26.1反比例函数（题型专练）数学人教版九年级下册

26.1 反比例函数 题型一 判断是否是反比例函数 1．（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义逐一分析各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，为一次函数，形如（），不符合反比例函数的形式； B：，可变形为，符合反比例函数的形式，其中； C：，直接符合的形式，其中； D：，可改写为，符合反比例函数的形式，其中； 故选：A． 2．（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“反比例函数解析式的一般式”是解题的关键．根据反比例函数的定义，即可判断各函数类型是否符合题意． 【详解】解：A、可变形为是的反比例函数，符合题意； B、是的正比例函数，不符合题意； C、不是的反比例函数，不符合题意； D、，y不是的反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）下列函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义判断，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此即可获得答案． 【详解】解：A. ，整理为，是一次函数，不符合题意； B. ，化简为，是正比例函数，x的次数为1，不符合题意； C. ，是正比例函数，x的次数为1，不符合题意； D. ，符合（），是反比例函数． 故选：D ． 题型二 根据反比例函数的定义求参数 1．（24-25九年级上·湖南·期中）若函数是反比例函数，则m＝ ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫反比例函数．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据函数是反比例函数，则且求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 2．（24-25九年级上·云南·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 设反比例函数解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据题意得：，解得． 故答案为． 3．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据自变量的次数是，系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．将点代入反比例函数，即可求出k的值． 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型三 已知反比例函数的图象，判断其解析式 1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，反比例函数， A中不是反比例函数，故不符合要求； B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求； C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求； D中不是反比例函数，故不符合要求； 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到值的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：，， ∴，即：， ∴的值可以为； 故选C． 4．（22-23九年级下·云南德宏·期中）如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象是直线，反比例函数（）的图象分布：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象特征和反比例函数的图象分布，掌握反比例函数图象分布的规律是解题的关键． 题型四 判断反比例函数图象所在象限 1．（25-26九年级上·广西桂林·阶段练习）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第四象限 D．第二、第三象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象与的关系． 根据反比例函数（为常数，）的性质，当时，图象位于第一、第三象限；当时，图象位于第二、第四象限，据此判断． 【详解】解：反比例函数（为常数，）： 当时，函数的图象在第一、第三象限； 当时，函数的图象在第二、第四象限． 在反比例函数中，，所以该函数的图象位于第一、第三象限． 故选：A． 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）反比例函数的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可判断，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数 的图象经过第一、三象限， 故选：A． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）反比例函数的图像不经过（　　） A．第二、四象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数，)的图像是双曲线，当，反比例函数图像的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图像的两个分支在第二、四象限． 根据反比例函数的图像与性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴反比例函数的图像不经过第二、四象限， 故选：A． 4．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）反比例函数的图象分布在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据即可求解． 【详解】解：，故图象在第二、四象限． 故选：D． 题型五 已知反比例函数的增减性求参数 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的正负，进而确定m的取值范围． 【详解】解：∵两点在双曲线上，且， ∴反比例函数图象在二、四象限， ∴，解得：． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知反比例函数图像经过、，如果，，那么 0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数性质，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．先根据，判断出点、都在第二象限，且y随x的增大而增大，再根据反比例函数性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数图像经过、，且，， ∴点、都在第二象限，且y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解不等式，由反比例函数的性质，时，在每个象限内，y随x的增大而减小，得，然后解不等式即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 题型六 比较反比例函数值或自变量的大小 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知点，，都在反比例函数的图像上，那么、、的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，将，，代入，分别求得，，，再比较大小，即可求解． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图像上， ∴，，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键． 先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小，即可解答． 【详解】， 反比例函数的图象上位于第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ， ， ， 综上，． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）已知点，均在反比例函数图象上，则 （填、、）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据得出在每个象限内，随着的增大而减小，又因为点，均在反比例函数图象上，得出，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∵点，均在反比例函数图象上，且， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·广东中山·期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，再根据点所在象限，结合反比例函数的增减性，即可解题． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ∵点、、在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∵、在第一象限的图象上，又y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 求反比例函数解析式 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）已知反比例函数的解析式，并且当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求函数值． （1）待定系数法求解析式即可； （2）把代入解析式求值即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，， ∴； ∴； （2）当时，． 2．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 3．（22-23九年级上·湖南郴州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 【答案】反比例函数的表达式为 【分析】将点坐标代入一次函数的解析式中，解出，之后再把点代入反比例函数的解析式中，解出，即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：把点代入，得， ∴, 把点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握利用待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 4．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)试确定m的值； (2)直接回答点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)D点在函数图象上，E点不在函数图象上 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，判断点是否在函数图象上，解题的关键是掌握反比例函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将坐标点的横坐标代入解析式求值，判断与点的纵坐标是否相等，即可判定点是否在函数图象上． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）解：当时，， 当时，， ∴在这个函数的图象上，不在这个函数的图象上． 题型一 一次函数与反比例函数的综合应用 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查反比例函数图象和一次函数图象的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）图象法求出解集即可； （3）点在轴上，设，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴，， 把，代入，得： ，解得， ∴； （2）∵， ∴， 由图象可知，或； （3）∵， ∴当时，，当 ∴直线与轴的交点坐标为， ∵， ∴， ∵点在轴上，设， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 2．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 4．（25-26九年级上·广西北海·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)12 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴一次函数表达式为． ∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 解方程组得， 经检验均是方程组的解， ∴， ∴． （3）解：设，连接并延长交y轴于点N， ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 题型二 二次函数与反比例函数的综合应用 1．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是 　　（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数的值； ②求另外两个“兄弟点”的横坐标． 【答案】(1)② (2)①；②另外两个“兄弟点”的横坐标为和 【分析】（1）画出函数图象，有函数图象及“兄弟点”的定义即可得到答案； （2）①将把代入得，将代入即可求出的值；②联立，整理得到，从而得到或，利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：如图：   ， 由图可知，与二次函数有3个交点的是， 与二次函数互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； （2）解：①把代入得， 其中一个“兄弟点”的坐标为， 把代入得：， 解得：； ②由①得：， ， 联立， 得， ， ， ， ，即， 或， ， 在中，， ， 另外两个“兄弟点”的横坐标为和． 【点睛】本题考查了在新定义下的一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，图象交点与一元二次方程的关系，公式法解一元二次方程，理解“兄弟点”的定义，采用数形结合的思想，是解此题的关键． 3．（2022·河北保定·一模）如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 【答案】(1)， (2) (3) (4)2或 【分析】（1）时，点为，把代入解得，把代入解得； （2）的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点，则，得到，则，由，解得．由点位于直线的右侧得到．则； （3）由得到．由的面积为4得到．分当B在x轴的负半轴和在x轴的正半轴分别进行求解即可； （4）由O，F两点间的距离为1得到点F的坐标是或，分别代入，求出a的值，再求出m的值，即可得到k的值． 【详解】（1）解：时，点为， 把代入得， ，解得， 把代入得 ， 解得， 综上可知，，． （2）∵的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点， ∴， ∴． ∴． 由，解得． ∵点位于直线的右侧， ∴． ∴． ∴当点B在x轴的负半轴上时，； （3）∵， ∴． ∵的面积为4， ∴． ∴． ①当B在x轴的负半轴时， ∵， ∴， ∴ ②当B在x轴的正半轴时， 设， ∵， ∴． ∴， ∴ ∵对称轴为， ∴不合题意，舍去， 综上所述可知点．代入得到， ∴， ∴． 当时，， 解得． 由（2）可知， ∴． ∴． （4）∵O，F两点间的距离为1． ∴点F的坐标是或， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得 ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得， ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当或时，O，F两点间的距离为1． 【点睛】此题是二次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 4．（2021·河南开封·二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数． 下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数的图象与性质． 列出表格： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 1 0 1 4 2 1 … 描点连线： （1）以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，请在所给的平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数的图象． 探究性质： （2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题： ①当时，该函数图象的对称轴为______，最低点坐标为______． ②点，在该函数图象上，则______（填“＞”“＜”或“＝”）． ③请写出该函数的一条性质：______________________． 解决问题： （3）①当直线时，与该函数图像的交点坐标为_________________． ②在直线的左侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求值． 【答案】（1）见解析；（2）①直线x=-2；（-2，0）；②＜；③图象有最低点（-2，0）；（3）①（-4，1），（0，1），（6，1）；②x3+x4=-4． 【分析】（1）根据画函数图象的步骤解答即可； （2）观察图象的对称性，最低点特征，即可求解①②； ③根据函数有最低点写出即可； （3）①观察图象可直接得出结论； ②分析题意可得P、Q两点关于直线x=-2对称，得P、Q连线的中点在直线x=-2上，根据中点坐标公式即可得出结果． 【详解】解：（1）该函数图象如图所示； （2）结合（1）中画出的函数图象， ①当x≤2时，该函数图象的对称轴为：直线x=-2；最低点坐标为 （-2，0）； 故答案为：直线x=-2；（-2，0）； ②点A（-3，y1），B（-8，y2）在该函数图象上，且A、B在对称轴左侧， 观察图象，对称轴左侧是y随x的增大而减小， y1＜y2； 故答案为：＜； ③写出该函数的一条性质：图象有最低点（-2，0）； 故答案为：图象有最低点（-2，0）； （3）①当直线y=1时，观察图象经过（-4，1），（0，1），（6，1） ∴与该函数图象的交点坐标为 （-4，1），（0，1），（6，1）； 故答案为：（-4，1），（0，1），（6，1）； ②在直线x=2的左侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3=y4， ∴P、Q两点关于直线x=-2对称， ∴P、Q连线的中点在直线x=-2上， ∴根据中点坐标公式得：x3+x4=-4． 【点睛】本题考查了分段函数的图象画法，函数的增减性，最值问题，图象上点的坐标特征，解题关键是数形结合思想的综合运用． 题型三 反比例函数与几何的综合应用 1．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线表达式为． (1)若点的坐标为， ①求直线的函数解析式； ②连接、，求的面积； (2)连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)的面积是定值，定值为 【分析】本题考查点的坐标，一次函数和反比例函数的综合，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． （1）①根据点的坐标即可求出，． 再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；②延长交轴于点，延长交轴于点，易证四边形是矩形，根据反比例函数k的几何意义可得，由①可求，根据即可求解； （2）延长与轴交于点，设，则表示出，，，，，利用即可求出的面积是定值，定值为． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴． 把、的坐标都代入中，得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为：； ②延长交轴于点，延长交轴于点， ∵轴，轴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B，点C在反比例函数的图象上，点M在反比例函数的图象上， ∴， 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的面积是定值． 延长与轴交于点， 设，则，，， ∴，，，，， ∴ ． ∴的面积是定值，定值为． 2．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，点在直线上，反比例函数的图像经过A、C两点，点B为线段的中点，轴． (1)求、的值； (2)求的面积； (3)记为a、b中的较大值，即，根据图像直接写出函数在时的最小值． 【答案】(1)， (2)3 (3)4 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用待定系数法求出、的值； （2）先利用线段中点的意义得出，，再求得，从而可求得的面积，进而求得的面积； （3）先根据题意得出函数图象，再利用函数求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴将点A的坐标代入直线l表达式得：， 解得， ∵反比例函数的图像经过A， ∴将点A的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得． （2）∵点B为的中点，， ∴，， ∵轴， ∴点C的纵坐标为2， ∴，解得：， ∴． 在中，边上的高为， ， ∴的面积为． ∵， ∴的面积为． （3）当在时，如图， ∵， ∴在时最小值为4． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)填空：______；______；______； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)的面积为； (3)不等式的解集为或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，求函数解析式，求面积，确定不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设直线与轴交于点，求出点，然后通过即可求解； （3）由图象即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵反比例函数的图象过， ∴， 故答案为：，，； （2）解：如图，设直线与轴交于点， 由（1）得，， ∴当时，， ∴， ∴点， ∴， ∴ ， ∴的面积为； （3）解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 即不等式的解集为或． 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点． (1)与的数量关系是　　　　　； A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A (2)， (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）将点，分别代入，即可求得m，n的数量关系； （2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证得，得到，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式； （3）作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q，则的最小值等于的长，由，，求出直线的解析式，即得． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得，． ∴． ∴． 故选：A． （2）解：①由（1）得：，， 设，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则． ∴． 由旋转知，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （3）解：存在，，理由如下： 如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q， 则． ∴． ∴的最小值等于的长． 由（2）知，，， ∴． ∴． 设直线的解析式为， 则． 解得． ∴． 当时，． ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与几何重合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像及性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：. 【数学理解】 （1）已知点，则____________； （2）函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是______________； （3）函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点，使； （4）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标； 【问题解决】 （5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）？ 【答案】（1）3；（2）；（3）见详解；（4）最小值3，此时点的坐标为；（5）见详解 【分析】本题为函数的综合题，涉及的知识点有新定义，一次函数，二次函数的性质，反比例函数的性质等知识． （1）根据定义两点间距离公式即可求解； （2）设点坐标为，即可得到，根据得到，脱去绝对值得到，解方程组，即可求解； （3）假设函数的图象上存在点，使，得到，根据得到，脱去绝对值得到，证明方程没有实数根，得到假设不成立，问题得证； （4）设点D坐标为，，根据题意脱去绝对值得到，从而得到当时，由最小值3，此时点的坐标为； （5）如图，以M为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处． 理由：设过点E的直线与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线， 与x轴交于点G，得到，，根据得到,即可证明上述方案修建的道路最短﹒ 【详解】解：（1）由题意得﹒ 故答案为：3 （2）设点坐标为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标是﹒ 故答案为：； （3）假设函数的图象上存在点，使， 根据题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程没有实数根， ∴假设不成立， ∴函数的图象上不存在点，使； （4）设点D坐标为， 则， ∵， ∴， ∴当时，有最小值3，此时点的坐标为； （5）如图，以M为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处． 理由：设过点E的直线与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线， 与x轴交于点G， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵ ∴, ∴上述方案修建的道路最短﹒ 3．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． (3)已知点是反比例函数上的一个动点，设点的横坐标为，，当为何值时，面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)或 (3)当时，面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了反比例函数综合，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积公式，完全平方公式，解一元二次方程等知识点； （1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值． （3）过点作轴交于点，先求得直线的解析式，进而设，则，，表示出的面积，根据不等式得出最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①当在的上方时， ∴，， ，， ， 解得：； ②当在的上方时， ∴，， ，， ， 解得：（负根舍去）， 综上所述：或． （3）解：如图，过点作轴交于点， 的横坐标为4， 沿轴正方向平移个单位得到线段， 直线的解析式为， 将代入得到：， 即， 设的表达式为， 将，代入得， 解得， ， 设，则， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴当时，即（负值舍去） ∴当时，面积最大，最大面积为． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1 反比例函数 题型一 判断是否是反比例函数 1．（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）下列函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 题型二 根据反比例函数的定义求参数 1．（24-25九年级上·湖南·期中）若函数是反比例函数，则m＝ ． 2．（24-25九年级上·云南·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 3．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）若函数是反比例函数，则 ． 4．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ． 题型三 已知反比例函数的图象，判断其解析式 1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·云南德宏·期中）如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 题型四 判断反比例函数图象所在象限 1．（25-26九年级上·广西桂林·阶段练习）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第四象限 D．第二、第三象限 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）反比例函数的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）反比例函数的图像不经过（　　） A．第二、四象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 4．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）反比例函数的图象分布在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 题型五 已知反比例函数的增减性求参数 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知反比例函数图像经过、，如果，，那么 0．（填“”或“”） 4．（2025·陕西西安·模拟预测）反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是 ． 题型六 比较反比例函数值或自变量的大小 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知点，，都在反比例函数的图像上，那么、、的大小关系为 ．（用“”连接） 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“”连接） 3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）已知点，均在反比例函数图象上，则 （填、、）． 4．（24-25九年级下·广东中山·期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．（请用“”连接） 题型七 求反比例函数解析式 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）已知反比例函数的解析式，并且当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 2．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 3．（22-23九年级上·湖南郴州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 4．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)试确定m的值； (2)直接回答点，是否在这个函数的图象上． 题型一 一次函数与反比例函数的综合应用 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由． 2．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 4．（25-26九年级上·广西北海·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 题型二 二次函数与反比例函数的综合应用 1．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是 　　（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数的值； ②求另外两个“兄弟点”的横坐标． 3．（2022·河北保定·一模）如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 4．（2021·河南开封·二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数． 下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数的图象与性质． 列出表格： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 1 0 1 4 2 1 … 描点连线： （1）以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，请在所给的平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数的图象． 探究性质： （2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题： ①当时，该函数图象的对称轴为______，最低点坐标为______． ②点，在该函数图象上，则______（填“＞”“＜”或“＝”）． ③请写出该函数的一条性质：______________________． 解决问题： （3）①当直线时，与该函数图像的交点坐标为_________________． ②在直线的左侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求值． 题型三 反比例函数与几何的综合应用 1．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线表达式为． (1)若点的坐标为， ①求直线的函数解析式； ②连接、，求的面积； (2)连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 2．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，点在直线上，反比例函数的图像经过A、C两点，点B为线段的中点，轴． (1)求、的值； (2)求的面积； (3)记为a、b中的较大值，即，根据图像直接写出函数在时的最小值． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)填空：______；______；______； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点． (1)与的数量关系是　　　　　； A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：. 【数学理解】 （1）已知点，则____________； （2）函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是______________； （3）函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点，使； （4）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标； 【问题解决】 （5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）？ 3．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． (3)已知点是反比例函数上的一个动点，设点的横坐标为，，当为何值时，面积最大，并求出最大面积． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $