15.3.2 第2课时含30°角的直角三角形的性质-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（人教版2024）

心新导学课时练 数学·八年级（上）·RJ 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD= 知识梳理·自主学习 1.含30°角的直角三角形的性质 2AB,∠A=30°，求证：△BDC是等边三 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 角形 那么它所对的直角边等于斜边的 2.图例 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 名师点睛 有BC= 2AB. 应用含30°角的直角三角形的性质的 条件：一是直角三角形；二是含有30°角.两 B 知识要点·多维突破 者缺一不可 知识点一 含30°角的直角三角形的性质 知识点二含30°角的直角三角形的性质的 1.如图，在△ABC中，∠A·∠B:∠C= 应用 1：2:3,若BC=6,则AB等于 ( 5.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯 A.2 B.3 C.9 D.12 示意图，其中AB,CD分别表示一楼、二楼 地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是 8m,则乘电梯自点B到点C上升的高度h 是 30°C m C B 第1题图 第2题图 150° 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10, D ∠B=30°，点P是线段BC边上的一动点， 第5题图 第6题图 连接AP,则AP长不可能是 ) 6.如图，两条高铁路线AC与AD相交于车站 A.4.5 B.5.5 A,B市在∠CAD的平分线上，且距车站A C.6.5 D.9.5 为20km,∠DAC=60°，则B市与高铁AC 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC 路线的距离为 km. 120°，AD⊥AC交BC于点D,AD=3,则 7.某市在“旧城改造”中，30m 5050m A BC= 计划在城内一块如图 B C 所示空地上种植草皮美化环境，已知这种草 皮每平方米要80元，买这种草皮至少需 元 060 第十五章轴对称 新导学课时练 名师点睛 AB上（不与点A,B重合），且∠BCD= 当题中出现15°，30°，60°角时，通过找直 30°，则AD的长为 角三角形或倍角或角平分线构造含30°角的 5.如图，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1, 直角三角形，可以得到线段的数量关系 ∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD 的长.（提示：延长AD,BC交于点E) C 综合演练·应用提升 D 【能力提升】 B 1.(内蒙古中考)如图，在△ABC中，∠C= 90°，∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半 径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再 分别以点M,N为圆心，大于MN的长为 半径画弧，两弧交于点P,连接AP并延长 【素养闯关】 交BC于点D.若△ACD的面积为8，则 6.(核心素养·模型观念)如图，某轮船由西向 △ABD的面积是 东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏 A.8 B.16 C.12 D.24 东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小 A 岛P的方位是北偏东60° M B 北 北 D 750 60° 第1题图 第2题图 B 东 2.如图，∠AOB=15°，P是OA上一点，P与 P'关于OB对称，作P'M⊥OA于点M, (1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少 OP=4,则OP'= ,MP'= 海里？ 3.如图，在△ABC中， (2)小岛P方圆3海里内有暗礁，如果轮船 ∠ACB=90°，∠A= 继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危 30°，BC=4,以点C为 险？请说明理由. 圆心，CB长为半径作 米E 弧，交AB于点D,再分别以点B和点D为 圆心，大于2BD的长为半径作弧，两弧相 交于点E,作射线CE交AB于点F,则AF 的长为 4.（分类讨论思想)如图，在 B Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°，AB=8.若点D在直线 61●(DE=DF, 小专题集训三分类讨论在 在△EGD和△FCD中，∠EDG=∠FDC, DG=DC, 等腰三角形中的应用 .△EGD≌△FCD(SAS),∴.EG=FC, 1.D2.C3.D ,∴.CF=EG=CG+CE=CD+CE,即CD+CE=CF. 4.50°或80°5.B 第2课时含30°角的直角三角形的性质 6.解：在△ABC中，AB=AC,BC=5cm,CD是AB边上的 中线，如图，设腰长是2xcm,分两种情况考虑： 【知识梳理·自主学习】 ①当AD+AC与BC+BD的差是3cm时，(2x+x) 1.一半 (x十5)=3，解得x=4,所以2x=8,此时三角形的三边长 【知识要点·多维突破】 分别为8cm,8cm,5cm,符合三角形的三边关系，所以 1.D2.A3.9 △ABC的周长为8+8+5=21(cm); 4.证明：.在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ②当BC+BD与AD+AC的差是3cm时，(x+5)- 六∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，BC=2AB. (2x十x)=3,解得x=1,所以2x=2,此时三角形的三边长 :CD=合AB,BC=CD.∴△BDC是等边三角卷， 分别为2cm,2cm,5cm,不符合三角形的三边关系. 综上，这个等腰三角形的周长为21cm. 5.46.107.30000 【综合演练·应用提升】 1.B2.423.64.12或6 5.解：如图，延长AD,BC交于点E, 7.C8.D ∠A=30°，∠B=90°， D 9.解：分两种情况讨论： .∠E=60°. ①若∠A<90°，如图①所示， :∠ADC=120°，.∠EDC=60°， .BD⊥AC,∴.∠A+∠ABD=90° ,△EDC是等边三角形. ∠ABD=50°，.∠A=90°-50°=40°. 设CD=CE=DE=x, .AB=AC, .AD=4,BC=1,.2(1+x)=x+4, 解得x=2,CD=2. ∠ABC=∠C= 2×(180°-40)=70. 6.解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D, .在A处测得小岛P在北偏东75°方向，.∠PAB=15. .在B处测得小岛P在北偏东60°方向，.∠PBD=30°， .∠APB=∠PBD-∠PAB=15°， 图① 图② ∴.∠APB=∠PAB,.PB=AB=7(海里). ②若∠A>90°，如图②所示， (2)轮船没有触礁的危险.理由如下： 同①可得∠DAB=90°-50°=40°， 1 :∠PBD=30,PD=2PB=3.5>3,该轮貉继续向 .AB=AC, 1 东航行，没有触礁的危险 ∠ABC=∠C= ∠DAB=20. 北 北 综上所述，等腰三角形底角的度数为70°或20° 609 第十五章回顾与提升 B D东 【典题精练·考点突破】 1.A2.D3.A 43