答案为：10； （3）解：设乙出发的时间为t， ①当两人相遇前，相距8km时，， 解得， ②当两人相遇后，乙未到B地前，相距8km时，， 解得， ③当两人相遇后，乙到B地后，相距8km时，， 解得， 综上所述，当乙出发或或时，甲乙两人刚好相距8km． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 15．甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地；乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示． （1）求乙车从B地到达A地的速度； （2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）求乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 【答案】（1）100千米/小时；（2）100千米；（3）1.3小时或1.7小时 【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论； （2）根据题意求出n的值以及甲车的速度为即可解答； （3）求出甲车的速度以及乙车返回前的速度，再根据题意列方程解答即可． 【详解】解：（1）m＝300÷（180÷1.5）＝2.5， ∴乙车从A地到达B地所用的时间为2.5小时， ∴乙车从B地返回A地所用时间：5.5－2.5＝3（小时）， ∴乙车从B地到达A地的速度：300÷3＝100（千米/小时）； （2）n＝300÷[（300﹣180）÷1.5]＝3.75， 甲车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝80（千米/时）， 故乙车到达B地时甲车距A地的路程为：80×（3.75﹣2.5）＝100（km）； （3）甲车的速度为80千米/时， 乙车返回前的速度为：180÷1.5＝120（千米/时）， 设乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为x小时，根据题意得： 80x+120x＝300﹣40或80x+120x＝300+40， 解得x＝1.3或x＝1.7， 故乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，甲车行驶的时间为1.3小时或1.7小时． 16．为倡导低碳生活，绿色出行，某电动车俱乐部利用周末组织“远游”活动，电动车队从甲地出发骑向乙地，小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿电动车队行进路线前往乙地，如图是电动车队、邮政车离甲地的路程与电动车队离开甲地时间的函数关系图象；请根据图象解答下列问题： (1)邮政车到达乙地后，电动车距乙地多少千米？ (2)求线段对应的函数关系式； (3)邮政车到达乙地后，马上沿原路以与段相同的速度返回，求邮政车从甲地出发后多长时间再次与电动车相遇． 【答案】(1)30千米 (2) (3)小时 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的运用，解题的关键是： （1）根据图象求出电动车队的速度，再用速度求出邮政车到达乙地后，电动车距乙地的路程； （2）用待定系数法求出函数解析式； （3）邮政车从甲地出发后小时再次与电动车相遇，根据邮政车返回时的路程电动车队的路程列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：电动车队的速度为， ， 答：邮政车到达乙地后，电动车距乙地30千米； （2）解：设线段对应的函数关系式为， 把，代入解析式得：， 解得， 线段对应的函数关系式为； （3）解：邮政车从甲地出发后小时再次与电动车相遇， 根据题意得：， 解得， 答：邮政车从甲地出发后小时再次与电动车相遇． 17．甲、乙两人相约登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题； (1) ______min； (2)若乙提速后，乙登山的速度是甲登山的速度的3倍， ①则甲登山的速度是______； ②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式； ③当甲、乙两人距地面的高度差为时，求x的值． 【答案】(1)2 (2)①10；；③3或10或13． 【分析】（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度，即可算出乙在A地时所用的时间 （2）①求得乙提速后乙的速度，根据乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，即可求得甲的速度． ②找出甲登山全程中y关于x的函数关系式． ③分和两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出乙登上过程中y关于x的函数关系；令二者做差等于70即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1） 解得： 故答案为2． （2）①乙提速后，乙的登上速度为： 乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍， 甲登山上升的速度是； 故答案为10． ∵甲登山上升的速度是， ∴甲登山所用的时间为． 即点 由图像可知点 设直线的函数关系式：， 把，代入解析式解得， ， ∴直线的函数关系式： ③当时， 时， ∴乙登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式为 (3)当时，解得：； 当时，解得：． 当时，解得：． 答：登山3分钟或10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是读懂函数图像，找出数量关系列式计算． 18．甲乙两车从A城出发匀速驶向B城，在整个行驶过程中，两车离开A城的距离y（）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图，则下列结论错误的是（　　） A．A、B两城相距300千米 B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时 C．乙车出发后2.5小时追上甲车 D．当甲乙两车相距50千米时，t的值为或 或 或 【答案】C 【分析】观察图象可判断A、B，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断C；三种情况讨论：第一种情况：甲乙均在行驶当中，再令两函数解析式的差为50，可求得t；第二种情况：乙还没有出发时，，第三种情况：乙已到B城，即甲距离B城还有，可判断D，可得出答案． 【详解】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，选项A描述正确，故本项不合题意； 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，选项B描述正确，故本项不合题意； 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为， 把代入可求得， ∴， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把和代入可得， 解得， ∴， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，C项描述错误，故本项符合题意； 第一种情况：甲乙均在行驶当中， 令，可得， 即， 当时，可解得， 当时，可解得， 第二种情况：乙还没有出发时，， 即：， 第三种情况：乙已到B城，即甲距离B城还有， 即：， 解得：， 综上可知当t的值为或或或，故D项描述正确，故本项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数在行程问题中的应用等知识，准确读懂一次函数图象是解答本题的关键． 19．已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，沿同一条高速路前往B地，甲比乙早出发1小时，如图所示的分别表示甲，乙两车相对于出发地A距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的关系，    根据图象提供的信息，回答下列问题． (1)表示 （甲或乙）车相对与出发地A的距离和乙车行驶时间之间的关系，分别求出对应的两个一次函数表达式． (2)求乙车追上甲车时，乙车行驶了多长时间． 【答案】(1)乙，：；： (2)乙行驶了2小时 【分析】（1）根据两车出发的先后顺序即可分析表示乙车相对与出发地A的距离和乙车行驶时间之间的关系，用待定系数法即可求出对应的函数表达式； （2）当乙车追上甲车时，两车形式路程一样，即当的函数值相等时，求出对应x的值即可． 【详解】（1）解：∵甲比乙早出发1小时， ∴表示乙车相对与出发地A的距离和乙车行驶时间之间的关系， 设直线为，将和代入得： ， 解得： ∴直线的函数表达式为：， 设直线为，将代入得： ， ∴直线的函数表达式为：． （2）由题知：，解得；， ∴乙行驶了2小时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是会用待定系数法求解函数表达式，能够根据图象和题意得出需要的数据和信息． 20．甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题： (1)甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为 ；乙同学上山过程中S乙与t的函数解析式为 ；点D的坐标为 ； (2)若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米； ①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式； ②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米． 【答案】(1)S甲=t，S乙=t，（9，4） (2)①S=-t+13；②当乙到达山顶时，甲与乙的距离是3千米． 【分析】（1）由图可知，甲、乙两同学登山过程中路程s与时间t都成正比例函数，分别设为S甲=k1t，S乙=k2t，用待定系数法可求解，当S甲=4时，可得t=8，即可得D的坐标； （2）①把y=4-0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待定系数法求解即可； ②把y=4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系式求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为S甲=k1t，S乙=k2t， 由图象得2=4k1，2=6k2， ∴k1=，k2=， ∴解析式分别为S甲=t，S乙=t； 当S甲=4时，t=8， ∴甲到达山顶时间是8小时，而甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山， ∴D（9，4）， 故答案为：S甲=t，S乙=t，（9，4）； （2）解：①当y=4-0.75=时，t=， 解得t=， ∴点F（，）， 设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S=kt+b，将D（9，4）和F（，）代入得： 则：，解答， ∴甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S=-t+13； ②乙到山顶所用时间为：4÷=12（小时）， 当x=12时，S=-12+13=1， 当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4-1=3（千米）． 答：当乙到达山顶时，甲与乙的距离是3千米． 【点睛】本题考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求． 21．如图，在一次爬山活动中，小新先出发，1h后，小宇从同一地点出发去追小新，两人在山顶相遇并一起在山顶欣赏日出，而后两人一起沿原路返回，小新和小宇距起点的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．在小宇追小新的过程中，小宇的平均速度是5km/h B．小新从起点出发到山顶的平均速度是4km/h C．AB的函数表达式是y=-4x+52 D．小宇从起点出发到返回起点所用的时间是13小时 【答案】D 【分析】在小宇追小新的过程中，小宇用4h走了20km，可判定A正确，小新从起点出发到山顶用时5h，路程是20km，可判定B正确，设AB函数表达式是y=kx+b，将（8，20），（11，8）代入，可判定C正确，在y=-4x+52中，令y=0得x=13，由小新先出发，1h后，小宇从同一地点出发去追小新，可判断D错误． 【详解】解：由图可知，在小宇追小新的过程中，小宇用4h走了20km， ∴在小宇追小新的过程中，小宇的平均速度是5km/h，故A正确，不符合题意； ∵小新从起点出发到山顶用时5h，路程是20km， ∴小新从起点出发到山顶的平均速度是4km/h，故B正确，不符合题意； 设AB函数表达式是y=kx+b，将（8，20），（11，8）代入得： ，解得：， ∴AB函数表达式是y=-4x+52，故C正确，不符合题意； 在y=-4x+52中，令y=0得x=13， ∵小新先出发，1h后，小宇从同一地点出发去追小新， ∴小宇从起点出发到返回起点所用的时间是13-1=12（小时），故D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是读取图形中信息，写出函数关系式． 22．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ，故①正确， 甲的速度是：，故②正确， 设乙刚开始的速度为，则，得， 则设经过，乙追上甲， ， 解得，，故③正确， 乙刚到达货站时，甲距B地：，故④正确， 综上，四个选项都是正确的， 故答案为：①②③④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $