第4章 专题提升六 轻绳模型和轻杆模型 动态平衡问题-【金版教程】2025-2026学年高中物理必修第一册创新导学案Word（鲁科版）

该高中物理导学案以“轻绳轻杆模型”“动态平衡问题”为核心，通过“核心综述-典例精析-规律点拨-分层练习”的递进设计，将“活结与死结”“动杆与定杆”模型分析与动态平衡解题方法（解析法、图解法等）关联，构建系统的力学问题解决路径。 亮点在于模型分类清晰（活结/死结、动杆/定杆）与方法体系化，典例通过几何关系推导、相似三角形应用等培养科学思维（模型建构、科学推理），规律点拨提炼解题关键，分层练习适配不同水平，为学生深度学习和教师单元复习提供实用支撑。

物理　必修 第一册(鲁科) 专题提升六　轻绳模型和轻杆模型　动态平衡问题 提升　轻绳模型和轻杆模型 1．“活结”与“死结”模型 (1)“活结”模型 一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。 (2)“死结”模型 一般是由轻绳打结而形成的。两侧的绳因“死结”而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。 2．“动杆”与“定杆”模型 (1)“动杆”模型 即轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。 (2)“定杆”模型 若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物。滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即定杆弹力的方向不一定沿杆的方向。 如图所示，两根直杆竖直固定在水平地面上，两杆之间的距离为L，一根不可伸长的细绳的两端分别固定在杆上等高的M点和N点，轻绳的长度为L，在绳上距离M点为L的P点系一固定绳套，悬挂质量为m的钩码。重力加速度为g，则MP和NP段细绳的拉力大小分别是 (　　) A．mg，mg B．mg，mg C．mg，mg D．mg，mg [解析]　在△MPN中，由题意知MN＝L，MP＝L，NP＝L－L＝L，满足MP2＋NP2＝MN2，则∠MPN＝90°，设MP和NP段细绳与水平方向的夹角分别是α和β，由几何关系得sin α＝＝0.8，sin β＝＝0.6，设MP和NP段细绳的拉力大小分别为T1和T2，对钩码和绳套受力分析如图所示，由平衡条件，在竖直方向上有T1sin α＋T2sin β＝mg，在水平方向上有T1cos α＝T2cos β，联立解得T1＝mg，T2＝mg，D正确，A、B、C错误。 [答案]　D 如图所示，轻绳AD跨过固定在水平杆BC右端的光滑定滑轮(定滑轮重力不计)拴接一质量为M的物体，∠ACB＝30°，重力加速度为g，下列说法正确的是 (　　) A．BC杆对滑轮的作用力大小为Mg，方向水平向右 B．BC杆对滑轮的作用力大小为Mg，方向水平向右 C．轻绳AC的张力大小为Mg D．轻绳AC的张力大小为Mg [解析]　以物体为研究对象，根据平衡条件可知轻绳CD的张力大小为T＝Mg，定滑轮光滑，则轻绳AC的张力大小为TAC＝T＝Mg，C正确，D错误；以定滑轮为研究对象，受力分析如图所示，根据平衡条件可知，BC杆对滑轮的作用力大小为F＝2T cos 60°＝T＝Mg，方向沿∠ACD的角平分线斜向上，故A、B错误。 [答案]　C (1)“活结”两侧绳中的张力大小相等；“动杆”处于平衡状态时杆的弹力沿杆的方向。 (2)“死结”两侧绳中的张力大小必须由平衡条件确定；“定杆”的弹力方向必须由平衡条件确定。 提升　动态平衡问题 物体在几个力的作用下，如果运动状态变化足够缓慢，则缓慢变化的每一个瞬间，物体都可以看成处于平衡状态，称为动态平衡。这类问题中力的大小、方向都可能变化，与静态平衡不同。解决动态平衡问题的常见方法如下： (1)解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变参量与自变参量的一般函数，然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化。很多情况是通过三角函数分析力的变化情况，一般用于较简单的动态平衡受力分析问题。 (2)图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度、方向的变化判断各个力的变化情况。 如图所示，用竖直木板挡住放在光滑斜面上的小球A，A受到的重力为G。整个装置静止在水平面上。斜面和木板对小球A的弹力大小分别为F1和F2。保持木板竖直，在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A受力的变化情况是 (　　) A．F1增大，F2减小 B．F1减小，F2增大 C．F1减小，F2减小 D．F1不变，F2增大 [解析]　解法一(解析法)：斜面倾角缓慢减小的每一瞬间，A均可以看作受力平衡。对A受力分析如图甲所示，根据平衡条件，由几何关系可得F1sin θ＝F2，F1cos θ＝G，解得F1＝，F2＝G tan θ，则随着θ的减小，F1减小，F2减小，C正确，A、B、D错误。 解法二(图解法—平行四边形)：在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A的重力G不变，即F1与F2的合力F合不变(与G等大反向)，F2的方向不变，画出F1、F2、F合构成的平行四边形如图乙所示，由图可知，随着θ的减小，F1、F2均减小，故C正确，A、B、D错误。 解法三(图解法—矢量三角形)：在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A的重力G不变，F2方向不变，画出G、F1、F2构成的首尾相接的矢量三角形如图丙所示，由图可知，随着θ的减小，F1、F2均减小，故C正确，A、B、D错误。 [答案]　C 图解法求解动态平衡问题的思路 若物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变。这时有两种分析方法： (1)平行四边形法：根据平行四边形定则，将两个变力合成，根据物体处于平衡状态时合力为零，以及两个变力的方向变化情况，判断两个变力的大小变化情况。 (2)矢量三角形法：根据物体处于平衡状态时合力为零，将物体所受的三个力首尾相接，作在一个力的矢量三角形中，根据动态变化过程中三角形中边的长度、方向的变化情况判断力的大小、方向的变化情况。 [跟进训练]　如图所示，将一个铅球放在倾角为θ的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态，现将挡板从竖直状态绕O点缓慢转动至与斜面垂直。不考虑铅球受到的摩擦力。挡板转动过程中，挡板和斜面对铅球的支持力大小分别为F1、F2。则 (　　) A．F1逐渐变大 B．F1先变小后变大 C．F2逐渐变小 D．F2先变小后变大 答案：C 解析：以铅球为研究对象，在挡板转动过程中，F1方向由水平向左逐渐变为沿斜面向上，其受力分析如图所示，可知挡板对铅球的支持力F1逐渐减小，斜面对铅球的支持力F2逐渐减小，C正确，A、B、D错误。 光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的力F由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力N的变化情况(如图所示)。 [解析]　如图所示，作出小球的受力示意图，注意半球面对小球的支持力N总与球面垂直，从图中可得到相似三角形。 设球体半径为R，定滑轮到球面顶端的距离为h，定滑轮与小球间绳长为L，根据三角形相似得＝，＝， 由以上两式可得绳的拉力F＝mg 半球面对小球的支持力N＝mg 由于在拉动过程中h、R不变，L变小，故F减小，N不变。 [答案]　F减小，N不变 解析法——相似三角形法 (1)适用情境：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另外两个力的方向均发生变化，且在题目中可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形。 (2)应用步骤 ①将表示三个力的有向线段首尾相连构成力的矢量三角形； ②寻找与力的矢量三角形相似的几何三角形； ③利用相似三角形的特点，建立比例关系，把力的变化问题转化为几何三角形边长的变化问题； ④结合几何三角形中边长的变化，得出未知力大小的变化情况。 课后课时作业 题型一　轻绳模型和轻杆模型 1．如图所示，将一细绳的两端固定于两竖直墙的A、B两点，通过一个光滑的挂钩将某重物挂在绳上，下面给出的四幅图中有可能使物体处于平衡状态的是 (　　) 答案：C 解析：由于重物是通过一个光滑的挂钩挂在绳上，绳子上的力处处相等，而两边绳子的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，由对称性可知挂钩两边绳子与竖直方向的夹角相等，C正确。 2．如图，AO为不可伸长的轻绳，BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，杆长为L，A、B两点的高度差也为L。在O点用轻绳CO悬挂质量为m的重物，杆与轻绳AO的夹角α＝30°，下列说法正确的是 (　　) A．轻绳AO、CO对O点的作用力的合力沿杆由O指向B B．轻杆对O点的力垂直BO斜向右上 C．轻绳AO对O点的拉力大小为mg D．轻杆BO对O点的弹力大小为mg 答案：A 解析：由题意可知，轻杆为动杆，故对O点产生的弹力沿BO斜向右下，O点受到轻绳AO、CO、杆BO的作用力而处于平衡状态，故轻绳AO、CO对O点的作用力的合力与杆的弹力等大反向，即沿杆由O指向B，故A正确，B错误；对O点受力分析如图所示，由几何关系可知mg、T和N构成的矢量三角形为等腰三角形，故轻绳AO对O点的拉力大小为T＝2mg cos 30°＝mg，轻杆BO对O点的弹力大小为N＝mg，故C、D错误。 3．如图甲所示，吊车是建筑工地常用的一种大型机械。为了便于研究问题，将它简化成如图乙所示的模型：硬杆OB的一端装有定滑轮，另一端固定在车体上；质量不计的绳索绕过定滑轮吊起质量为m的物体匀速上升。不计定滑轮质量和滑轮与轴承之间的摩擦，重力加速度为g，∠BOC＝45°，∠AOC＝60°，sin 15°＝，下列说法正确的是 (　　) A．OA段绳索受到的拉力小于mg B．OB杆受定滑轮的弹力沿杆向下 C．OB杆对定滑轮的弹力大小是mg D．OB杆对定滑轮的弹力大小是2mg 答案：C 解析：根据题意，OC、OA段绳索受到的拉力大小相等，物体被匀速提升，所以OC段绳索的拉力与物体重力平衡，则OA段绳索受到的拉力大小等于mg，A错误；定滑轮在OA段绳索的拉力FOA、OC段绳索的拉力FOC、OB杆的弹力FOB作用下处于平衡状态，FOA和FOC大小相等，则FOB沿∠AOC的角平分线向上，根据力的作用是相互的可知，OB杆受定滑轮的弹力FOB′沿∠AOC的角平分线向下，根据几何关系可知，FOB′不沿杆向下，B错误；根据平衡条件可知，2FOAcos ＝FOB，可解得FOB＝mg，C正确，D错误。 题型二　动态平衡问题 4．如图，小英同学用两根一样长的绳子拴住一只钩码，拉住绳子两头使钩码悬停在空中，保持两手处于同一高度，开始时两绳间的夹角为150°，现将两绳间的夹角慢慢减小到30°，则 (　　) A．两绳拉力逐渐减小 B．两绳拉力逐渐增大 C．两绳拉力先减小后增大 D．两绳拉力的合力逐渐增大 答案：A 解析：以钩码为研究对象，进行受力分析，它受到两侧绳子的拉力F1、F2和重力G。根据平衡条件得知，F1、F2的合力与G大小相等、方向相反，即F1、F2的合力大小等于钩码的重力，保持不变，D错误。根据对称性可知，F1＝F2，设两绳之间的夹角为2α，则由平衡条件得2F1cos α＝G，可得F1＝，开始时两绳间的夹角为150°，现将两绳间的夹角慢慢减小到30°，即α由75°慢慢减小到15°，则F1、F2均减小，A正确，B、C错误。 5．如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到F水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是 (　　) A．推力F先增大后减小 B．推力F一直减小 C．物块受到的摩擦力先减小后增大 D.物块受到的摩擦力一直不变 答案：B 解析：对物块受力分析，建立如图所示的坐标系。由平衡条件得F cos θ－f＝0，N－(mg＋F sin θ)＝0，又f＝μN，联立可得F＝，可知，当θ减小时，F一直减小，A错误，B正确；摩擦力f＝μN＝μ(mg＋F sin θ)，可知，当θ、F减小时，f一直减小，C、D错误。 6．如图所示，一根轻绳跨过固定于斜面顶端的定滑轮后系在一质量较大的球上，球的大小不可忽略。在轻绳的另一端施加一个力F，使球沿斜面由图示位置缓慢上升至斜面顶端，各处的摩擦不计，在这个过程中拉力F (　　) A．逐渐增大 B．保持不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大 答案：A 解析：根据题意，在轻绳拉力T的作用下，球沿光滑斜面缓慢上升至斜面顶端，在此过程中，球受到轻绳的拉力T与竖直方向的夹角增大，受到斜面的支持力N方向一直垂直斜面向上，所受重力竖直向下且大小不变。根据共点力平衡条件及平行四边形定则可画出球的受力变化情况如图所示。由题图可知，开始时N与T的夹角大于90°，结合受力分析图可知，拉力T一直增大，则拉力F一直增大，A正确。 7．如图所示，清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G，悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为F2，则 (　　) A．F1＝ B．F2＝G tan α C．若缓慢减小悬绳的长度，F1与F2的合力变大 D．若缓慢减小悬绳的长度，F1减小，F2增大 答案：B 解析：以工人及其装备为研究对象，受到重力G、墙壁对工人的弹力F2和悬绳对工人的拉力F1，如图所示，根据共点力平衡条件，有F1＝，F2＝G tan α，A错误，B正确；若缓慢减小悬绳的长度，悬绳与竖直方向的夹角α变大，故F1与F2均增大，但F1与F2的合力始终与重力平衡，保持不变，C、D错误。 8．(多选)如图所示，一质量为m、半径为r的光滑球A用细绳悬挂于O点，另一质量为M、半径为R的半球形物体B被夹在竖直墙壁和A球之间，B的球心到O点之间的距离为h，A、B的球心在同一水平线上，A、B均处于静止状态。重力加速度为g。则下列说法正确的是 (　　) A．B对A的支持力大小为mg B．细绳对A的拉力大小为mg C．轻轻把B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则B对A的支持力大小保持不变，细绳拉力增大 D．轻轻把B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则B对A的支持力减小，细绳拉力减小 答案：ABD 解析：分析A球的受力情况，如图所示，将A所受的三个力mg、T、N首尾相接组成闭合矢量三角形，易知其与几何三角形OAB相似，根据三角形相似得＝＝，解得N＝mg，T＝mg，故A、B正确；轻轻把B向下移动一点距离，则h增大，可知N＝mg减小，T＝mg减小，故C错误，D正确。 9．如图所示，杆BC的B端用铰链连接在竖直墙上，另一端C为一滑轮。重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上的A点处，杆恰好平衡。若将绳的A端沿墙缓慢向下移(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则下列说法正确的是 (　　) A．绳的拉力增大，BC杆受到绳的压力增大 B．绳的拉力不变，BC杆受到绳的压力增大 C．绳的拉力不变，BC杆受到绳的压力减小 D．绳的拉力不变，BC杆受到绳的压力不变 答案：B 解析：绳通过滑轮连接到重物G上，属于“活结”模型，绳上各处张力处处相等且大小等于重物的重力G，故绳的拉力不随绳A端的下移而变化；根据平行四边形定则，两绳上拉力的合力在两绳夹角的角平分线上，由于A端沿墙下移，两拉力的夹角减小，故两拉力的合力增大，因此BC杆受到绳的压力增大，B正确。 10．(多选)将一个质量为m的铅球放在倾角为45°的光滑斜面上，并用光滑的竖直挡板挡住，铅球处于静止状态。重力加速度为g，关于挡板对铅球的支持力N1和斜面对铅球的支持力N2，下列说法中正确的是 (　　) A．N1和N2相等 B．N2大小为mg C．若逆时针缓慢转动竖直挡板直至水平，过程中N1的最小值为mg D．若逆时针缓慢转动竖直挡板直至水平，过程中N2先减小后增大 答案：BC 解析：对铅球进行受力分析，如图甲所示，根据平衡条件可得N1＝mg tan 45°＝mg，N2＝＝mg，故A错误，B正确；若逆时针缓慢转动竖直挡板直至水平，过程中铅球的受力如图乙所示，mg大小、方向都不变，N2方向不变，N1逆时针从水平向右转至竖直向上，可知N1先减小后增大，N2一直减小，当N1与N2垂直时，N1最小，为N1min＝mg sin 45°＝mg，故C正确，D错误。 11．(多选)如图所示，晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，绳子的质量及绳与挂钩间的摩擦均忽略不计，衣服处于静止状态。则 (　　) A．B端移到B1位置时，绳子张力不变 B．B端移到B2位置时，绳子张力变小 C．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大 D．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小 答案：AD 解析：挂钩相当于滑轮，则绳子各处的张力大小相等，由共点力的平衡条件和平行四边形定则可知，重力的反向延长线将绳子的夹角θ平分，如图所示。设绳子长度为L，两杆之间的距离为d，由几何关系可得sin ＝，则绳的张力T＝。B端上下移动时d和L不变，夹角θ不变，绳子张力不变，A正确，B错误；杆移到虚线位置时，d减小而L不变，夹角θ变小，绳子张力变小，C错误，D正确。 12．(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。轻绳OM、ON与竖直方向夹角分别为α＝60°、β＝30°。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是 (　　) A．F1逐渐增大 B．F2先增大再减小 C．F1与F2的水平分量大小相等 D．F1与F2的竖直分量大小相等 答案：AC 解析：解法一(解析法)：设小球质量为m，则其对结点O的拉力大小为mg，方向竖直向下，以结点O为研究对象，受到小球对其拉力mg及OM、ON的拉力F1、F2，小球始终保持静止状态，则三力平衡，所以mg、F1、F2可构成封闭的矢量三角形，由于F1和F2夹角为α＋β＝90°不变，则矢量三角形如图1所示，由几何关系可知，F1＝mg cos α，F2＝mg sin α，两绳同时缓慢顺时针转过45°的过程，α从60°减小到15°，则F1增大，F2减小，A正确，B错误；由图1可知，F1的水平分量F1x＝F1sin α＝mg cos αsin α，F2的水平分量F2x＝F2sin β＝mg sin αcos α，则二者大小始终相等，F1的竖直分量F1y＝F1cos α＝mg cos2α，F2的竖直分量F2y＝F2cosβ＝mg sin2α，则只有当α＝45°时，二者才相等，C正确，D错误。 解法二(图解法)：设小球质量为m，则其对结点O的拉力大小为mg，方向竖直向下，以结点O为研究对象，受到小球对其拉力mg及OM、ON的拉力F1、F2，小球始终保持静止状态，则三力平衡，所以mg、F1、F2可构成封闭的矢量三角形，由于小球重力不变，以及F1和F2夹角为α＋β＝90°不变，则矢量三角形动态图如图2所示，mg始终为矢量三角形外接圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°过程中，F1逐渐增大，F2逐渐减小，故A正确，B错误；由图2可知，F1的水平分量和F2的水平分量均是矢量三角形中垂直于直径mg的垂线段，大小始终相等，F1的竖直分量和F2的竖直分量之和为mg不变，矢量三角形沿外接圆变化时，F1的竖直分量增大，F2的竖直分量减小，仅当α＝β＝45°时，二者才相等，C正确，D错误。 [名师点拨]　图解法——动态圆法 (1)适用情境：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力方向、大小都在变，但它们的夹角不变。 (2)应用步骤 ①构造力的矢量三角形； ②画矢量三角形的外接圆，恒力对应弦长不变，其对应圆周角也不变； ③分析变力的变化情况。 注：当两个变力的夹角是90°时，恒力对应外接圆的直径。 15 学科网（北京）股份有限公司 $