9.1.1 平面直角坐标系的概念教学设计　2024－2025学年人教版（2024）数学七年级下册

初中数学人教版（2024）七年级下册 9.1.1 平面直角坐标系的概念 课标分析 《义务教育数学课程标准(2022年版)》对平面直角坐标系的教学要求主要体现在：要求学生理解从一维数轴向二维坐标系的拓展过程，掌握建立平面直角坐标系的方法，认识轴、轴、原点等核心要素（）。课标强调通过具体实例（如确定点的坐标）理解有序数对与平面点的对应关系，体会"一一对应"的数学思想。要求能准确描述各象限特征（I-IV象限）及坐标轴上点的坐标特点（如轴上点纵坐标为0）。最终达成利用坐标确定位置的核心素养目标，为后续函数学习奠定基础，体现从具体到抽象的认知发展规律。 教材分析 本节课从数轴上点的坐标出发，引入平面直角坐标系的概念，通过类比数轴确定直线上的点，提出如何确定平面内点的位置的问题，进而建立平面直角坐标系，介绍坐标系中点的表示方法、坐标的意义、象限的划分以及坐标轴上点的特征。教学过程通过问题引导、观察图形、归纳定义、分析特点等方式，帮助学生理解平面直角坐标系的基本概念。本节内容是在学生已经学习了数轴、实数与点的一一对应关系的基础上进行的，是对点与坐标关系的进一步拓展，为后续函数图像、图形变换、位置关系研究等内容的学习奠定了基础。通过本节课的学习，学生能够掌握用坐标描述平面内点的位置的方法，提升空间观念与抽象思维能力，增强数形结合意识，为后续学习一次函数、二次函数及图形性质等知识做好准备。 学情分析 七年级学生已经掌握了数轴的概念及数轴上点的坐标表示，具备了一定的数形结合思想，为学习平面直角坐标系奠定了基础。此阶段的学生抽象思维逐步发展，但仍需借助直观图形辅助理解，对新知识有较强的好奇心和探索欲。本节课要求学生通过类比数轴，理解平面内点的位置如何用有序数对表示，掌握平面直角坐标系的基本结构及点的坐标的含义。通过观察、操作、归纳等活动，帮助学生建立数形结合的思想，发展空间观念，提升逻辑推理能力，为后续学习函数图像、图形变换等内容打下基础。 教学目标 1. 理解平面直角坐标系的概念，掌握点的坐标的定义，能够根据图形写出点的坐标或由坐标描出点的位置，提升空间观念和几何直观能力。 2. 通过探究坐标轴上点和象限内点的坐标特征，发展归纳意识与逻辑思维能力，能够运用坐标描述平面内点的位置关系。 3. 理解坐标平面内点与有序实数对的一一对应关系，增强数形结合思想意识，提高数学抽象与推理能力，体会数学结构的严谨性。 重点难点 重点：理解平面直角坐标系的概念，会用有序数对表示点的坐标，能根据坐标确定点的位置。 难点：理解坐标平面内点与有序实数对的一一对应关系及各象限内点坐标的特点。 课前任务 1.知识回顾： 上节课我们知道数轴上点与实数一一对应，数轴上点的坐标能确定其位置。请说出数轴上点坐标为3，点坐标为 -2 时，、的位置。 2.预习教材： 阅读教材平面直角坐标系部分，了解平面直角坐标系的组成、点坐标的表示方法及象限的概念。记录平面直角坐标系定义、坐标轴正方向规定，对不理解处标记。 3.问题思考： 我们能用数轴确定直线上点位置，那怎样确定平面内点位置？类比数轴，平面直角坐标系中有序数对与点有怎样的对应关系？ 课堂导入 同学们，在我们生活中，常常需要确定位置。比如在电影院找座位，要知道排数和号数；在地图上找地点，得明确经纬度。那在数学里，我们已经知道利用数轴能确定直线上点的位置，可要是在一个平面内，像教室里每个同学的位置，或者平面图形上各个顶点的位置，又该怎么确定呢？今天我们就一起来探索一种新方法。就像在平面上构建一个“定位系统”，通过它能精准确定平面内点的位置，这就是我们即将要学习的平面直角坐标系。 平面直角坐标系的概念 探究新知 （一）知识精讲 同学们，我们已经知道数轴上的点可以用一个实数来表示其位置。那么，在平面上如何确定一个点的位置呢？观察图： 可以看到，为了确定平面内点的位置，我们可以建立平面直角坐标系。如图所示： 平面直角坐标系由两条互相垂直且原点重合的数轴组成。水平的数轴称为x轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴称为y轴（纵轴），向上为正方向。两轴的交点O称为坐标原点。 在坐标系中，任意一点的位置都可以用一个有序数对来表示。例如点A，我们分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是3，在y轴上的坐标是4，那么点A的坐标就是(3,4)。同理，我们可以确定其他点的坐标。 特别地，原点O的坐标是(0,0)。x轴上的点纵坐标为0，如(1,0)；y轴上的点横坐标为0，如(0,1)。坐标平面被分成四个象限，如图所示： 第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。坐标轴上的点不属于任何象限。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果已知点P在第二象限，那么它的横纵坐标有什么特点？ 学生回答：第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正。 教师追问：很好！那如果有一个点的坐标是(-2,0)，它位于哪个象限呢？ 学生思考后回答：这个点在x轴上，不属于任何象限。 教师继续提问：那么，坐标平面内的点和有序数对之间是什么关系呢？ 学生回答：是一一对应的关系，每个点对应唯一的有序数对，每个有序数对也对应唯一的点。 （三）设计意图 通过从数轴到平面直角坐标系的自然过渡，帮助学生建立空间观念和坐标思想。借助直观图形和具体实例，让学生理解平面直角坐标系的构成和点的坐标表示方法，培养数形结合的思想。通过师生互动的问题链设计，引导学生深入思考坐标系的特性，发展逻辑思维能力和空间想象能力。让学生在探究过程中体会数学的严谨性和实用性，为后续学习函数等内容奠定基础。 新知应用 例1题目： 在平面直角坐标系中描出下列各点： ，，，，。 解答： 我们以点 为例，来讲解如何在平面直角坐标系中描出这个点： 1. 确定横坐标： 在 轴上找到横坐标为 4 的位置，画一条垂直于 轴的直线（即竖直线）。 2. 确定纵坐标： 在 轴上找到纵坐标为 5 的位置，画一条垂直于 轴的直线（即水平线）。 3. 找交点： 这两条垂线的交点就是点 的位置。 按照同样的方法，我们可以描出其余各点： · 点 ： 在 轴上找到 -2，作垂线；在 轴上找到 3，作垂线，交点即为点 。 · 点 ： 在 轴上找到 -2.5，作垂线；在 轴上找到 -2，作垂线，交点即为点 。 · 点 ： 在 轴上找到 4，作垂线；在 轴上找到 -2，作垂线，交点即为点 。 · 点 ： 因为横坐标是 0，说明点 在 轴上，直接在 轴上找到 -4 的位置描出即可。 最终，如图9.1-5所示，所有点都被正确描出。 总结 1.题目考查内容 ① 平面直角坐标系中点的表示方法； ② 根据坐标描点的作图方法； ③ 对坐标中正负数的理解与应用。 2.题目求解要点 ① 理解横坐标和纵坐标的含义，分别在 轴和 轴上找到对应数值； ② 掌握作垂线找交点的方法来确定点的位置； ③ 注意负坐标在坐标轴上的方向（左、下）； ④ 特殊点如 直接落在坐标轴上，无需作图找交点。 新知巩固 题目：如果，那么点在（ ） 选项： A．第二象限 B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一象限或第三象限 解答： 题目给出条件：，即与的比值为负数。 第一步：分析比值为负的条件。 说明与的符号相反，即： · 且 ，或 · 且 第二步：结合象限中坐标的符号特征判断点的位置。 · 第一象限：， → · 第二象限：， → · 第三象限：， → · 第四象限：， → 因此，当时，点可能在第二象限或第四象限。 答案：C．第二象限或第四象限 总结： 1. 题目考查内容 本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征以及分式不等式的符号判断。 2. 题目求解要点 · 理解的含义是与异号； · 掌握四个象限中点坐标的符号规律； · 能够根据符号判断点所在的象限。 3. 同类型题目解题步骤 1. 分析不等式或等式中变量的符号关系； 2. 列出各象限中、的符号特征； 3. 根据符号关系判断点可能所在的象限； 4. 选择或写出符合题意的选项。 板书设计 平面直角坐标系的概念 数轴与坐标 数轴上点与实数一一对应 点的坐标确定点位置 平面直角坐标系 构成：两条互相垂直、原点重合的数轴 轴（横轴）：水平，向右为正方向 轴（纵轴）：竖直，向上为正方向 原点：两坐标轴交点，坐标 点的坐标：有序数对，为横坐标，为纵坐标 坐标轴上点的坐标特点 轴上点：纵坐标为 轴上点：横坐标为 象限 四个象限：I、II、III、IV 坐标轴上点不属于任何象限 对应关系 坐标平面内点与有序实数对一一对应 用坐标确定平面内点的位置 教学反思 本节课通过类比数轴上的点与实数对应关系，引导学生构建平面直角坐标系的概念，理解点与坐标的一一对应关系。教学中通过问题引导、图形观察、归纳总结等方式，帮助学生掌握坐标系的基本结构及点的坐标的确定方法。整体来看，教学目标基本达成，学生能够识别象限、写出点的坐标，并理解坐标轴上点的特征。成功之处在于通过问题链引导学生思考，增强了知识的连贯性与逻辑性，激发了学生的探究欲望。不足在于部分学生对坐标系中特殊点（如坐标轴上的点）的理解仍存在模糊，今后应加强直观演示与针对性练习，帮助学生深化理解。 学科网（北京）股份有限公司 $