2.5.1 直线与圆的位置关系重点题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 目录 考点1 直线与圆的位置关系 1 题型1 判断直线与圆的位置关系 1 题型2 由直线与圆的位置关系求参 2 考点2 直线与圆相交 2 题型3 求直线与圆的交点坐标与弦长 3 题型4 中点弦 3 题型5 已知弦长求方程或参数 4 题型6 圆上到直线距离为定值的点个数 5 考点3 直线与圆相切 6 题型7 过圆上一点的切线方程 6 题型8 过圆外一点的切线方程 7 题型9 求切点弦的长与方程 7 考点4 直线与圆位置关系中的最值问题 8 题型10 弦长或面积的最值问题 8 题型11 最值的综合问题 9 考点5 直线与圆位置关系应用 10 题型12 直线与圆的应用 10 考点1 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图形 代数意义 交点个数 0 1 2 联立直线与圆方程后得到关于的一元二次方程 题型1 判断直线与圆的位置关系 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 2．（25-26高二上·全国·单元测试）直线 与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 3．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线 ，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 6．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 题型2 由直线与圆的位置关系求参 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·陕西·阶段练习）若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若关于的方程恰有1个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）若直线与圆有两个不同的交点，则的取值可能为（    ） A．5 B．3 C． D． 6．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆和直线交于两点，为坐标原点，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点2 直线与圆相交 1、 直线与圆相交弦长 设直线l的方程为，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1) 几何法(推荐)：半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2) 代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②联立直线与圆的方程，方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，弦长或. 题型3 求直线与圆的交点坐标与弦长 1．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 2．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）直线截圆所得的弦长（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（    ） A．4 B． C．8 D． 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 题型4 中点弦 1．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知，点是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程是，则下面正确的是（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相切 D．，且与圆相离 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知点为圆 上两点，，点为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课前预习）圆C的半径为r，直线l与圆C交于A，B两点，且圆心C到直线l的距离，其中M为弦AB的中点，则 ，弦长 . 题型5 已知弦长求方程或参数 1．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）若直线被圆：截得的弦长为，则（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）若直线被圆 截得的弦长为4，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线被圆所截得的弦长为，则 . 4．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的一般式方程为 ． 5．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知过点的直线l被圆所截得的弦长为，则直线l的方程为 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 7．（2025高二上·全国·专题练习）过点的直线被圆截得的弦长为，求该直线方程． 题型6 圆上到直线距离为定值的点个数 1．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 3．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（25-26高二上·山西晋中·期中）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南·阶段练习）若圆：上到直线：的距离为3的点恰有3个，则 ；直线被圆截得的弦长为 . 考点3 直线与圆相切 一、求圆的切线方程 (1) 定点在圆上：过圆上一点与圆相切的直线有一条 求切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果或不存在，则由图形可直接得切线方程. 重要结论： 1 经过圆上一点的切线方程为 2 经过圆上一点的切线方程为 3 经过圆上一点的切线方程为 (2) 定点在圆外：过圆外一点与圆相切的直线有二条 求切线方程 1 几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值. 2 代数法：设出切线的方程，利用，求出未知数的值. 二、求切线长 过圆外一点作圆的切线，切点为A，则切线长 题型7 过圆上一点的切线方程 1．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为 ． 2．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）过点作圆：的切线，则切线方程为 ． 3．（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点的直线与圆相切，则直线的方程为 . 题型8 过圆外一点的切线方程 1．（多选题）（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，则入射光线所在的直线方程为（      ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西晋中·期中）过点与圆相切的直线方程为 . 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射后的光线所在直线的方程为 ． 题型9 求切点弦的长与方程 1．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则 ． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 5．（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 6．（2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点. 7．（25-26高二上·全国·课后作业）过圆上的一动点作圆的两条切线，则圆内不在任何切点弦（两个切点之间的线段称为切点弦）上的点形成的区域的面积为 ． 考点4 直线与圆位置关系中的最值问题 1、 圆的过定点的弦长的最值问题 过圆内定点与圆相交的直线，交于，两点 （1） 当直线过圆心时，即由点与圆心点确定直线，弦长取最大值 （2） 当直线与所在直线垂直时，弦长取最小值 二、与圆有关的数形结合的最值问题 （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值. （3）形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题； 题型10 弦长或面积的最值问题 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 2．（25-26高二上·江西萍乡·阶段练习）已知圆，直线. (1)证明：直线l总与圆相交； (2)求直线l被圆C截得的弦长最短时a的值以及最短弦长． 3．（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 5．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形（为圆的圆心）面积的最小值是（    ） A．24 B．18 C．12 D．8 7．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知为圆上任一点， ，为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为 ． 题型11 最值的综合问题 1．（多选题）（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 2．（多选题）（25-26高二上·江西·阶段练习）已知直线与圆，则（   ） A．截的弦长可能为4 B．截的弦长不可能为3 C．当时，一定与相交 D．当时，可能与相切 3．（多选题）（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C．当最小时， D．当最大时， 4．（多选题）（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点在圆上，点、，则（  ） A．点到直线的距离小于 B．到直线的距离大于1 C．当最小时， D．当最大时， 5．（多选题）（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 考点5 直线与圆位置关系应用 题型12 直线与圆的应用 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为 小时. 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    3．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 4．（24-25高二上·贵州毕节·期末）一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m． 5．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 6．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 目录 考点1 直线与圆的位置关系 1 题型1 判断直线与圆的位置关系 1 题型2 由直线与圆的位置关系求参 3 考点2 直线与圆相交 6 题型3 求直线与圆的交点坐标与弦长 7 题型4 中点弦 9 题型5 已知弦长求方程或参数 10 题型6 圆上到直线距离为定值的点个数 12 考点3 直线与圆相切 15 题型7 过圆上一点的切线方程 15 题型8 过圆外一点的切线方程 17 题型9 求切点弦的长与方程 19 考点4 直线与圆位置关系中的最值问题 23 题型10 弦长或面积的最值问题 24 题型11 最值的综合问题 27 考点5 直线与圆位置关系应用 31 题型12 直线与圆的应用 31 考点1 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图形 代数意义 交点个数 0 1 2 联立直线与圆方程后得到关于的一元二次方程 题型1 判断直线与圆的位置关系 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 2．（25-26高二上·全国·单元测试）直线 与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【分析】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心. 【详解】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 3．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线 ，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【答案】C 【分析】计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 6．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 题型2 由直线与圆的位置关系求参 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切求出，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为2， 由直线与圆相切， 则，解得， 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（25-26高二上·陕西·阶段练习）若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为 ，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由得 ， 所以直线与半圆 有个公共点， 作出直线与半圆的图形，如图： 当直线经过点时，， 当直线与圆相切时，， 解得或（舍）， 由图可知，当直线与曲线有个公共点时，. 故选：C. 3．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图像，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解. 【详解】由题意可得， 曲线的图像为以为圆心，2为半径的半圆， 直线恒过， 根据题意画出图形，如图所示．    由图可知当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离， 即，解得； 当直线l过点时，直线l的斜率， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若关于的方程恰有1个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出半圆和直线，由题意，两个图象有且仅有一个公共点，即可求解. 【详解】解：由题意，原问题等价于直线与曲线有且仅有一个交点， 因为，即，所以曲线表示以为圆心，半径为3的圆的上半部分， 结合图象，当直线经过时，； 当直线经过时，； 当直线与半圆相切时，，解得或（舍去）； 所以实数a的取值范围是或， 故选：D 5．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）若直线与圆有两个不同的交点，则的取值可能为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先将圆化为标准方程，从而可得其圆心和半径，再根据题意可得圆心到直线的距离小于半径，再利用点到直线的距离公式即可求出的取值范围，进而结合选项即可得到答案． 【详解】由圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径为， 又圆的半径需满足，解得， 又直线与圆有两个不同交点， 则圆心到直线的距离小于半径， 即，解得， 综上，的取值范围是， 结合选项，的取值可能为． 故选：C． 6．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆和直线交于两点，为坐标原点，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】（1）法一取的中点，根据条件，求出的坐标，进而得，，利用题设条件得，再利用，即可求解；法二，设，根据条件得，联立直线与圆的方程，利用根与系数间的关系得，代入即可求解. 【详解】法一：由，得到， 所以圆心为，半径为， 取的中点，则，又直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 由，解得，则， 故，， 由，知，所以， 在中，由，得到，解得. 法二：设，由，知. 又， 所以，即①， 由，消去得， 所以，代入①式得，解得. 故选：C. 考点2 直线与圆相交 1、 直线与圆相交弦长 设直线l的方程为，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1) 几何法(推荐)：半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2) 代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②联立直线与圆的方程，方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，弦长或. 题型3 求直线与圆的交点坐标与弦长 1．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 因为圆的半径为2，所以， 故选：B 2．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）直线截圆所得的弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理和勾股定理，利用两点间距离公式，利用韦达定理结合方程可求得弦长. 【详解】（方法1：几何法）圆的半径r＝，圆心到直线的距离为 ，则. （方法2：两点距离公式）由，消去得， 解得或，直线与圆的交点，，则. （方法3：韦达定理）由，消去得， 由韦达定理得，，，又， 则. 故选:A. 3．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 【答案】4 【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长. 【详解】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 所以截轴所得弦长为. 故选：C. 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式即可求得答案. 【详解】圆即为圆， 则圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 故， 故选：D 题型4 中点弦 1．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知，点是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程是，则下面正确的是（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相切 D．，且与圆相离 【答案】D 【分析】由题意可得，求得，进而利用圆心到直线的距离公式可求得圆心到直线的距离，可得结论. 【详解】因为在圆内，所以， 又因为直线是以点为中点的弦所在的直线，，所以， 所以.又因为，，所以直线与直线垂直. 又因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相离. 故选：D. 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知点为圆 上两点，，点为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求出圆心及半径，由求解即可. 【详解】由题可得圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则. 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·课前预习）圆C的半径为r，直线l与圆C交于A，B两点，且圆心C到直线l的距离，其中M为弦AB的中点，则 ，弦长 . 【答案】 【分析】利用勾股定理求圆的弦长. 【详解】圆C的半径为r，圆心C到直线l的距离，则为中点，且, 中, ，. 故答案为：； 题型5 已知弦长求方程或参数 1．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）若直线被圆：截得的弦长为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由弦长公式可得，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径， 则弦长为， 解得， ， 解得． 故选：C． 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）若直线被圆 截得的弦长为4，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据已知，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列方程求参数即可. 【详解】由题设，圆心，半径为，则到的距离， 由直线与圆相交所得弦长为4，则，即，所以. 故选：D 3．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线被圆所截得的弦长为，则 . 【答案】或 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求得圆的圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，列出关于的方程，即可求解. 【详解】由圆的方程，可得， 可得圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 因为直线被圆所截得的弦长为， 由圆的弦长公式，可得，即，即， 整理得，解得或. 故答案为：或. 4．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】根据圆的标准方程求得圆心坐标，然后根据求得直线的斜率，进而根据点斜式求解直线方程即可. 【详解】由题意可知圆心坐标，由于点为弦的中点，则， 又，所以， 所以弦所在直线的方程为，整理得：. 故答案为： 5．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知过点的直线l被圆所截得的弦长为，则直线l的方程为 【答案】或 【分析】根据圆中的弦长公式求出弦心距，再根据点到直线的距离公式求出直线的斜率，可得直线方程. 【详解】圆的方程写成标准形式得，可知圆心的坐标为，半径为， 因为直线被圆所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为， 因为直线过点， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，则圆心到直线的距离为，不合题意； 所以所求直线的斜率存在，可设直线的方程为，即， 则，整理得，解得或， 所以所求直线的方程分别为: 或. 故答案为：或. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 7．（2025高二上·全国·专题练习）过点的直线被圆截得的弦长为，求该直线方程． 【答案】或． 【分析】用点斜式设出直线方程，利用点到直线的距离公式，列出等式，即可解出斜率和直线方程. 【详解】由例题知，圆心为，半径长为， 又弦长为，所以圆心到直线的距离 ． 又直线过点，可知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k，则直线方程为， 所以，解得或， 所以直线方程为或， 即或． 题型6 圆上到直线距离为定值的点个数 1．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线的距离, 从而可得结论. 【详解】由，可得， 所以圆心的坐标为, 半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交，且圆上与直线的距离等于的点共有3个. 故选：B. 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 3．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】圆的圆心到直线距离， 若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则，即. 故选： D. 4．（25-26高二上·山西晋中·期中）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【详解】由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 5．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆上到直线距离为的点有且仅有个这一条件，确定的取值范围. 【详解】圆心到直线的距离为：， 根据题意，圆上到直线距离为的点有且仅有个，需满足：，   因此， 的取值范围为. 故选：A. 6．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可设的方程为，由题意可知圆心到直线的距离，代入运算即可. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 可设的方程为，即， 若圆上恰有3个点到直线的距离为2， 则圆心到直线的距离，解得. 故选：D 7．（25-26高二上·河南·阶段练习）若圆：上到直线：的距离为3的点恰有3个，则 ；直线被圆截得的弦长为 . 【答案】 6 【分析】根据圆上到直线的距离为3的点恰有3个，确定圆心到直线的距离与半径的关系，进而求出半径，再利用弦长公式求出弦长. 【详解】根据题意可知圆心，则点到直线的距离为， 所以要使圆上到直线的距离为3的点恰有3个，又因为圆心到直线的距离， 所以到直线距离为3的其中一条平行线经过圆心，另一条平行线与圆心的距离为， 要使交点恰有3个，则另一条平行线必须与圆相切，故半径 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：；. 考点3 直线与圆相切 一、求圆的切线方程 (1) 定点在圆上：过圆上一点与圆相切的直线有一条 求切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果或不存在，则由图形可直接得切线方程. 重要结论： 1 经过圆上一点的切线方程为 2 经过圆上一点的切线方程为 3 经过圆上一点的切线方程为 (2) 定点在圆外：过圆外一点与圆相切的直线有二条 求切线方程 1 几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值. 2 代数法：设出切线的方程，利用，求出未知数的值. 二、求切线长 过圆外一点作圆的切线，切点为A，则切线长 题型7 过圆上一点的切线方程 1．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题可得点  在圆上，则切线，利用斜率关系即可求解. 【详解】由题可得点在圆上， 所以过点作圆的切线，由于，则， 所以切线的方程为：，即， 故答案为： 2．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）过点作圆：的切线，则切线方程为 ． 【答案】 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心的连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 3．（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 【答案】 【分析】将A点代入圆的方程中，发现点A在圆上，则圆心到A点的斜率为0，则切线斜率不存在，是垂直于x轴的直线即可求出切线方程. 【详解】因为， 所以点在圆上，从而A是切点， 又过圆心与点A的直线斜率为，且切线与之垂直， 故所求切线的方程为． 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点的直线与圆相切，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先可得点在圆上，求出，即可求出直线的斜率，再由点斜式求出切线方程. 【详解】圆的圆心为， 又，所以点在圆上， 又由直线的斜率， 所以直线的斜率为2，则直线的方程为，即． 故答案为：． 题型8 过圆外一点的切线方程 1．（多选题）（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，则入射光线所在的直线方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】化简圆的方程为标准方程，求出关于轴对称的圆的方程，设的斜率为，利用相切求出的值即可得到的方程． 【详解】已知圆的标准方程是， 它关于轴的对称圆的方程是， 可知入射光线所在的直线的斜率存在，设光线所在直线的方程是，    由题设知对称圆的圆心到这条直线的距离等于1， 即．整理得：，解得：或, 故所求的直线方程是或，即或． 故选：AD． 2．（25-26高二上·山西晋中·期中）过点与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过斜率不存在、存在及直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】由条件可知：与相切， 当斜率存在时，设斜率为，得，由直线与圆相切， 又圆心坐标为， 可得：，解得：， 此时切线方程为：， 即直线的方程：或， 故选：AC 4．（25-26高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据给定条件，按直线的斜率是否存在分类，利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 点到直线的距离为，则直线的方程可为； 当的斜率存在时，设的方程为，由直线与圆相切，得， 解得，则的方程为，即， 所以直线的方程为或. 故选：B 5．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射后的光线所在直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据反射光线的性质，设出反射光线所在直线方程，利用圆心到直线距离等于半径求直线斜率即可得解. 【详解】点关于轴的对称点， 根据光线的反射定律，反射后光线所在直线经过点 ， 因为反射光线与圆相切， 易知切线斜率存在，设反射光线所在直线方程为， 所以圆心到直线的距离，解得或， 所以反射光线所在直线方程为或 化简可得：或， 故答案为：或 题型9 求切点弦的长与方程 1．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则 ． 【答案】 【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 【答案】/ 【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，根据图形上的几何关系和等面积法求出. 【详解】，即，故圆心为，半径为． 如图，连接，因为，所以 ， 故切线长 ． 连接，由（等面积法）， 解得． 故答案为：. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 5．（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 6．（2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点. 【答案】证明见解析 【分析】设点，根据题意得到和的关系式，并推导出四点共圆，求出该圆的方程，与所在的另一个圆的方程联立，即可得到所在直线的方程，最后求解定点即可. 【详解】设点，则，， 由过点作圆的切线，切点为可知，， 可得四点共圆，为该圆直径， 该圆圆心为中点，半径长为， 因此四点确定的圆的方程为， 即，， 又因为也在圆上，联立可得， 从而圆的切点弦所在直线的方程为， 变形得，得，即， 联立方程，解得， 故直线过定点，定点坐标为. 7．（25-26高二上·全国·课后作业）过圆上的一动点作圆的两条切线，则圆内不在任何切点弦（两个切点之间的线段称为切点弦）上的点形成的区域的面积为 ． 【答案】/ 【分析】方法一，设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出区域面积；方法二，设点，则，“留一代一”求得切点弦方程，求出点到直线的距离，进而求出区域面积. 【详解】 方法一：如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以，则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切，在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 方法二：如图所示，弦即为点所对应的切点弦，设点，则，弦所在直线方程为． 因为原点到直线的距离为， 故圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为． 故答案为：. 考点4 直线与圆位置关系中的最值问题 1、 圆的过定点的弦长的最值问题 过圆内定点与圆相交的直线，交于，两点 （1） 当直线过圆心时，即由点与圆心点确定直线，弦长取最大值 （2） 当直线与所在直线垂直时，弦长取最小值 二、与圆有关的数形结合的最值问题 （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值. （3）形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题； 题型10 弦长或面积的最值问题 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 2．（25-26高二上·江西萍乡·阶段练习）已知圆，直线. (1)证明：直线l总与圆相交； (2)求直线l被圆C截得的弦长最短时a的值以及最短弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，最短弦长 【分析】（1）求出直线所过的定点后可证直线与圆总相交； （2）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，利用几何法可求此时弦长. 【详解】（1）直线，即， 联立，解得，所以不论a取何值，直线l必过定点， 又， 则在圆内部，故直线与圆总相交. （2）由，知圆心，半径为. 当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l的斜率为，， 由，解得此时直线l的方程是 圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是 3．（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值. 【详解】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设其中一个切点为A， 则切线长， 所以切线长的最小值为. 故选：C. 4．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 5．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知有、均恒过点，且，令，则，结合圆的弦长求法有，再应用基本不等式求其最大值，注意取值条件. 【详解】由，圆心，半径为， 、均恒过点， 由知，且，即在圆内，如下图示， 所以，设分别是的中点，则， 令，则， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，故最大值为. 故选：A 6．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形（为圆的圆心）面积的最小值是（    ） A．24 B．18 C．12 D．8 【答案】C 【分析】根据切线的性质先计算圆的圆心和半径及圆心到直线距离，要求四边形面积的最小值，只要求出的最小值即可，求得面积即可. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 点到直线的距离， 当时，则， 因为是圆的切线，所以， 故四边形面积的最小值是. 故选：C. 7．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知为圆上任一点， ，为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件恒定，要使面积的最大只需找到圆上距离直线最远的点，根据圆和直线的方程结合点到直线的距离公式求解． 【详解】 为圆心是，半径是1的圆， ， 要使的面积最大，只需使点到直线的距离最大， 圆心到直线的距离为：， 点到直线的距离的最大值为：， 面积的最大值为：． 故答案为：． 题型11 最值的综合问题 1．（多选题）（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 【答案】AC 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】    圆心到直线的距离， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得， 当时取得等号，所以长的取值范围为，故A正确； 因为，所以四边形的面积等于， 四边形的最小值为，故B错误； 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 设，因为， 整理得， 则有△，所以满足条件的点有两个，故C正确； 因为， 所以当，即，面积有最大值为， 此时四边形为正方形，则，满足要求，故D错误． 故选：AC 2．（多选题）（25-26高二上·江西·阶段练习）已知直线与圆，则（   ） A．截的弦长可能为4 B．截的弦长不可能为3 C．当时，一定与相交 D．当时，可能与相切 【答案】ACD 【分析】求出圆心和半径，并得到到直线的距离，AB选项，举出实例得到A正确，B错误；C选项，求出圆C与两坐标轴的交点坐标，根据得到点B在线段OM上，或点A在线段ON上，一定与相交；D选项，直线与圆C相切的充要条件是，即，举出实例可得D正确. 【详解】A选项，的圆心坐标为，半径为. 由，得和均不为零且符号相同. 到直线的距离. 当直线与圆C相交时，设截得的弦长为，则， A选项，要想弦长为4，需满足，故， 不妨设，，满足，直线过点C，此时弦长为4，故A正确； B选项，令，，此时，解得， 截的弦长可能为3，故B错误； C选项，直线与轴交于点，与轴交于点， 中，令得，令得， 当，时， 圆C与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点， 因为，所以点B在线段OM上，或点A在线段ON上， 即A，B至少有一点在圆C内，所以一定与C相交； 当，时，同理可得，一定与C相交，故C正确； D选项，直线与圆C相切的充要条件是，即， 当时，，此时满足要求，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选题）（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BD 【分析】根据题意，确定圆心坐标与半径，结合直线与圆的位置关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径， 且，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误；    在中，， 当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为， 则，故B正确；    如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值， 此时，切线长， 其中，则，故C错误，D正确； 故选：BD 4．（多选题）（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点在圆上，点、，则（  ） A．点到直线的距离小于 B．到直线的距离大于1 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BCD 【分析】先求出直线的方程，圆心和半径.利用几何法求出点到直线的距离的范围，判断A、B；判断出当过的直线与圆相切时,满足最小或最大，利用勾股定理求出，可判断C、D. 【详解】因为点、，所以过的直线方程为即. 圆的圆心坐标为，半径. 因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的范围为. 因为,所以. 因为,所以. 所以点到直线的距离不一定小于7,但一定大于1，故A错误, B正确. 如图, 当过的直线与圆相切时,满足最小或最大(点位于时最小,位于时最大),此时, 所以,故C、D正确. 故选：BCD 5．（多选题）（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【答案】BCD 【分析】先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值即可判断AB；设，即与圆有公共点，利用几何法即可判断C；设，即直线与圆有交点，利用几何法即可判断D. 【详解】由题意有：圆心为，由圆心到直线的距离： ，所以P点到直线的距离的最大值为，故A错误； 所以P点到直线的距离的最小值为，故B正确； 设，即，则与圆有公共点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故C正确； 表示圆上点与点连线的斜率， 设，即，直线与圆有交点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故D正确. 故选：BCD. 考点5 直线与圆位置关系应用 题型12 直线与圆的应用 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为 小时. 【答案】10 【分析】建立平面直角坐标系，小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，则台风侵袭轮船等价于，建立不等式求解即可. 【详解】以为坐标原点，台风移动的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，圆心， 此时轮船的位置为， 则台风侵袭轮船等价于， 所以，解得， 所以台风侵袭轮船的时长为小时. 故答案为：10. 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65 3．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 4．（24-25高二上·贵州毕节·期末）一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m． 【答案】 【分析】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系，根据题意求出圆的方程，然后再根据题意设点代入圆方程求解即可. 【详解】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系， 设圆心为，半径为，则圆的方程为：， 拱顶距离水面时，水面宽为，可知点在圆上， 把点的坐标代入圆方程中得：，解得， 所以圆的方程为：， 当水面下降时，设， 代入圆方程得：，解得，即， 该点关于纵轴的对称点的坐标为，因此此时水面宽为m. 故答案为：. 5．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 6．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $