13.3.2 三角形的外角&小专题集训1 与三角形的角平分线有关的计算-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（人教版2024）

∴.2∠P=∠B+∠C. 4.解：，∠C=∠ABC=2∠A, .∠B=110°，∠C=120° .∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠P=2ZB+∠C)=2×10+120)=15 .∠A=36°，∠ABD=90°-36°=54° 5.解：(1)BE平分∠ABC,∠EBC=32°， 第2课时直角三角形的两个锐角互余 ∴.∠ABC=2∠EBC=64° :AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°， 【知识梳理·自主学习】 ∴.∠BAD=90°-64°=26°. 1.Rt△Rt△ABC2.互余3.互余 :在△BCE中，∠BEC=180°-∠AEB=180°-70 【知识要点·多维突破】 =110°， 1.A2.C3.35°4.40° .∠C=180°-∠BEC-∠EBC=180°-110°-32°=38°， 5.解：.∠D=56°，∠ACD=70°， ∴.∠CAD=90°-∠C=90°-38°=52°. .∠CED=180°-∠D-∠ACD=180°-56°-70°=54°， (2)分两种情况： .∠AEF=∠CED=54°.又DF⊥AB, ①当∠EFC=90°时，如图①所示，∠BFE=90°， .∠AFE=90°， ∴.∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°； .∠A=90°-∠AEF=90°-54°=36. ②当∠FEC=90°时，如图②所示，∠EFC=90°-38°=52°， 6.C7.B8.①②③ ∴.∠BFE=180°-∠EFC=180°-52°=128° 9.证明：AB∥CD, ∴.∠BEF=180°-∠BFE-∠EBC=180°-128°-32° ∴.∠BEF+∠DFE=180° =20° :EP为∠BEF的平分线，FP为∠DFE的平分线， 综上所述，∠BEF的度数为58°或20°. ∴∠PEF=∠BE,∠PFE-A ∠DFE, ∠PEF+∠PFE=合（∠BEF+∠DFE)=合X18O =90°， D DF .△EFP为直角三角形 图① 图② 10.解：分两种情况讨论： 13.3.2三角形的外角 【知识梳理·自主学习】 1.另一边的延长线 2.与它不相邻 【知识要点·多维突破】 图① 图② 1.C2.△AOD和△BOC (1)当∠BAC为锐角时，如图①所示. 3.A4.C5.98 :BD是AC边上的高，∠ADB=90°， 6.证明：(1)∠BCE是△ABC的外角，∴.∠BCE=∠A .∠A=90°-∠ABD=90°-30°=60°. +∠B. (2)当∠BAC为钝角时，如图②所示. :∠BDE是△DCE的外角，∠BDE=∠E+∠BCE, ,BD是AC边上的高，.∠ADB=90° .∠BDE=∠E+∠A+∠B. ∠ABD=30, (2)由(1)，得∠BDE=∠E+∠A+∠B,.∠BDE>∠A. ∴.∠BAD=90°-∠ABD=60°， 7.C8.289 ∴.∠BAC=180°-∠BAD=120°. 9.解：方法1：如图，延长BD交AC于点 C 综上，∠A的度数为60°或120°. E,由三角形外角的性质可知，∠DEC= 【综合演练·应用提升】 ∠A+∠B=90°+32°=122°， D 1.B2.A3.72 .∠BDC=∠DEC+∠C=122°+21 27 =143°，而检验员量得∠BDC=146°，故零件不合格. 又∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD 方法2：如图，连接AD并延长到点E, +∠CAD, .∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE=∠C .∠BDC=∠BAC+∠B+∠C +∠CAD. 应用：由探究的结论易得 :∠BAC=90°，∠B=32°，∠C=21°， ∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC, ∴.∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠B+∠BAD+∠DAC+ 又∠A=50°，∠BXC=90°， ∠C=∠B+∠BAC+∠C=32°+90°+21°=143°≠146°， ,∴.∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°.故答案为40°. 这个零件不合格. 拓展：由探究的结论易得∠BDC=∠BAC十∠ABD十 10.解：(1)∠B0C是△OEC的外角，∠C=30°，∠B0C ∠ACD,∴.∠ABD+∠ACD=50. =110°， ∠BBC=(∠ABD+∠ACD)+∠A=2S+100=125 ∴.∠BEC=∠BOC-∠C=110°-30°=80°. :∠BEC是△AEB的外角，∠A=50°， 故答案为125°」 ∴∠B=∠BEC-∠A=80°-50°=30°. 小专题集训一与三角形的 (2)∠BOC=∠A十∠B十∠C.理由如下： 角平分线有关的计算 :∠BEC=∠A+∠B,∠BOC=∠BEC+∠C, ∴∠BOC=∠A+∠B+∠C. 1.解：(1)135°.(2)122°.(3)128°.(4)60° 【综合演练·应用提升】 (5)数量关系为∠A=2∠BOC-180°. 1.D2.C3.D4.15 2.解：(1).∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC, 5.解：(1)：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， .∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=18O° .∠CBD=∠ACB+∠A=90°+40°=130°. +∠A=180°+70°=250°. :BE是∠CBD的平分线，∠CBE=7∠CBD=65 BP,CP分别是∠CBD,∠BCE的平分线， (2②)：∠DBE是△MBE的-个外角，∠DBE=号∠CBD=6S ∠CBP-∠cBD,∠BcP 2∠BCE, ∴.∠AEB=∠DBE-∠A=65°-40°=25°」 ∴∠CBP+∠BCP-日（∠CBD+∠BCE)-号×250 DFBE,∴∠F=∠AEB=25°. =125°， 6.(I)证明：：∠ABC的平分线交AC于点D,∠ABF的平分 ∠P=180°-125°=55°，即∠P的度数是55. 线交CA的延长线于点E,∠ABD=子∠ABC,∠ABE (2):∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC, ∴.∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180° =3∠ABF.:∠ABC+∠ABF=180,∠ABD+ +∠A=180°+68°=248°. ,BP,CP分别是∠CBD,∠BCE的平分线， ∠ABE=号（∠ABC+∠ABF)=90,即BDLBE. ∴∠CBP-∠CBD,∠BCP-∠BCE, (2)解：BD LBE,∴∠DBE=90. ∠E=20°，∠BDE=90°-20°=70°， ∠CBP+∠BCP=(ZCBD+∠BCE)-2×248 ∴.∠C+∠CBD=∠BDE=70°. =124°， '∠BAG=∠C,∠CBD=∠DBA, ∴.∠P=180°-124°=56°，即∠P的度数是56°. .∠DBA+∠BAG=70°， .∠AHB=180°-70°=110°. (3)∠P与∠A的数量关系为：∠P=90-2∠A. 7.解：探究：∠BDC=∠A十∠B+∠C.理由如下： 3.解：∠C的度数是一个定值，为45.理由如下： 如图，连接AD并延长至点F, 由题意，得∠AOB=90°， 由外角定理，可得∠BDF=∠BAD十∠B,∠CDF=∠C ∴.∠OBA=90°-∠OAB. +∠CAD, :∠BAO的平分线与∠ABO的外角平分线相交于点C, 28 ∠BAC= 1 1 7∠BA0,∠OBC=Z(90+∠BA0. 3c-2>c, 解得2<c<6. 2c-61<c, .∠C=180°-∠BAC-∠CBA (2),△ABC的周长为18，a+b=3c-2, =180°-2∠BA0-(∠OBA+∠OBC) ∴.a+b+c=4c-2=18, 解得c=5. =18a-7∠BA0-[(G0-∠BA0)+290r+∠BA0] 4.A5.4 =180°-2∠BA0-90+∠BA0-45-7∠BA0 6.解：(1)如图，EF,DG即为所求作. =45. 故∠C的度数是一个定值，这个定值为45°. 4.解：解决问题：∠B=60°，∠C=40°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. (2),AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线， 又.AE是∠BAC的平分线， 1 SAABD-2SAABC SARDE-SAARD ∴∠EAC=2∠BAC=40 1 六SABDE=4 SAADC:- ∴.∠AED=∠C+∠EAC=40°+40°=80°. .△ABC的面积为40，BD=5, .AD⊥BC,∴.∠ADE=90 .∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-90°-80° ∴SAe=号BD·EF=2×5EF=是X40=10, =10. 解得EF=4,即△BED中BD边上的高EF为4. 变式探究：10° 7.B8.a十B9.235 拓展是种：∠DFE=号G-y识理向下。 10.解：∠A=40°，∠B=76°， ∴.∠ACB=180°-40°-76°=64° ∠B=x°，∠C=y°， CE平分∠ACB,.∠ACE=∠BCE=32°， .∠BAC=180°-x°-y°. ∴∠CED=∠A+∠ACE=72. 又，AE是∠BAC的平分线， CD⊥AB,.∠CDE=90°. ∠CAE=合∠BAC= 1 2(180°-x°-y)=90°-2x DF⊥CE,.∠DFC=90°， 1 ∴.∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°， 2y: ∠CDF=∠CED=72°. 2y=90° ∠AED=∠C+∠CAE=y°+90-3- 11.解：：∠CAE和∠BCF的平分线交于点G, ∴.∠CAE=2∠CAG,∠FCB=2∠FCG. 合女+ ·∠CAE=∠FCB-∠AEC,∠CAG=∠FCG-∠G, FD⊥BC,.∠FDE=90 ∴.2∠FCG-∠AEC=2(∠FCG-∠G)=2∠FCG- 2∠G, .∠DFE=180°-∠FDE-∠FED=180°-90°-（90° 即∠AEC=2∠G. 1 1 :AE是△ABC的高， ∠AEC=90°，∴.∠G=45°. 第十三章回顾与提升 【易错专练·纠错补偿】 【典题精练·考点突破】 1.C2.C 1.D2.D 3.10°或50°或130 3.解：(1).a,b,c分别为△ABC的三边，a十b=3c-2,a一b 4.解：(1)取AC的中点D.当AB=AC>BC时，如图①， =2c-6, D是AC的中点， 29心新导学课时练 数学·八年级（上）·RJ 13.3.2 三角形的外角 5.如图，在△ABC中，D,E A 知识梳理·自主学习 ◆◆。 分别是AB,AC上的点，点 1.三角形外角的定义 F在BC的延长线上，若 三角形的一边与 组成 DE∥BC,∠A=46°，∠1 B 的角，叫作三角形的外角. =52°，则∠2的度数为 2.三角形内角和定理的推论 6.如图，在△ABC中，E是AC延长线上的一 三角形的外角等于 的 点，点D是BC上的一点.求证： 两个内角的和. (1)∠BDE=∠E+∠A+∠B. ◆◆◆● B 知识要点·多维突破 (2)∠BDE>∠A. ●● 知识点一 三角形外角的定义 1.如图，下列是△ACD的外角的是 ( A.∠EAD B.∠BAC C.∠ACB D.∠CAE D 0 B C 第1题图 第2题图 2.如图，以∠AOB为外角的三角形是 知识点二三角形外角的性质 3.如图所示的图形中，x的值是 ( 名师点睛 A.60 B.40 C.70 D.80 三角形外角性质的三个应用：(1)求度 数；(2)证明角相等；(3)判断角的大小 c+10)° 知识点三三角形外角的实际应用 7.图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平 /x+70)° B EBIC 第3题图 第4题图 面示意图，则图2中∠CBN的度数为() 4.如图，在△ABC中，∠B=60°，AD是 Mn cO MI C △ABC的外角∠FAC的平分线，DE⊥AC A/灯臂 50 B 支架 pX 于点E,则∠y= () A个20° 立柱 BY B.90°- 2<R NI N A.120°-∠3 图1 图2 C.60°- A.130° B.145° D.2∠3-60° C.150° D.160° S212 第十三章三角形 新导学课时练。 8.如图，飞机要从A地飞 B 名师点睛 往B地，因受大风影响， 在运用外角性质时要注意的是“不相 A CD 偏离航线(AB)18°（即∠A=18),飞到了C 邻”的条件，关键是要找准内角和外角的对 地，已知∠ABC=10°，现在飞机要到达B地 应关系。 需以 的角飞行（即∠BCD的度数）. 9.某零件如图所示，按规定∠A=90°，∠B= 综合演练·应用提升 32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=146° 【能力提升】 时，就断定这个零件不合格，你能说出其中 1.如图，在△ABC中，∠A=60°，点D,E分别 的道理吗？ 在AB,AC上，则∠1+∠2的度数为() A.140 B.190 C.320° D.240° 2.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂 AB与操作台BC的夹角∠ABC=120°，支 撑臂BD为∠ABC的平分线.物体被吊起 后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B 旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD= 2∠ABD,∠BDC增大了10°，则∠DCE的 变化情况为 ) 10.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE, CD相交于点O. 支撑臂 (1)若∠A=50°，∠C=30°，∠B0C=110°， 机 臂 目操作台 求∠B的度数 O000O (2)试猜想∠BOC与∠A十∠B+∠C之 A.增大10 B.减小10° 间的关系，并证明你猜想的正确性， C.增大30° D.减小30° B 3.将六边形ABCDEF用对角线剖分成互不 重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方 法种数是 () A.6 B.8 C.12 D.14 4.如图，将一副直角三角板如 图放置，∠A=30°，∠F= 45°.若边AB经过点D,则 ∠FDB= 13 已新导学课时练 数学·八年级（上）·RJ 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= 【素养闯关】 40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交 7.(一题多设问)感知：如图1，∠ACD为 AC的延长线于点E, △ABC的外角，易得∠ACD=∠A+∠B (1)求∠CBE的度数 (不需证明) (2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于 点F,求∠F的度数. 图 图2 图3 图4 探究：如图2，在四边形ABDC中，试探究 ∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系，并说 明理由、 应用：如图3，把一个三角尺XYZ放置在 6.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC △ABC上，使三角尺的两条直角边XY, 于点D,作∠BAG=∠C,∠ABF是△ABC XZ恰好经过点B,C,若∠A=50°，则 的外角，∠ABF的平分线交CA的延长线 ∠ABX+∠ACX= 于点E 拓展：如图4，BE平分∠ABD,CE平分 (1)求证：BD⊥BE. ∠ACD,若∠A=100°，∠BDC=150°，则 (2)若∠E=20°，求∠AHB的度数、 ∠BEC= E 214 第十三章三角形 新导学课时练① 小专题集训一 与三角形的角平分线有关的计算 类型一两个内角平分线的夹角 吗？若不是，说明理由；若是，求出这个定 1.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分 值，并说明理由. 线相交于点O. (1)若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC (2)若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC (3)若∠A=76°，则∠BOC= 类型四角平分线与高线的夹角 (4)若∠BOC=120°，则∠A= 4.请认真思考，完成下面的探究过程， (5)请判断∠A与∠BOC之间的数量关系. 已知在△ABC中，AE是∠BAC的平分线， y ∠B=60°，∠C=40° 【解决问题】 如图1，若AD⊥BC于点D,求∠DAE的 B 度数 【变式探究】 如图2，若F为线段AE上一个动点（点F 类型二两个外角平分线的夹角 不与点E重合)，且FD⊥BC于点D时，则 2.如图，△ABC的∠ABC,∠ACB的外角的 ∠DFE= 平分线交于点P, 【拓展延伸】 (1)若∠A=70°，求∠P的度数 如图2，在△ABC中，∠B=x°，∠C=y°（且 (2)若∠A=68°，求∠P的度数. ∠B>∠C),若F为线段AE上一个动点 (3)根据以上计算，试写出∠P与∠A的数 (点F不与点E重合)，且FD⊥BC于点D 量关系. 时，试用x,y表示∠DFE的度数，并说明 D 理由. DE 图1 图2 类型三内角平分线与外角平分线的夹角 3如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别是 x,y轴正半轴上的动点，∠BAO的平分线 与∠ABO的外角平分线相交于点C,在A, B的运动过程中，∠C的度数是一个定值 15●