4.1.2无理数指数幂及其运算（培优教学课件）数学人教A版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦无理数指数幂的概念及运算性质，通过毕达哥拉斯学派发现√2的故事导入，结合前情回顾的n次方根、分数指数幂知识作为支架，引导学生从有理数指数幂自然过渡到无理数指数幂的学习。 其亮点在于以数学眼光通过近似值计算表格观察趋势抽象概念，用数学思维推理运算性质并结合典例和实际问题（如放射性元素衰减）训练，课堂小结系统梳理知识。助力学生发展抽象能力和运算能力，也为教师提供结构化教学资料，提升备课效率。

4.1.2 无理数指数幂及其运算 第四章 指数函数与对数函数 人教A版2019必修第一册·高一 前情回顾 1. 次方根： 定 义 一般地，如果，那么叫做的_________，其中 ， 且 性 质 是奇数 仅有一个值，记为____ 是偶数 有两个值，且互为相反数，记为 ______ 在实数范围内不存在 次方根 注： 0的任何次方根都是0，负数没有偶次方根. 任何数连续偶数次相乘后，一定会得正数或0，因此，负数没有偶次方根. 前情回顾 2. 分数指数幂的意义 正分数指数幂 ______ 负分数指数幂 _ ___ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂______意义 没有 有理指数幂的运算性质: （1）_____ . （2）____ . （3） . 章节导读 4.1 ＋4.2函数的概念 4.3＋4.4 函数的性质 4.5函数的应用 指数 函数的零点和方程的解 二分法求方程的近似解 指数函数 对数 对数函数 学 习 目 标 1 2 3 了解无理数指数幂及其运算性质. 理解并学会根式与分数指数幂之间的相互转化. 掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值． 读教材 阅读课本P107-P108，4分钟后完成下列问题： 1. 当指数 是无理数时，是一个确定的数吗？ 我们一起来探究“无理数指数幂”吧！ 2. 有理数指数幂的性质有哪些？和分数指数幂一样吗？ 新课引入 公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学 派，该学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1 的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用 整数表示，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 的诞生. 上节我们将中指数的从整数拓展到了有理数.那么，当指数是无理数时， 的意义是什么？它是一个确定的数吗？ 如果是，那么它有什么运算性质？ 学习过程 01 03 02 目录 1 无理数指数幂 2 题型训练 新知探究1 探究1：教材探究，思考 是否是一个确定的实数？利用计算工具计算相应的 的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 不足近似值：舍而不进，按照所需要的精确度截取指定数位后，直接略去后面的数位， 这样就得到了一个小于真实值的近似值，叫做不足近似值； 过剩近似值：进一而舍，按照所需要的精确度截取指定数位后，不管去掉部分最高位 是否四舍五入而全都进位，即保留部分的最后一位数加1，这样就得到 一个大于真实值的近似值，叫做过剩近似值. 新知探究1 探究1：教材探究，思考 是否是一个确定的实数？利用计算工具计算相应的 的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 新知探究1 探究1：观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 5x的近似值 5y的近似值 1.4 9.518 269 694 1.5 11.180 339 89 1.41 9.672 669 972 9 1.42 9.829635 328 1.414 9.735 171 039 1.415 9.750 851 808 1.414 2 9.738 305 174 1.414 3 9.739 872 62 1.414 21 9.738 461 907 1.414 22 9.738 618 643 1.414 213 9.738 508 928 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 5 9.738 516 765 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 56 9.738 517 705 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 562 9.738 517 736 1.414 213 563 9.738 517 752 ………… ………… ………… ………… 当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和 都趋向于同一个数 ，所以它是一个确定的实数. 新知1 无理数指数幂 1. 无理数指数幂： 一般地，无理数指数幂 为无理数）是一个确定的实数. 这样， 我们就将指数幂数（）中指数 x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数。 实数指数幂是一个确定的实数. 实数指数幂的运算性质 （1） . （2） . （3） . 总结：（1）无理数可以作为指数； （2）无理数指数幂的近似值可以利用逼近的方式得到. 典例分析 例1 计算下列各式的值. (1) ； (2) . 解：(1) 原式 原式 . 典例分析 例2 计算下列各式的值（式中字母均是正数）： (1) ； (2) . 解：(1) 原式 . 原式 . 学习过程 01 03 02 目录 1 无理数指数幂 2 题型训练 实数指数幂的综合运用 题型1 题型探究 例1 已知 ，求值： （1） ； （2） . 解：(1)，两边平方得， 所以 . (2)设，两边平方得 ， 因为，所以，即 . 实数指数幂的综合运用 题型1 题型探究 例2 已知 ，求值： （1）； （2） . 解：(1)由平方可得 ， 所以 . (2)设 ，两边平方得 ， 因为，所以 ，即 . 又，所以 ， . 实数指数幂的综合运用 题型1 题型探究 例3 已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2） . 解：(1)将 两边平方，，即 . (2)将两边平方，得 ， 即 . , 所以 . 实际问题中的指数运算 题型2 题型探究 例4 某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100 年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下_________克. 解：设每年减少的比例为 ，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余克，依题意得，所以 ，3年后剩余克，将的值代入，得结果为 . 实际问题中的指数运算 题型2 题型探究 例5 某口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的 倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是_________. 解：设这一年该口罩厂产量的月平均增长率为 ，去年12月份的产量为1. 因为今年12月份的产量是去年12月份产量的 倍，所以 ，即，即 . 课堂小结 1. 无理数指数幂： 实数指数幂的运算性质 （1） . （2） . （3） . 总结：（1）无理数可以作为指数； （2）无理数指数幂的近似值可以利用逼近的方式得到. 一般地，无理数指数幂 为无理数）是一个确定的实数. 这样， 我们就将指数幂数（）中指数 x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数. 感谢聆听! $