专题02 解一元二次方程 六类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题02 解一元二次方程 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解一元二次方程-直接开平方法 1 题型二、解一元二次方程--配方法（常考题） 2 题型三、配方法的应用 4 题型四、公式法解一元二次方程（重点） 7 题型五、因式分解法解一元二次方程 9 题型六、换元法解一元二次方程（难点） 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解一元二次方程-直接开平方法 1．一元二次方程的解为（    ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【解析】解： 解得，． 故选：A． 2．下列各数中是方程的解的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】解： ， 故选：D． 3．方程的两个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 即， ， ，． 故选：A． 4．方程的解是 ． 【答案】 【解析】解： ， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 5．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】1.移项，得， 2.移项，得， 题型二、解一元二次方程--配方法 6．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： ， 故选：A． 7．（24-25九年级上·广东珠海·期末）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．在解方程时，对方程进行配方，图①中是嘉嘉做的，图②中是琪琪做的．对于两人的做法，下列说法正确的是（   ） ． 图① ． 图② A．两人都正确 B．嘉嘉正确，琪琪不正确 C．嘉嘉不正确，琪琪正确 D．两人都不正确 【答案】A 【解析】解：嘉嘉的解法： 原方程变形为． 两边除以，得． 配方，得，即． 步骤正确，结果符合配方法要求． 琪琪的解法： 原方程变形为． 两边乘以2，得． 配方，得，即． 步骤正确，结果符合配方法要求． 综上，两人均正确应用配方法， 故答案为：A． 9．一元二次方程配方，得，则是 ． 【答案】9 【解析】解： ， ，，即， ． 故答案为：9． 10．（24-25九年级上·吉林·期末）解方程：． 【答案】，． 【解析】解： ∴，． 题型三、配方法的应用 11．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【解析】解：由题意，方程可表示为，展开得：， 则，，， 解得，，， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式取得最小值， 故选：B． 12．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 【答案】A 【解析】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 13．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 14．若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 【答案】 【解析】解： ， 故答案为：． 15．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1 （2）① ；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【解析】解：（1）， ， ， 当时，代数式有最小值1． （2）①由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：． ②， ∵， ∴， 当时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是． ∵，， ∴最大面积是符合题意． 题型四、公式法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·河南郑州·期末）点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C、D．当矩形的面积为1时，满足条件的P点的坐标有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：当时，， 解得：， ∴一次函数的图象与x轴交于点． 设点P的坐标为， 当或时，， 整理得：， 解得：，； 当时，， 整理得：， 解得：，． ∴满足条件的P点的坐标有4个． 故选：D． 17．下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、最适合用直接开平方法，故不符合题意； B、最适合用直接开平方法，故不符合题意； C、最适合用公式法，故符合题意； D、最适合用直接开平方法，故不符合题意； 故选：C． 18．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 19．用公式法解一元二次方程： 【答案】 【解析】解： 化为一般式得：， 则， ∴， ∴， 解得． 20．用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）解：∵，，． ∴， ∴， 即，． （2）解：原方程可化为， ∴，，． ∵， ∴， 即，． 题型五、因式分解法解一元二次方程 21．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ） A．，则或 B．，则或 C．，则或 D．，则 【答案】B 【解析】解：A中，，右边不是0，无法得出或，此选项错误，不符合题意； B中，，则或，此选项正确，符合题意； C中，，不一定是或，此选项错误，不符合题意； D中，，则或，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 22．（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】解：， ， 或， ∴，， 故选：A． 23．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴． 故选：C． 24．方程的解是 ． 【答案】， 【解析】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 故答案为：，． 25．若方程的一个根为0，则另一个根为 ． 【答案】1 【解析】解：， 或， ，， 另一个根是1． 故答案为：1． 题型六、换元法解一元二次方程 26．关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【答案】B 【解析】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 27．若实数满足 ，则的值为 ． 【答案】1 【解析】解：设，则， ，即， 解得：， ， ． 故答案为：1． 28．已知实数满足，则的值为 ． 【答案】2 【解析】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 29．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 【答案】(1) (2)9 (3) 【解析】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：令， 原方程变形为：， ， ， ， ， ． 30．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 1．（2025·广东清远·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， ， ， ，， 故选：C． 2．（2025·贵州铜仁·三模）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选B． 3．（2025·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，，中较小的根分别记为，，，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据，关于x的一元二次方程，，中较小的根分别记为，，， 方程有两个不等实数根，利用直接开平方法求解， ， ， ， 同理可证，， 故， 故， ， ，，， ． 故， 同理可证，， ， 故选：B． 4．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知在中，，是边上一点，，若，，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：过作于，延长至，使，连接， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 6．（2025·江苏连云港·三模）解方程： 【答案】， 【解析】解：， ， ， ， 解得：，． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程： 【答案】， 【解析】解： 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 8．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：； ②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． 【答案】（1）①；②；（2）， 【解析】解：（1）①∵， ∴， ∴或， 解得； ② 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解集为； （2） ， 由（1）①可得，则原式， 由（1）②可得，则原式． 9．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析 【解析】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 10．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【解析】（1）解：由题意得，， ∵在中，，，， ∴， 由平移的性质得，，，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； （2）解：当时，∴点在线段上，作于点，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 同理，即， ∴， ∵， ∴， ∵ ； ∴； （3）解：存在，理由如下， 由题意， 当时，作于点，交延长线于点， 同理，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 当时， 作于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 综上，的值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解一元二次方程 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解一元二次方程-直接开平方法 1 题型二、解一元二次方程--配方法（常考题） 1 题型三、配方法的应用 2 题型四、公式法解一元二次方程（重点） 3 题型五、因式分解法解一元二次方程 3 题型六、换元法解一元二次方程（难点） 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解一元二次方程-直接开平方法 1．一元二次方程的解为（    ） A．， B． C．， D． 2．下列各数中是方程的解的是（   ） A．0 B． C． D． 3．方程的两个根是（   ） A． B． C． D． 4．方程的解是 ． 5．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 题型二、解一元二次方程--配方法 6．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·广东珠海·期末）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 8．在解方程时，对方程进行配方，图①中是嘉嘉做的，图②中是琪琪做的．对于两人的做法，下列说法正确的是（   ） ． 图① ． 图② A．两人都正确 B．嘉嘉正确，琪琪不正确 C．嘉嘉不正确，琪琪正确 D．两人都不正确 9．一元二次方程配方，得，则是 ． 10．（24-25九年级上·吉林·期末）解方程：． 题型三、配方法的应用 11．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 12．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 13．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 14．若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 15．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 题型四、公式法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·河南郑州·期末）点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C、D．当矩形的面积为1时，满足条件的P点的坐标有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 17．下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 18．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 19．用公式法解一元二次方程： 20．用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 题型五、因式分解法解一元二次方程 21．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ） A．，则或 B．，则或 C．，则或 D．，则 22．（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 23．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 24．方程的解是 ． 25．若方程的一个根为0，则另一个根为 ． 题型六、换元法解一元二次方程 26．关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 27．若实数满足 ，则的值为 ． 28．已知实数满足，则的值为 ． 29．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 30．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 1．（2025·广东清远·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州铜仁·三模）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，，中较小的根分别记为，，，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知在中，，是边上一点，，若，，则的值为 ． 6．（2025·江苏连云港·三模）解方程： 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程： 8．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：； ②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． 9．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 10．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 14 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