精品解析：江苏省泰州市泰兴市实验初中教育集团泰师分校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

泰兴市实验初中教育集团 初三数学阶段试题 2025.10 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图题必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（ ） A. B. C. D. 4. 某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 7，7 B. 8，7.5 C. 7，7.5 D. 8，6.5 5. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 方程的解为_______． 8. 如果，那么________． 9. 已知的半径长为，若点P在内，则线段的长度可能是_______．（写一个正确的值即可） 10. 如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 12. 四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 13. 若圆锥的母线长为，侧面是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥底面圆半径是______． 14. 如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则______． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 16. 如图，在中，，是的外接圆，M是的内心，，则的长度为_______． 三、解答题（本题102分） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 19. 为了解朝阳社区岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）求参与问卷调查的总人数． （2）补全条形统计图． （3）该社区中岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数． 20. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 22. 在中，以为直径作，点C在上，点D是的中点． （1）如果，求点D到的距离； （2）请用无刻度的直尺画出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 23. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 24. 如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 25. 已知关于是一元二次方程（为常数且）的两个实数根，若满足，则此类方程叫做邻根方程．根据“邻根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“邻根方程”的是 ；（填写序号） ①；② （2）①关于的方程是“邻根方程”（为常数）；②（为常数）；③从三个选项中选择一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明； （3）若关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 26. 如图，在中，点M是直径上一点，，点是半圆上一动点． （1）如图1，如果，求的长； （2）如图2，延长，交于点，． ①以点为圆心，为半径画圆．当所画圆与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如果，求的长； （3）如图3，点N是线段上的一点，连接．探究：在图3中是否存在定点N，在点运动过程中，使值保持不变，如果存在，求其值和的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 泰兴市实验初中教育集团 初三数学阶段试题 2025.10 (考试时间：120分钟满分：150分) 注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分. 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效. 3.作图题必须用2B铅笔，并请加黑加粗. 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是（) A.2x-x2=3 B.x2+y=2 s4 C. D.x+2y=1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫 做一元二次方程，据此求解即可， 【详解】解：A、方程2x-x=3 是一元二次方程，符合题意： B、方程r+y=2 中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意： 1 。、方程+7=4不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意 ,x+ 第1页/共34页 命学科网命组卷网 D、 x+2y=1 中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意： 故选：A. 2校园里一片小小的树叶，也蕴含者“黄金分割”，如图，P为1B P (AP>PB) 的黄金分割点 如果AB 的长度为l2cm,那么AP的长度为()cm. V5-1 B3W5-3 c65-6 D.12V5-12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且 使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C是线段AB的黄金分割点是解答关键. 利用黄金分割的定义来进行计算求解。 【详解】解：“P为AB的黄金分割点(MP>PB),AB=12(cm). :MAP=5-lAB=5-1x12=6N5-6(em） 2 故选：C 3.如图，⊙0的半径为2，直线与⊙0相切，若某一条直线上存在点到圆心0的距离为V5 则这条直 线是() 第2页/共34页 6学科网组卷网 A. 8 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直接根据直线与圆的位置关系可得出结论 【详解】解：：O0的半径是2，圆心0到直线1的距离是V5,2>V3 ⊙0 直线与 相交 故选：B」 4.某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则·这组数据的众数 和中位数分别是() 个人数 2 0567 8910环数 A.7,7 B.87.5 C.7,7.5 D.8,6.5 【答案】C 【解析】 【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个 数)即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出， 【详解】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；因图中 是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）· 故选C 【点睛】本题考查众数和中位数的定义.解题关键是，当所给数据有单位时，所求得的众数和中位数与原 第3页/共34页 命学科网命组卷网 数据的单位相同，不要漏单位. 5.学校图书馆的阅读角有一块半径为3m,圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为() A.9am2 B.6zm2 C.3xm2 D.m2 【答案】C 【解析】 【分析】代入扇形的面积公式直接进行计算即可. S=nrR2_120x元x32 【详解】解：钢板的面积°360 =3πm2 360 故选：C 【点睛】本题考查了扇形的面积，解答本题的关键是熟练记忆扇形的面积的计算公式及公式内字母表示的 含义 6阅读理解：把数用大括号围起来，如：2、{1.5,0} 我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为 “集”的元素。如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a,使得 4+口还是这个“集”的元素，这样 的“集”我们陈之为“日归柴”.若“架2，川是“阿自集”，则n的值个数是《) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查新定义下的运算，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键。 根据新定义下的运算，分类讨论计算即可. 【详解1解：①当a=2时，2+2=6， ∴.6是集合中的元素，则n=6, ②当+a=2,且”=“时， n2+n=2 第4页/共34页 命学科网命组卷网 2+n-2=0 即 (n-1)(n+2)=0 解得n=-2或n=1, ③当a+a=n n=时， ,且 n+n=n 即n2=0 解得n=0, 综上所述，n的值为6,1，-2,0. 故选D. 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（每题3分，共30分） 7方程=-的解为 【答案】=0龙=-1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关 键. 利用因式分解法求解. 【详解】解：t=-x x2+x=0 x(x+1)=0 第5页/共34页 命学科网命组卷网 x=0x+1=0 或 :x=0为2=-1 a_b(b≠0) a-b 8.如果53 ,那么b 2 【答案】3 【解析】 a b a= b 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的性质，对53进行化简，得”3，把 5 a-b a 3代入b,进行解答，即可. a b 【详解】解：53， Q= 3 b-b2 a-b= bb 3 山案为：？ ⊙0 5cm ⊙0 cm 9.已知 的半径长为 OP C如，若点P在©0内，则线段 的长度可能是 m.(写一个正确的 值即可) 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 第6页/共34页 学科网 命组卷网 【分析】本题考查了点与圆的位置关系.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有：当>r时， 点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内. 要确定点与圆的位置关系，确定点与圆心的距离与半径的大小关系即可求解. ⊙0 ⊙0 【详解】解： 的半径长 5cm,点P在 内， ∴线段OP<5cm, ∴线段OP的长度可能是lcm. 故答案为：1（答案不唯一）. 10.如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色。任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指 针指向红色区域的概率是 红个 黄 黄 红 红 3 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键.先求出任意转动转盘1次共有5种等可能 的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得， 【详解】解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向 红色区域的结果有3种， 3 P= 则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是 5, 3 故答案为：5. 第7页/共34页 6学科网 命组卷网 1.若关于的一元二次方程-2x-k=0有实数根，则大的取值范国是 【答案】k≥-1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.熟练学提：+r+C=0(a≠0)有实数根，则 △=b2-4ac≥0 是解题的关键。 由题意知， △=(-2)2-4×1×(-k)≥0，计算求解即可. 【详解】解：由题意知，△=(-2'-4×1×(-K)≥0 解得，k≥-1， 故答案为：k≥-1. 12.四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，C度数是一 【答案】105 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得∠ADC=90°和∠ACD=45°，根据正六边形的性质可得其内角为120°， 即∠COM=120°，最后利用四边形OCDM的内角和为360°即可求a的度数. 【详解】解：设OE与AD交于点M, 第8页/共34页 6学科网命组卷网 M C :四边形ABCD是正方形， .∠ADC=90°，∠ACD=45°， :以OC为边作一个正六边形， (6-2)×180° .正六边形的内角为 =120° 6 .∠COM=120°， 在四边形OCDM中，由四边形内角和定理得：∠OMD+∠MDC+∠DCO+∠COM=360°， 即a+90°+45°+120°=360°， .a=360°-90°-45°-120°=105° 13.若圆锥的母线长为3cm,侧面是一个圆心角为150°的扇形，则这个圆锥底面圆半径是cm. 【答案】1.25 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，关键是清楚圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周 长.根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径， 【详解】解：·圆锥的母线为3cm, 设底面圆半径为 150π×3 .180 =2 ∴.r=1.25 第9页/共34页 6学科网命组卷网 故答案为：1.25 ⊙ 14.如图，在 的内接四边形4BCD中，4B=D.∠C=110°，点2在4B上，则∠E=。 【答案】125 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，等腰三角形的性质和三角形内角和 定理.先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD=180°-∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形 内角和定理计算出∠ADB=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数. 【详解】解：连接BD, D ⊙0 的内接四边形 BCD中，∠C=110° ∴.∠C+∠BAD=180° .∠BAD=180°-110°=70° AB=AD .∠ABD=∠ADB. 第10页/供34页 6学科网 组卷网 ∴.ADB=二×(180°-70)=55 2 :四边形AEBD为圆的内接四边形， .∠E+∠ADB=180° ∴.∠E=180°-55°=125° 故答案为：125 15.已知“，P是一元二次方程x-x-5=0的两个实数根，则代数式 a2-2a-B+3 的值为 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系可 得出-a=5,a+B=l,再将其代入心-2a-B+3=a2-a-(a+B)+3 即可求出结论. 【详解】解：a,B是一元二次方程-x-5=0。 的两个实数根， :r2-a-5=0,a+B=l a2-a=5 所以x2-2a-B+3 =a2-a-(au+B)+3 =5-1+3 =7 故答案为：7. 近鱼周.在C中.4C-0x=-6o0足的袋，e41 中， 是 的内心， AM⊥OM,AC ,则的长度为 第11页/共34页 命学科网命组卷网 M 【答案】4.5 【解析】 【分析】本题考查圆周角，三角形的外接圆与内心正方形的判定与性质，中位线，垂径定理，勾股定理， 正确作出辅助线是解题的关键. MD⊥AC,ME⊥BC,MF⊥AB 过点M作 重足分别为D,品，只延长仙交OO于点G,连接BG 先证明AM=MG= 21G,推导出OM OM=BG 2 ,继而证明四边形CEMD为正方形，得到AD=2DM, 延长BG、AC交于点P,作PC的中点N,连接GN,证明△AGP≌△AGB,继而得到点A、NG是在 DM=NG 以AG为直径的圆上，则 2,O,推导出CD=CE=ME=MF=1.5, BE=BF=6-1.5=4.5,AC=1.5+ADAB=4.5+A .再根据勾股定理得到AC2+BC2=AB 代入求解即可. MD⊥AC,ME⊥BC,MF⊥AB 【详解】解：过点M作 垂足分别为D,日，R延长M交O0 于点 G,连接BG,如图 ⊙O△ABC ∠ACB=90°，BC=6 是 的外接圆， :AB￥⊙0 ∠BAC+∠ABC=90°∠MDC=∠C=∠CEM=90° 为 的直径， .∠G=90° 第12页/共34页 6学科网列组卷网 .AM⊥OM, ÷∠G=∠AM0=90,AM=MG=4G 点M为AG的中点，且点O为AB的中点， M是△ABC的内心， ∠BaM=∠MC=B4C∠ABM-4c AD=AF,CD=CE,BE=BF 延长BG、AC交于点P,作PC的中点N,连接GN,如图 ∠1GB=90,AG=AG,∠PAG=∠BAG .∠AGP=∠AGB=90°， .△AGP≌△AGB .PG=BG, N是PC的中点， .NG=BC=3,NG∥BC, 2 .∠ANG=∠ACB=90° 即点A、N、G是在以AG为直径的圆上， DM L AN,AM-MG :AD=DN. 第13页/供34页 6学科网 组卷网 DM=-NG 2 .CD=CE=ME=MF=1.5. :BE=BF=6-15=45,AC=15+AD .AB=4.5+AD .AC2+BC2=AB2 :(1.5+AD°+62=(4.5+AD)2 2.25+3AD+AD2+36=20.25+9AD+AD2 解得AD=3 .AC=3+1.5=4.5 故答案为：4.5. E 三、解答题（本题102分） 17.解下列方程： (1)(x-2)2=4 (2)x2-4x-1=0 第14页/共34页 6学科网 组卷网 【答案】(1)=0x2=4 (2)=2+5,x=2-V5 【解析】 【分析】本题考查直接开方法，配方法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键. (1)根据直接开方法解一元二次方程的步骤，逐步计算即可： (2)根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步计算即可： 【小问1详解】 解：(x-2)}2=4 x-2=±2 x-2=-2,x-2=2 x=0x2=4 【小问2详解】 解：x2-4x-1=0 x2-4x+4=1+4 (x-2)2=5 x-2=±5 x-2=V5,x-2=-5 :￥=2+V5,x2=2-V5 18解一元二次方程-2x=3 时，两位同学的解法如下： 甲同学： 乙同学： 第15页/供34页 6学科网命组卷网 x2-2x=3 a=1,b=-2,c=3 x(x-2)=3 b2-4ac=4-12=-8 x=l欧-2=3 .b2-4ac<0 .x= 或专5 ∴此方程无实数根. (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果. 甲同学的解法 乙同学的解法 (填“正确”或者“不正确”) (2)请选择合适的方法解一元二次方程3x(x-2)=(x-2) 【答案】(1)不正确：不正确 (2)=2,x=3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因 式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键，用公式法求解要将一元二次方程先化为一般式 ax2+bx+c=0(a≠0) 再运用公式法求解。 (1)先将3移项，得-2x-3=0,此时0=16=-2.c=-3.计算分-4a=4+12=16>0 所以 此一元二次方程有两个不相等的实数根，据此判断甲同学和乙同学的答案； (2先移项得3x(x-2)-(x-2)=0,左边提公因式(x-2),再利用提公因式法解此方程即可。 【小问1详解】 解：甲同学的解法错误，乙同学的解法错误， 故答案为：不正确，不正确： 【小问2详解】 移项，得3x(x-2)-(x-2)=0 第16页/供34页 学科网命组卷网 (x-2)3x-1)=0 x-2=03x-1=0 解利=2%行》 19.为了解朝阳社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了 随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图.请根据图 中信息解答下列问题： 各种支付方式的扇形统计图 各种支付方式中不同年龄段人数条形统计图 个人数 ☐20-40岁☐41-60岁 120 A支付宝支付 120- 100 B B微信支付 90 89 75 40% C现金支付 60 D其他 30 30 15%10% B D 支付方式 (1)求参与问卷调查的总人数. (2)补全条形统计图. (3)该社区中20~60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数： 【答案】(1)参与问卷调查的总人数为500人： (2)补全条形统计图，如图所示. 各种支付方式中不同年龄段人数条形统计图 个人数 ☐20-40岁☐41-60岁 120 120 -100 90 80 60 60 30 15 2030 0 D 支付方式 (3)这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人. 【解析】 【分析】(1)根据喜欢支付宝支付的人数其所占各种支付方式的比例=参与问卷调查的总人数，即可求 出结论： 第17页/共34页 6学科网列组卷网 (2)根据喜欢现金支付的人数(41~60岁)=参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比 例-15，即可求出喜欢现金支付的人数(41~60岁)，再将条形统计图补充完整即可得出结论： (3)根据喜欢微信支付方式的人数=社区居民人数×微信支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论. 【详解】(1)(120+80)÷40%=500（人）. 答：参与问卷调查的总人数为500人 500×15%-15=60,) (2) (人 (3) 8000×1-40%-10%-15%)=2800(人). 答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人. 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：(1)观察统计图找 出数据，再列式计算；(2)通过计算求出喜欢现金支付的人数(41~60岁)；(3)根据样本的比例×总 人数，估算出喜欢微信支付方式的人数， 20.学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加， 于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1,2,3的三张纸牌（除牌 面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗 匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜：若和小于4，则小红胜；若和等 于4，则重复上述过程， (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1”的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平. 1 【答案】(1)3 (2) 解：画树状图如下所示： 第18页/供34页 命学科网组卷网 开始 小明 小红 12312 3 和 34345456 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4 的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， 31 31 ∴小明获胜的概率为62，小红获胜的概率为62， ∴.小明和小红获胜的概率相同， ·该游戏对双方公平。 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： (1)根据概率计算公式求解即可： (2)画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果， 再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论 【小问1详解】 解：一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， 1 ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1”的概率是3， 1 故答案为：3： 【小问2详解】 略 21.关于的一元二次方程 2+mx+2m-4=0 (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程有一个根为非负数，求m的取值范围， 【答案】(1) 第19页/共34页 学科网 组卷网 证明： x2+m.x+2m-4=0 ∴.m2-4×1×(2m-4)=m2-8m+16=(m-4)2≥0 ∴方程总有两个实数根： (2)m≤2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识 点是解题的关键。 (1)先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可： (2)先用因式分解法解一元二次方程，x=-2或x=-m+2,由题意可知-m+2之0，然后解不等式即 可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：x+mx+2m-4=0 ∴.（x+2)(x+m-2)=0 .x=-2nx=-m+2 或 方程有一个根为非负数， ∴.-m+2≥0 ∴.m≤2 2在4A C中，以4B为直径作S .⊙0 ⊙0 AC ,点C在上，点D是的中点. 第20页/供34页 6学科网6组卷网 AB=10,BC=6 (1)如果 ,求点D到AB的距离： (2)请用无刻度的直尺画出△ABC的角平分线BP(不写作法，保留作图痕迹)· 12 【答案】(1)点D到AB的距离为5 (2)角平分线BP即为所求： 0 O B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，相似三角形的性质，作角的平分线等知识，作辅助线构造相似三角形 是解答本题的关键， (1)由直径所对圆周角是直角得∠ACB=90°。根据勾股定理得AC=8,由点D是AC的中点得 AD=4,过点DF⊥AB于点E,证明△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质列出比例式可求出DE 的长： (2)连接O 并延长交O0手」 0于点9，连接B交4C于点P,则BP为△1BC 的角平分线. 【小问1详解】 解：ABg⊙0 是 的直径， 第21页/供34页 6学科网命组卷网 .∠ACB=90°， 在Rt△MBC中，AB=10.BC=6 AC=VAB2-BC2=V102-62=8. :点D是AC的中点， 0-4c=4, 过点DE⊥AB于点E,则∠DEA=90°，如图， B E ,∠ACB=90°， .∠DEA=∠BCA, 又∠A=∠A, .△ADE∽△ABC, AD DE AB BC' 1D=4AB=10,BC=6 4 DE .106 DE=12 5, 第22页/共34页 学科网 命组卷网 12 即点D到AB的距离为5； 【小问2详解】 解：连接 OD 并延长交⊙0 于点0，连接B0交4C于点P,则BP为△MBC的角平分线 证明：点D是AC的中点， OQ⊥AC :点P为劣弧AC的中点， A0=0C ∠ABQ=∠CBQ ,即∠ABP=∠CBP, .BP为△ABC的角平分线， 23.某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型.已知该模型平均每天可售出20个， 每个盈利40元.为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每 天可以多售出2个. (1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多 少元？ 【答案】(1)平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元： (2)每个模型应降价10元. 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元二次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一 元二次方程是解题的关键。 (1)利用平均每天的销售量=20+2×=2042×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量和获利的钱 数； 第23页/供34页 6学科网命组卷网 (2)设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利(40-)元，平均每天可售出(20+2x)个，利用“总利 润=每个的销售利润×日销售量”列出关于x的一元二次方程，求解并取其符合题意的值即可. 【小问1详解】 解：20+2×4=20+8=28（个）；即：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型. 可获利：( 40-4)(20+4×2)=36×28=1008 元 答：平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元. 【小问2详解】 解：设每个模型应降价￥元，则每个模型可盈利(40-刀元，平均每天可告出(20+2x)个， 根据题意得： (40-x)(20+2x=1200,整理得：x-30x+200=0, 解得：=10,52=20 又每个模型盈利不少于25元， .x=10 答：每个模型应降价10元. Rt△MBC中，∠ACB-90°.以 ,以C ⊙0交B于点D,连接D0并延长交 DO 24.如图， 边为直径作 BC 的延长线于点，点P为C的中点，莲接DP BC E D A (1)求证： PD。OO 是的切线： ⊙0 (2)若 的半轻为3，B=30,求PE的长 第24页/供34页 6学科网 组卷网 【答案】(1) 证明：如图，连接CD, B D .AC⊙0 的直径， ∴∠CDB=90° 在RtABCD中，点P为BC的中点， :PD=-BC=PB .∠B=∠PDB, OA=OD .∠ODA=∠A .∠ACB=90° ∴.∠B+∠A=90° ∴.∠PDB+∠ODA=90° ∴.∠PDO=90°. .OD⊥PD, PD00 是的切线 (2)6V5 【解析】 第25页/共34页 6学科网 命组卷网 【分析】(1)连接CD,由“直径所对的圆周角等于90°”可得∠CDB=90°，由“直角三角形中斜边上 的中线等于斜边的一半”可得PD=PB,进而可得∠B=∠PDB.又由OA=OD可得∠ODA=∠A, 则可得∠PD0=90°，即可得证. (2)先根据三角形外角定理可得∠ED=60°，进而可得∠E=30°，则OE=20C=6,进而可得 DE=9,Rt△PDE PE 在 中，根据三角函数的定义即可求出的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∠B=∠PDB,且∠B=30°， .∠PDB=30° ∴.∠EPD=∠B+∠PDB=60° .∠PDE=90° .∠E=30° .∠ACB=90° ∴.∠ACE=90° ∴.0E=20C=6 .OD=3 ..DE=OD+OE=9 在RtATDE中.cs∠E-PE=6s30- PE 2, 第26页/供34页 6学科网 命组卷网 PE=DE 9 =6W3 5 22 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上 的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25.已知关于，古是一元二次方程x+br+c=0(4,b,C为常数且a≠0)的两个实数根，若满足 x-x2=1 ,则此类方程叫做邻根方程.根据“邻根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“邻根方程”的是一；（填写序号） 0r+3x+2=0,®×-4r-5=0 (2)①关于产的方程女+x+9=0是“邻根方程”(D,9为常数)：②P-2m=lg-m=m( p,q,m 为常数)：③P=-49=3. 从三个选项中选择一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题， 并加以证明： （若关于*的方隆公+加-1=0a办是寄数.且00)足“限方隆，令=6如- ，试求 的最大值. 【答案】(1)① (2)如果②，则① (3)最大值25 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“邻根方程”的定义是解题的关键。 (1)根据“邻根方程”定义判断即可. (2)根据“邻根方程”定义选择②为条件，①为结论： （③)根据关于x的方程m2+bx-1=0《a,b是常数，且a≠0)是“邻根方程”得与+- a 第27页/供34页 6学科网列组卷网 5=石有5-5=1K-5-1,有司8-4日司-1，影群样-如代入 1=6a-b,运用二次函数性质可求解 【小问1详解】 解：0r+3x+2=0 解得=-1戈3=-2 -1-(-2)=1 差： ,符合“邻根方程”定义，故①是“邻根方程”； ②r-4x-5=0 解得：=5x=-1 5-(-1)=6≠1 差： 不符合， 故答案为：①： 【小问2详解】 解：选择②为条件，①为结论： 根据题意得：P=1+2m,9=m2+m 所以，方程变形为：r+(1+2m)x+m2+m=0 .￥+x2=-(1+2m),xx2=m2+m .(x-x=(x+x)2-4xx2=[-(1+2m)]了-4(m2+m)=1 -=引或名=1 所以，②为条件，①为结论的命题是真命题；； 【小问3详解】 第28页/供34页 6学科网命组卷网 解，：关于”的方程r+r-1=0ab是符数，且a≠0)是“邻根方程”， 5= a. a,-x3=1. 而（名-}=1 (8- 整理得： b2=a2-4a .t=6a-b2 :t=6a-(a2-4a=-a2+10a=-(a-5)}+25 .-1<0 ∴.1有最大值为25， ⊙ 26.如图，在 中，点M是直径B上一点，MM=8,BM=2,点P ,点是半圆上一动点 B B AN O M B OM OM 图1 图2 图3 (1)如图1，如果PM⊥AB,求PM的长： (2)如图2，延长PM,交S ⊙O2∠AMP=60° 于点， ①以点O为圆心，r为半径画圆.当所画圆与线段PM有两个公共点时，求r的取值范围： ②如果MP=2B观，求PB的长： (3)如图3，点N是线段OA上的一点，连接PN.探究：在图3中是否存在定点N,在点P运动过程中， 第29页/共34页 命学科网命组卷网 使PM+Pw AN 值保持不变，如果存在，求其值和 的长；若不存在，请说明理由. 25 π 【答案】(1)4(2)①2 5<rs3 ;②9 (3)存在，定值68，AN=2 【解析】 OP AM=8,BM=2 ⊙0 【分析】(1)连接，由 ,得到的直径为10，半径为5，从而 OM=AM-OA=3 RtAPOM ”中，根据勾股定理即可求出 PM ,在 OH⊥P9 30° (2)①过点0作 2于点H,则∠OHM=90°，在RtAOHM ，在 中，根据含角的直角三角形的 性质与勾股定理米出O1-3 2,因此当以点0为圆心，r=0H=35 2为半径画圆时，与PQ相切，再 根据OM=3即可得到r的取值范围； ②连接OP,O0,由MP=2BD得到∠AOP=2∠BO0,设∠BO0=a,∠A0P=2a,则 ∠POH=180°-∠AOP-∠HOM=150°-2a∠Q0H=∠BO9+∠HOM=a+30° 根据 0P=00.oH11吧得到2P01=200M.从而150°-2a=30+a,得到a=40 根据弧长公 式即可求解： (3)设ON=a,OC=4,且规定点C在点0的左边时，<0：点C在点O的右边时，1>0，则 NO=la+4,CM=3-(,连接OP,过点C作PC⊥AB于点C,根据勾股定理得到 PC2=0C2-0C2=25-2Pw2=PC2+NC2=25+ad2+2t.PM2=PC2+CM2=34-6,则 第30页/共34页 学科网组卷网 PN2+PM2=59+a+(2a-6),根据PM2+PN2值保持不变，即与1的取值无关，则得到a=3,进 而即可求解. 【小问1详解】 解：连接OP, B AM=8BM=2 AB=AM+BM=8+2=10, ⊙0 即的直径为10， ⊙0 的半径为5， ..OP=OA=OB=5. ..OM=AM-OA=3, :PM⊥AB, 在RtAPOM中，PM=VOp2-OM2=V52-32=4 【小问2详解】 OH⊥PQ 解：①过点O作 于点H,则∠OHM=90 第31页/供34页 6学科网组卷网 M :∠AMP=60°， .∠HOM=90°-∠AMP=30°. .MM-JOM-1x3-3 2 2 2, .on-om 2 r=OH= 35 .当以点O为圆心， 2为半径画圆时，与P2相切， .OM=3, 3V3 :当所面圆与线段PM有两个公共点时，r的取值范围为2<r≤3 OP 00 ②连接 A O、 AP=280 :∠A0P=2∠B00 第32页/供34页 6学科网命组卷网 设 ,则∠40P=2a ∠BOQ=a .∠HOM=30°， .∠POH=180°-∠AOP-∠HOM=180°-2a-30°=150°-2a, ∠QOH=∠BOQ+∠HOM=a+30° ..OP=0Q OH L PO :∠P0H=∠00H,ml150°-2a=30+a ∴.a=40°， .∠AOP=2a=80°， .∠BOP=180°-∠AOP=100°， 100π.525 π 1809 【小问3详解】 解：存在定点N,在点运动过程中，使 PM2+PN2 值保持不变.理由如下： 设OW=a,OC= ,且规定点C在点O的左边时，t<0,点C在点O的右边时，t>0 .N0=la+(,CM=3-t 连接OP,过点C作PC⊥AB于点C, N OCM 第33页/供34页 6学科网命组卷网 在RtaP0C中，PC2=0P2-0C2=52-2=25- 在Rt△PNC中，PW2=PC2+NC2=25-P+la+=25+ad2+2at 在RtaPCM中，PM2=PC2+CM2=25-2+3-f=34-6 :PW2+PM2=25+a2+2aM+34-6t=59+a2+(2a-6)1 :在点运动过程中，使PM+PW P 值保持不变， ∴.2a-6=0,解得a=3, 此时ON=3,AN=5-3=2, PN2+PM2=59+32=68 【点睛】本题考查勾股定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质，弧长公式，垂径定理，切线的判定， 直线与圆的关系，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键， 第34页/供34页