15.3.2 第1课时等边三角形的性质与判定-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（人教版2024）

(2).FE⊥AB,AE=BE, (AG-AC, .FE垂直平分AB,.AF=BF, 在△GAD和△CAD中，∠GAD=∠CAD, ∴.∠BAF=∠ABF AD-AD, 又，∠ABD=∠BAD,.∠FAD=∠FBD=36. ∴.△GAD≌△CAD(SAS), 又，∠ACB=72, ∴.GD=CD,∠AGD=∠ACD ∴.∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°， '∠AGD=180°-∠B-∠GDB,∠ACD=180°-∠ACB, .∠CAF=∠AFC=36°， .180°-∠B-∠GDB=180°-∠ACB, ,AC=CF,即△ACF为等腰三角形. ∠B+∠GDB=∠ACB. 5.解：(1)AB=AC+CD,理由如下： :∠ACB=2∠B,∠B+∠GDB=2∠B, 如题图1，在AB上截取AE=AC,连接DE. .∠GDB=∠B,GD=GB=AB十AG=AB+AC, ,AD为∠BAC的平分线， ∴.CD=AB+AC. ∴.∠EAD=∠CAD. (AE=AC, 在△EAD和△CAD中，∠EAD=∠CAD, D 图② 图③ AD-AD, .△EAD≌△CAD(SAS), 15.3.2等边三角形 ∴.ED=CD,∠AED=∠ACB=90°， 第1课时等边三角形的性质与判定 .∠BED=90°. :∠ACB=2∠B=90°，∠B=45°， 【知识梳理·自主学习】 ∴.∠EDB=∠B=45°，.ED=EB, (1)60°(2)相等(3)等腰三角形 ∴.EB=CD,∴.AB=AE+EB=AC十CD. 【知识要点·多维突破】 (2)AB=AC+CD,理由如下： 1.D2.B3.40°4.75 5.(1)解：，△ABC是等边三角形，BD是中线， 如图②，在AB上截取AF=AC,连接FD, :AD为∠BAC的平分线，∠FAD=∠CAD. .∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）. 又CE=CD, (AF=AC, ∠CDE=∠CED. 在△FAD和△CAD中，∠FAD=∠CAD, 又：∠BCD=∠CDE十∠CED, AD-AD, .∴.△FAD≌△CAD(SAS), ∴∠CDE=∠CED=∠BCD=80. .FD=CD,∠AFD=∠ACB. (2)证明：由(1)知∠DBC=∠DEC=30°， :∠AFD=∠B+∠FDB,∠ACB=2∠B, DB=DE(等角对等边)， ∠B+∠FDB=2∠B, △DBE是等腰三角形 ∴∠FDB=∠B,,FD=FB, 6.D7.C8.A .FB=CD,..AB=AF+FB=AC+CD. 9.证明：，DE垂直平分线段AC, (3)不成立，CD=AB+AC .DA=DC..∠DAC=∠C=30°. 解析：如图③，在BA的延长线上取一点G,使AG=AC,连 .∠ADB=∠DAC+∠C=60. 接DG. ∠B=60°， ,AD为∠CAG的平分线， ∠BAD=∠B=∠ADB=60. .∠GAD=∠CAD. ,△ABD是等边三角形， 41 10.(1)证明：△ABC和△CDE是等边三角形， ∴.∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°， .AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∠CED=∠ADB=∠DFE,.△DEF是等边三角形. '.∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, (2)如图，连接AC交BD于点O, 即∠ACD=∠BCE. .AB=AD,CB=CD, (AC=BC, AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD. 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, :AB=AD,∠BAD=60°，∠BAC=∠DAC=30°. CD=CE, .'CE∥AB,∴.∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°， .△ACD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE. ..AE=CE=8,.'.DE=AD-AE=12-8=4. (2)解：△CPQ是等边三角形，证明如下： ,△DEF是等边三角形，∴EF=DE=4, 由(1)得△ACD≌△BCE, ∴.CF=CE-EF=8-4=4. ∴.AD=BE,∠PAC=∠QBC P,Q分别是AD,BE的中，点， AP-2AD,BQ-2BE, :.AP=BQ. (AP-BQ, 6.【问题解决】证明：如图①，在CD上截取 在△APC和△BQC中，{∠PAC=∠QBC, CH=CE,连接EH.,△ABC是等边三角 AC=BC, 形，.∠ECH=60° '.△APC≌△BQC(SAS), ,CE=CH,△CEH是等边三角形， 图① ∴.CP=CQ,∠PCA=∠QCB, ∴，EH=EC=CIH,∠CEH=60°. .∠PCA-∠PCB=∠QCB-∠PCB, :△DEF是等边三角形，.DE=FE,∠DEF=60°， 即∠PCQ=∠ACB=60°，∴△CPQ是等边三角形. ∴.∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°， 【综合演练·应用提升】 ∴.∠DEH=∠FEC. 1.A2.D3.B (DE=FE, 4.解：(1)，△ABC是等边三角形，.∠B=60°. 在△DEH和△FEC中，{∠DEH=∠FEC, .DE∥AB,∴.∠EDC=∠B=60 EH=EC, .EF⊥DE,.∠DEF=90°， ∴.△DEH≌△FEC(SAS),∴.DH=CF, ∴.∠F=90°-∠EDC=30°. ..CD-CH+DH=CE+CF,E CE+CF=CD. (2):∠ACB=60°，∠EDC=60°， 【类比探究】解：CD十CE=CF,理由如下： △EDC是等边三角形 :△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60° ∠DEF=90°， 如图②，过D作DG∥AB,交AC的延 .∠CEF=30°，由(1)可知∠F=30°， 长线于点G, .'.CE=CF..'.CD=CE=CF=2 cm, ∴∠GDC=∠B=60°， ∴.DF=DC+CF=4(cm) ∠DGC=∠A=60°， 5.解：(1)△DEF是等边三角形.理由如下： .△GCD为等边三角形， 图② .AB=AD,∠A=60°， ∴.DG=CD=CG. ∴，△ABD是等边三角形， △DEF为等边三角形， .∠ABD=∠ADB=60. ∴.ED=DF,∠EDF=60°， .CE∥AB, ∴.∠EDF=∠GDC,.∠EDG=∠FDC 42 (DE=DF, 小专题集训三分类讨论在 在△EGD和△FCD中，∠EDG=∠FDC, DG=DC, 等腰三角形中的应用 .△EGD≌△FCD(SAS),∴.EG=FC, 1.D2.C3.D ,∴.CF=EG=CG+CE=CD+CE,即CD+CE=CF. 4.50°或80°5.B 第2课时含30°角的直角三角形的性质 6.解：在△ABC中，AB=AC,BC=5cm,CD是AB边上的 中线，如图，设腰长是2xcm,分两种情况考虑： 【知识梳理·自主学习】 ①当AD+AC与BC+BD的差是3cm时，(2x+x) 1.一半 (x十5)=3，解得x=4,所以2x=8,此时三角形的三边长 【知识要点·多维突破】 分别为8cm,8cm,5cm,符合三角形的三边关系，所以 1.D2.A3.9 △ABC的周长为8+8+5=21(cm); 4.证明：.在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ②当BC+BD与AD+AC的差是3cm时，(x+5)- 六∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，BC=2AB. (2x十x)=3,解得x=1,所以2x=2,此时三角形的三边长 :CD=合AB,BC=CD.∴△BDC是等边三角卷， 分别为2cm,2cm,5cm,不符合三角形的三边关系. 综上，这个等腰三角形的周长为21cm. 5.46.107.30000 【综合演练·应用提升】 1.B2.423.64.12或6 5.解：如图，延长AD,BC交于点E, 7.C8.D ∠A=30°，∠B=90°， D 9.解：分两种情况讨论： .∠E=60°. ①若∠A<90°，如图①所示， :∠ADC=120°，.∠EDC=60°， .BD⊥AC,∴.∠A+∠ABD=90° ,△EDC是等边三角形. ∠ABD=50°，.∠A=90°-50°=40°. 设CD=CE=DE=x, .AB=AC, .AD=4,BC=1,.2(1+x)=x+4, 解得x=2,CD=2. ∠ABC=∠C= 2×(180°-40)=70. 6.解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D, .在A处测得小岛P在北偏东75°方向，.∠PAB=15. .在B处测得小岛P在北偏东60°方向，.∠PBD=30°， .∠APB=∠PBD-∠PAB=15°， 图① 图② ∴.∠APB=∠PAB,.PB=AB=7(海里). ②若∠A>90°，如图②所示， (2)轮船没有触礁的危险.理由如下： 同①可得∠DAB=90°-50°=40°， 1 :∠PBD=30,PD=2PB=3.5>3,该轮貉继续向 .AB=AC, 1 东航行，没有触礁的危险 ∠ABC=∠C= ∠DAB=20. 北 北 综上所述，等腰三角形底角的度数为70°或20° 609 第十五章回顾与提升 B D东 【典题精练·考点突破】 1.A2.D3.A 43第十五章轴对称 新导学课时练。 15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 A 知识梳理·自主学习签 4.如图，△ABC是等边三角形，两个锐角都是 45°的三角尺的一条直角边在BC上，则∠1 等边三角形的性质与判定 的度数为 (1)等边三角形的三个角都相等，并且每一个 5.(教材P93T12变式)如图，△ABC是等边三 角都等于 角形，BD是中线，延长BC到点E,使CE= (2)三个角都 的三角形是等边三 CD. 角形 (1)求∠CDE的度数， (3)有一个角是60°的 是等边三 (2)求证：△DBE是等腰三角形. 角形 B 知识要点·多维突破 ◆◆ 知识点一 等边三角形的性质 1.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE= AD,则∠EDC的度数为 ) A.30° B.20° C.25° D.15° B D 第1题图 第2题图 名师点睛 2.(整体思想)三个等边三角形的摆放位置如 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备 图，若∠3=60°，则∠1十∠2的度数为 等腰三角形的所有性质：任意两边都可以作 ( 为腰，任意一个角都可以作为顶角，任意一 A.90° B.120° 边上的三线都符合“三线合一” C.270° D.360° 3.如图，l∥m,等边△ABC的顶点B在直线m 知识点二等边三角形的判定 上，∠1=20°，则∠2的度数为 6.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC,若 AB=10,BD=6,则△ADE的周长为( A.4 B.30 C.18 第3题图 第4题图 D.12 57● 心新导学课时练 数学·八年级（上）·RJ 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， 10.如图，△ABC和△CDE是等边三角形 若AD=CD,则△BCD的形状是 ( (1)求证：AD=BE. A.底边与腰不相等的等腰三角形A (2)取AD,BE的中点分别为P,Q,连接 B.等腰直角三角形 CP,CQ,PQ,猜想△CPQ的形状，并证明 C.等边三角形 你的猜想. D.以上结论都不对 R 8.(陷阱题)下列三角形：①有两个角等于60° 的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角 形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角） 都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条 腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形 的有 () A.①②③④ B.①②④ C.①③ D.②③④ 9.如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平 分线，且分别交BC,AC于点D,E,∠B= 名师点睛 60°，∠C=30°.求证：△ABD是等边三 等边三角形的判定方法的选择： 角形 (1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相 等的三角形是等边三角形”来判定 (2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等 的三角形是等边三角形”来判定 (3)若已知该三角形是等腰三角形，则根据 “有一个角是60°的等腰三角形是等边三角 形”来判定 综合演练·应用提升 【能力提升】 1.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形 内的任意一点，PD∥AB,PE∥BC,PF∥ AC,若△ABC的周长为36，则PD+PE+ PF= A.12 B.8 C.4 D.3 058 第十五章轴对称 新导学课时练 2.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E 5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB= 重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC CD,∠A=60°，点E为AD上一点，连接 和等边三角形CDE,AD与BE交于点O, BD,CE交于点F,CE∥AB AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q, (1)判断△DEF的形状，并说明理由. 连接PQ.以下结论错误的是 () (2)若AD=12,CE=8,求CF的长. A.∠AOB=60° B.AP=BQ C.PQ∥AE D.DE=DP 第2题图 第3题图 3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点 D,延长BC到点E,使CE=BC,F是AC 【素养闯关】 的中点，连接EF并延长EF交AB于点G, 6.(动点问题)如图，在等边三角形ABC中，E BG的垂直平分线分别交BG,AD于点M, 是边AC上一定点，D是直线BC上一动点， N,连接GN,CN,下列结论：①∠ACN= 以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF. 【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求 ∠BGN;②∠GNC=120°；③GM=CN; 证：CE十CF=CD. ④EG⊥AB.其中正确的个数是( 【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长 A.2 B.3 C.4 D.0 线上，请探究线段CE,CF与CD之间存在 4.如图，在等边三角形ABC中，D,E分别在 怎样的数量关系，并说明理由. 边BC,AC上，且DE∥AB,过点E作EF⊥ DE交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数 (2)若CD=2cm,求DF的长. 图2 59●