18.3.2分式的混合运算 导学案　2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦分式混合运算，通过工程问题（甲队2x天、乙队3x天完成工程，甲先做3天再合作2天求剩余工作量）和行程问题（小明骑车前半段速度）情境导入，衔接课前预习的有理数混合运算顺序、分式乘除法法则等旧知，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生掌握运算顺序并构建系统运算体系。 这份导学案亮点在于分层突破复杂运算，通过整式化分母为1的分式、含参数运算标注取值范围等探究设计，结合工程、行程等实际应用习题，落实运算能力培养，强化模型观念与应用意识，课堂小结梳理因式分解、符号处理等核心技巧，助力学生提升综合分析与解决问题能力。

《分式混合运算》导学案 二、学习目标 1.精准掌握分式混合运算完整顺序（先乘方→再乘除→最后加减，括号优先）， 能对比分析其与有理数、整式混合运算的异同，形成系统运算体系。 2.熟练应对含多项式因式分解、多层括号、符号变换、参数运算的复杂分式混合 运算，做到步骤规范、结果最简，显著提升运算精度与速度（落实2022年版课标 “运算能力”核心素养)。 3.能运用分式混合运算解决工程效率、行程相遇、经济利润等多场景实际问题， 构建分式运算模型，强化“模型观念”与“应用意识”。 4.通过探究复杂分式运算规律、归纳解题技巧的过程，深化“类比迁移”“转化 化归”数学思想，提高综合分析与解决复杂数学问题的能力。 三、课前预习 有理数混合运算顺序：先算()，再算()，最后算()；有括号的先 算( ）。 计算：22÷21+(3-4)=(）。 分式乘除法法则：分式乘以分式，用（分子）的积做积的分子，（分母）的积做 积的分母；分式除以分式，把除式的（分子和分母)颠倒位置后，与被除式相乘， 用字母表示为号·号=（器），是÷号=（器）(bc、d≠0)。 分式乘方法则：分式的乘方，把（分子）、（分母）分别乘方，用字母表示为 ()=(器)(b≠0，n为正整数). 计算：(-签)°=()。 尝试计算（含整式与分式混合）： x÷多+发=( ； (x+安)年=( 合-出÷(a-1)=()。 预习教材P152-156,思考： 分式与整式混合运算时，如何将整式转化为分式参与运算？ 含参数的分式混合运算中，需注意参数的取值范围吗？为什么？ 四、课堂学习 (一)情境导入 情境1：工程问题一一 甲工程队单独完成一项工程需2x天，乙工程队单独完成 需3x天。现甲队先做3天，再由两队合作2天，剩余工程由乙队单独完成，剩余工 作量占总工作量的几分之几？（引导列含多层运算的分式算式》 情境2：行程问题一一小明骑车从A地到B地，前半段路程速度为 音km/h,后半段路程速度为片km/h(a≠b),求全程的平均速度（平均速度=总路程 ÷总时间)。（引出分式与整式混合运算需求）》 (二)探究新知（分层突破复杂运算） 1.分式与整式的混合运算技巧 探究1：计算x-行÷学，思考：整式x如何参与分式运算？ 运算步骤： 先算除法： 再算减法： 结论：整式与分式混合运算时，将整式化为“分母为1的分式”，统一运算形 式后按顺序计算。 2.含参数的分式混合运算 探究2：已知a≠0且a≠1，计算二·(a+)-子，分析：参数a的取值范围如 何影响运算？（强调：需排除分母为0的参数值，如a≠±1，a≠0） 运算步骤： 因式分解与乘法： 减法运算： 提醒：含参数运算需在结果后标注参数取值范围（使原式有意义的条件）。 3.多层括号的分式混合运算 探究3：计算之一本]÷（古+克），讨论：多层括号运算的优先级如何处理？ (明确：先算小括号，再算中括号，每步运算结果需化简后再进行下一步) 运算步骤 小括号内运算： 左侧： 右侧： 除法运算： (三)例题讲解（覆盖多类复杂题型） 例1：分式与整式混合运算 计算：(x2-)÷4型- +1 例2：含参数的化简求值 已知2x-3y=0(x≠0y+0),求÷（每-六）的值。 (四)课堂小结 运算体系拓展： 整式与分式混合：整式→分母为1的分式： 含参数运算：先化简，再代入（或整体代入），标注参数取值范围； 多层括号：从内到外，分步化简。 核心技巧升级： 因式分解贯穿全程（多项式分子/分母必分解）； 符号处理（负号的乘方、分子相减括号保护）： 结果要求（最简分式+参数取值范围标注）。 高频易错点： 整式参与运算时，未化为分式导致步骤错误； 含参数运算忽略分母不为0的条件； 多层括号运算未分步化简，直接通分导致计算复杂。 五、课堂练习 (一)分式乘方与乘除混合 1.2÷+ 2.时 a()÷影岁 (二)不含括号的分式与整式混合 4y2÷异-y 5.3a-克÷ 6.(x-)÷-x (三)含括号的分式混合运算(6道) 7.(良+)÷（良-） 8.（3-是g)÷南 9.(1+子)÷ (四)多层括号的分式混合运算 10. [之-中2]÷（是+克） 11. -6]÷品 12. (在+2)÷(22-袁) (五)含参数的分式混合运算(4道) 13. 已知a≠0，计算.(a+2-2 14. 已+y=xy(x≠0，y≠0)，计算罗÷（层+） (六)实际应用列式计算( 15.工程问题：甲队单独完成一项工程需x天，乙队效率是甲队的1.5倍， 两队合作2天，完成的工作量是多少？ 16. 行程问题：小刚从家到学校，步行速度为 吉mh,骑车速度为片kmh(b>a),若步行上学、骑车回家，全程平均速度是多少？ 17. 浓度问题：含盐品的盐水m克，加入含盐的盐水n克，混合后盐水的浓 度是多少？ 18. 利润问题：某商品进价为a元，先涨价品销售，后降价品促销，最终每件 商品的利润是多少？ 六、课后练习 (一)分式乘方与乘除混合 1兰 2(图)÷ (二)不含括号的分式与整式混合 3.2x÷多+3x 43÷常-2y 54a-号÷学 6(x2-4到÷-2x (三)括号的分式混合运算 7(良-)：（点-） 8(1-中)兰 9(-产6)÷4 10(1+品)÷ (四)多层括号的分式混合运算 1[点-]÷（之十中南） 126-]÷ 13(六+中)÷（2-中) 14.已知a≠0且a≠2，计算·(a+2-2 15.已b=3a(a≠0)，计算品÷(（层-) 16.已x-y=xy(x≠0，y≠0)，计算号÷（良-） 17.已2m+n=0(m≠0)，计算器÷品 18已知a2=a+1,计算是-号÷ 19. 已x2+3x=1,求器÷岸器-古的值； 20. 已y=2,x+y=3,求号÷（器-1的值。 (七)实际应用与综合拓展 21. 工程问题：甲队单独完成一项工程需x天，乙队单独完成需×+3天。两队合 作2天后，甲队因事离开，剩余工程由乙队单独完成，还需多少天？（用含×的分式表示） 22. 行程问题：A、B两地相距S千米，甲从A地出发，速度为千米/小时；乙 从B地出发，速度为千米/小时(a>b)。两人同时相向而行，经过多少小时两人相距号千 米？（分相遇前、相遇后两种情况) 23 浓度问题：现有含盐言的盐水400克，加入含盐frac1H10}的盐水600克，混 合后再蒸发100克水，最终盐水的浓度是多少？