第15章 轴对称（知识串讲+热考题型+真题训练）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

第15章 轴对称 【考点1】轴对称图形的相关概念 【考点2】轴对称在镜面对称中的应用 【考点3】利用轴对称的性质 【考点4】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【考点5】 再格点中作轴对称图形 【考点6】线段垂直平分线的性质及应用 【考点7】线段垂直平分线和角平分线的作图 【考点8】等腰三角形的性质 【考点9】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【考点11】等边三角形的性质 【考点12】等边三角形的判定 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【考点14】将军饮马-最短路径问题 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点5 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 知识点6 ：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点7： 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3. 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点8 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点9 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点11：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 知识点12：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点1】轴对称图形的相关概念 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【考点2】轴对称在镜面对称中的应用 1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 2．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 3．一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 【考点3】利用轴对称的性质 1．如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 3．如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，和关于直线l对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点4】关于坐标轴对称的点的坐标性质 1．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是(   ) A． B． C． D． 2．已知点和点关于轴对称，则= ． 3．已知点与点关于y轴对称，则 ． 【考点5】 再格点中作轴对称图形 1．如图，三个顶点的坐标分别是，，， (1)请画出向左平移6个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (3)在y轴上求一点P使周长最小，请标出点P的位置 2．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． (1)作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中、的三个顶点坐标分别为、、． (1)请画出将向右平移7个单位得到的； (2)请画出与关于轴对称的； (3)在x轴上找一点P使得的面积为3，直接写出点P的坐标． 【考点6】线段垂直平分线的性质及应用 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 3．如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 4．12.如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为 ． 5．如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【考点7】线段垂直平分线和角平分线的作图 1．如图，在中，，的周长为13． (1)作线段AC的垂直平分线，与AC，BC分别相交于点E，D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接AD，则的周长为________． 2．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 3．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 为提升国民医疗水平建设便民服务，保证M镇和N镇、高速公路和的应急救援能力，需要设立一所医院P，为使该医院救援车能快速到达，既要满足到M镇和N镇的距离相等，也要满足到、两条高速公路的距离相等，请你通过尺规作图，找出医院P的位置． 【考点8】等腰三角形的性质 1．如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰中，已知，则下列不能说明的是(   ) A． B． C． D． 3．已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在中，，AD是BC边上的高．若，，则BD的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在中，，，，（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的平分线，于P，连接，若的面积为，则的面积为（　　）   A． B． C． D． 7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，和的平分线交于点O，过O点作，交于E，交于F，若，则线段的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（   ）度． A．30或60 B．45或60 C．60 D．30或45 【考点9】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点10】等腰三角形的判定与性质 1．如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． (1)试判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 2．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 3．如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 4．如图，在等腰直角中，，点在的延长线上，连接．过点作，使，连接． 【问题提出】 （1）请判断与是否垂直，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图2，若点为的中点，连接并延长至点，使，连接，，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 6．如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【考点11】等边三角形的性质 1．如图，已知是等边三角形，是中线，在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，等边的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F， 过点F作于点E，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点12】等边三角形的判定 1．如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 2．如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 3．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 4．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 1．如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 3．如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（   ）　 A．5 B．6 C．7 D．8 【考点14】将军饮马-最短路径问题 1．如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 4．如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称 【考点1】轴对称图形的相关概念 【考点2】轴对称在镜面对称中的应用 【考点3】利用轴对称的性质 【考点4】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【考点5】 再格点中作轴对称图形 【考点6】线段垂直平分线的性质及应用 【考点7】线段垂直平分线和角平分线的作图 【考点8】等腰三角形的性质 【考点9】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【考点11】等边三角形的性质 【考点12】等边三角形的判定 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【考点14】将军饮马-最短路径问题 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点5 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 知识点6 ：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点7： 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3. 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点8 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点9 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点11：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 知识点12：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点1】轴对称图形的相关概念 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握并理解轴对称图形的定义是解决本题的关键. 根据轴对称图形的定义：平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形.解答即可. 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．下列四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【考点2】轴对称在镜面对称中的应用 1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答． 【详解】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：A 2．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 3．一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 【答案】 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 【考点3】利用轴对称的性质 1．如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称，根据成轴对称的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点所连线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，直线垂直平分，， ∴直线平分， 综上，正确的有①②③； 故选：A． 2．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，垂直平分， 综上可知：正确，共个． 故选：D． 3．如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，解题的关键是利用轴对称的性质解答．连接，利用轴对称的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】 解：连接， ∵D点分别以、为对称轴，得到点E、F， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图，和关于直线l对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知如果两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形就会全等是解题的关键． 由和关于直线l对称，得到，再由全等三角形“对应角相等”即可求解． 【详解】解：和关于直线l对称，， ， ． , 在中， ． 故选：D． 【考点4】关于坐标轴对称的点的坐标性质 1．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故选A． 2．已知点和点关于轴对称，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、求代数式的值，根据点和点关于轴对称，可得：，，把字母的值代入代数式计算即可． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 3．已知点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征． 根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴， 故答案为：8． 【考点5】 再格点中作轴对称图形 1．如图，三个顶点的坐标分别是，，， (1)请画出向左平移6个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (3)在y轴上求一点P使周长最小，请标出点P的位置 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)见解析 【分析】本题主要考查了最短路线问题，轴对称变换，平移变换． （1）依据平移的方向和距离，即可得到及点的坐标； （2）依据轴对称的性质，即可得到及点的坐标； （3）依据轴对称的性质，作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； ； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：如图，点P即为所求． 2．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． (1)作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 【答案】(1)详见解析，，， (2)详见解析，，， 【分析】本题考查了在平面直角坐标系内作轴对称图形，点的坐标；掌握轴对称图形的作法是解题的关键． （1）按要求作出关于x轴对称的，写出坐标，即可求解； （2）按要求作出关于直线l对称的，写出坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作， ，，； （2）解：如图，即为所求作， ，，． 3．如图，在平面直角坐标系中、的三个顶点坐标分别为、、． (1)请画出将向右平移7个单位得到的； (2)请画出与关于轴对称的； (3)在x轴上找一点P使得的面积为3，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查作图轴对称变换、作图平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接，即可得出答案； （2）根据轴对称的性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接，即可得出答案； （3）设点P坐标为，由的面积为3，可得，再求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：设点P坐标为， 的面积为3， ， ， 或， 解得：或， 或． 【考点6】线段垂直平分线的性质及应用 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 2．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C 3．如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质，可得，，结合“的周长为”，即可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 4．12.如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 根据线段垂直平分线的性质可知，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可． 【详解】解：∵DE垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上任意一点到线段的两个端点距离相等． （1）先证得垂直平分则，而垂直平分，则，等量代换即可证明； （2）由（1）得，而，再由三角形周长公式求解． 【详解】（1）证明：，， ∴垂直平分 ∵垂直平分， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的周长为 【考点7】线段垂直平分线和角平分线的作图 1．如图，在中，，的周长为13． (1)作线段AC的垂直平分线，与AC，BC分别相交于点E，D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接AD，则的周长为________． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法完成作图； （2）利用垂直平分线的性质，将的周长进行转化，结合三角形周长求出结果． 【详解】（1）解：用圆规分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线，即为AC的垂直平分线，与分别交于． （2）解：是的垂直平分线， ， 的周长为13，， ， 的周长为． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作图与性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，利用此性质转化线段求三角形周长是解题的关键． 2．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—作角平分线，作图—作垂直平分线，根据货站P到两条公路、的距离相等可得出点在的平分线上，再由到两工厂C、D的距离相等可得出点在的垂直平分线上，由此作图即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，的平分线，它们的交点即为所求， 3．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 为提升国民医疗水平建设便民服务，保证M镇和N镇、高速公路和的应急救援能力，需要设立一所医院P，为使该医院救援车能快速到达，既要满足到M镇和N镇的距离相等，也要满足到、两条高速公路的距离相等，请你通过尺规作图，找出医院P的位置． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法．作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点P就是所求点． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 【考点8】等腰三角形的性质 1．如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在等腰中，已知，则下列不能说明的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据三角形的三线合一以及全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、 ∵，，∴，故该选项不符合题意；     B、 ∵，∴，不能说明，故该选项符合题意； C、∵， ，∴，故该选项不符合题意； D、∵ ，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理． 首先要讨论的角是顶角还是底角，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角或顶角． 【详解】解：①若是顶角，则底角，符合题意； ②若是底角，那么顶角，符合题意． 故选D． 4．如图，在中，，AD是BC边上的高．若，，则BD的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形面积计算，掌握利用等腰三角形三线合一的性质，结合三角形面积公式计算边长是解题的关键． 利用等腰三角形三线合一的性质，可知是边上的中线，再结合三角形面积公式求出的长度，进而得出的长． 【详解】解：，是边上的高， 是边上的中线，即， ， ， ． 故选：B． 5．如图，在中，，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 6．如图，是的平分线，于P，连接，若的面积为，则的面积为（　　）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由角平分线的定义，垂直的定义推出，由等腰三角形的性质得到．延长交于K，由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形三线合一的性质推出，由三角形面积公式推出，，，进而可得答案． 【详解】解：延长交于K， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 8．如图，在中，和的平分线交于点O，过O点作，交于E，交于F，若，则线段的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：A． 9．如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（   ）度． A．30或60 B．45或60 C．60 D．30或45 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论， ， ， ，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵ ∴，， ∴， 如图，当时，则， ∵， ∴， 解得， 此时； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 此时； 时，则， 由得，，此方程无解， ∴不成立， 综上所述，或， 故选：． 【考点9】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了格点与等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的定义在格点作图即可． 【详解】解：根据等腰三角形的定义作图如下， 图1，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 图2，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 图3，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 综上所述，点的个数为3个， 故选：C． 2．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 3．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答． 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 【考点10】等腰三角形的判定与性质 1．如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． (1)试判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析． 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用方法是解题的关键． （）先利用等角对等边得出，再证出，进而判断出，即可得出结论； （）先根据三角形的内角和求出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）知，， ∴ 2．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到平分，则，再利用平行线的性质得到，所以，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）先根据等腰三角形的性质得出，则，根据平行线的性质得出，进而得出，得出，根据（1）知，进而得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是等腰三角形的底边上的高， ． ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：是等腰三角形，， ， ． ， ， ． 由（1）知， ． ． 3．如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】（1）通过设，利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明，得出为等腰三角形． （2）过点作交延长线于，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且，从而得证． 【详解】（1）证明：设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ​​​​​​​∴为等腰三角形； （2）证明：过点作交的延长线于点， ∴，． ∵平分， ， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在等腰直角中，，点在的延长线上，连接．过点作，使，连接． 【问题提出】 （1）请判断与是否垂直，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图2，若点为的中点，连接并延长至点，使，连接，，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）垂直，见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形的外角． （1）根据，，根据等量代换，得；根据，，得，得，根据三角形的外角，得，即证明； （2）根据全等三角形的判定得出，得，则，得，；等量代换，根据，，等量代换，根据全等三角形的判定和性质，等量代换，即可证明． 【详解】解：（1）垂直，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的知识． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，，进而计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据直角三角形的性质得，可得答案； 对于（2），先求出，即可得，接下来说明，进而得垂直平分再根据等腰三角形的性质得， 然后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵为上的中线， ∴， ∴是直角三角形. ∵点F为中点， ∴. ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（ 1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴． 【考点11】等边三角形的性质 1．如图，已知是等边三角形，是中线，在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 先根据是等边三角形，为中线可得出，再由可知，根据三角形内角和定理即可求出的度数，故可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，为中线， 故选：D． 2．如图，等边的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是等边三角形的性质、线段中点的有关计算，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质得出，结合点是的中点，即可得解． 【详解】解：等边的边，点是的中点， ，， ， ， ． 故选：． 3．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键．设直线a与交于点D，与交于点E，先由对顶角的性质得，再由等边三角形的性质得，然后由三角形的外角定理可求出，最后再根据直线可得的度数． 【详解】解：设直线a与交于点D，与交于点E，如图所示： ， ， 为等边三角形， ， 为的一个外角， ， 直线 ． 故选：A． 4．如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用等边三角形的性质得出相等的角和边，证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴， ， 故选：A． 5．如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F， 过点F作于点E，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可进行求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【考点12】等边三角形的判定 1．如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，证明可得，据此可证明是等边三角形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质可求出的长，再由线段中点的定义可得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴； ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 2．如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质推出，则，结合，即可判定是等边三角形． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 3．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 4．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 1．如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角的性质． 根据等边对等角得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边得到，进而可求的长． 【详解】∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和直角三角形的性质，由垂直平分线的性质可得，则，再求出，，在中利用直角三角形的性质即可得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（   ）　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理，解题关键是掌握等边对等角和等角对等边的性质． 利用等边对等角的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出,然后由，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 【考点14】将军饮马-最短路径问题 1．如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 2．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接，与交于点，此时最小，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ∴， ， ， 即就是的最小值， ，点是边的中点， ∴， ∵，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 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