专题09 反比例函数重难点题型汇编-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题09 反比例函数重难点题型汇编 【题型1：反比例函数的定义】................................................................................................1 【题型2：反比例函数性质】...................................................................................................1 【题型3：反比例函数的图像】..............................................................................................2 【题型4：反比例函数大小比较】............................................................................................4 【题型5：反比例函数与一次函数的大小比较】......................................................................5 【题型6：反比例函数与一次函数综合】.................................................................................6 【题型7：反比例函数应用】...................................................................................................10 【题型1：反比例函数的定义】 1．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．反比例函数的比例系数是（    ） A． B． C． D． 3．下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 4．已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 5．已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【题型2：反比例函数性质】 1．反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第四象限 D．第二、第三象限 2．对于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 3．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若，则值为（    ） A． B． C． D． 6．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型3：反比例函数的图像】 1．函数的图像大致是（   ） A．B．C．D． 2．反比例函数大致图像是（   ） A．B． C． D． 3．已知一次函数与反比例函数，则两个函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则函数和的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．在直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【题型4：反比例函数大小比较】 1．若点，在反比例函数图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知点在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 4．若点，，在反比例函数的图像上，则的关系是（   ） A． B． C． D． 5．点，，在反比例函数图象上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型5：反比例函数与一次函数的大小比较】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．如图，函数与的图象相交于点和点，当时的自变量的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型6：反比例函数与一次函数综合】 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 3．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连结和，求的面积． 5．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)求的面积； (3)点P在y轴上，且，请求出点P的坐标． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，与轴交于点，若，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是坐标轴上的一动点，是否存在，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型7：反比例函数应用】 1．某科技小组设计了一个简易太阳能热水器，水箱中水温上升量（单位：℃）随光照时间（单位：分钟）的变化而变化．已知水箱中水温上升量与光照时间是反比例函数关系，当光照时间为10分钟时，水温上升． (1)求关于的函数表达式； (2)如果光照时间为15分钟，求此时水温上升量． 2．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 3．如图是某种商品日销售量（件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． (1)求与之间的函数表达式； (2)求第50天的日销售量； (3)宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 4．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 5．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 6．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 7．如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 8．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升 (1)求线段和双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上点在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上点能否驾车去上班？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 反比例函数重难点题型汇编 【题型1：反比例函数的定义】................................................................................................1 【题型2：反比例函数性质】...................................................................................................3 【题型3：反比例函数的图像】..............................................................................................6 【题型4：反比例函数大小比较】............................................................................................9 【题型5：反比例函数与一次函数的大小比较】......................................................................12 【题型6：反比例函数与一次函数综合】.................................................................................15 【题型7：反比例函数应用】...................................................................................................28 【题型1：反比例函数的定义】 1．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数解析式：进行逐项分析，即可作答． 【详解】A、不是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项符合题意； C、不是反比例函数，故该选项不符合题意； D、不是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．反比例函数的比例系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解反比例函数解析式中k的值就是比例系数是解题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：反比例函数的比例系数是， 故选：． 3．下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直接将各点的横坐标代入反比例函数的解析式求出对应的纵坐标的值，再比较即可得出答案． 【详解】解：A．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； B．，则不在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； C．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； D．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数中解答即可． 【详解】解： 点和点都在反比例函数的图象上 ， 解得． 故选：D． 5．已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断点坐标是否在反比例函数图象上．根据反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于逐一分析即可． 【详解】解：∵反比例函数，即， A选项：，即A选项符合题意， B选项：，即B选项不符合题意， C选项：，即C选项不符合题意， D选项：，即D选项不符合题意， 故选：A． 【题型2：反比例函数性质】 1．反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第四象限 D．第二、第三象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象与的关系． 根据反比例函数（为常数，）的性质，当时，图象位于第一、第三象限；当时，图象位于第二、第四象限，据此判断． 【详解】解：反比例函数（为常数，）： 当时，函数的图象在第一、第三象限； 当时，函数的图象在第二、第四象限． 在反比例函数中，，所以该函数的图象位于第一、第三象限． 故选：A． 2．对于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故点不在该函数的图象上，不符合题意； B、由反比例函数可得该函数的图象分别位于第一、第三象限，不符合题意； C、当时，y随x的增大而减小，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，符合题意； 故选：D． 3．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决． 【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象， ∴它们的交点也关于原点对称， 由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为． 故选：C． 4．已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象位于第一、三象限，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由轴于点，，则有，再结合反比例函数的图象在第二象限即可求出的值，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵轴于点，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故选：． 6．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 【题型3：反比例函数的图像】 1．函数的图像大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 2．反比例函数大致图像是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像，根据“反比例函数中，当时，双曲线位于第一、三象限；当时，双曲线位于第二、四象限”解答即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，有， ∴反比例函数图像位于第二、四象限． 故选：B． 3．已知一次函数与反比例函数，则两个函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知反比例函数与一次函数的图象与比例系数的关系是解答此题的关键． 分类讨论：①当时，②当时，再根据一次函数与反比例函数的性质，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：①当时，一次函数的图象经过一、三、四象限，反比例函数的图象经过一、三象限，选项B符合； ②当时，一次函数的图象经过二、三、四象限，反比例函数的图象经过二、四象限，选项都不符合． 故选：B． 4．已知，则函数和的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握图象的形状和所在象限． 根据一次函数的性质和反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴函数的图象是在第二、四象限的双曲线， ∵，， ∴的图象是经过一、三、四象限的直线， 只有选项C符合要求． 故选： C． 5．如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据函数所在象限判断出，，，再利用取特殊值的方法得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，，， 结合图象可得，当时，有， 故， 故选：D． 6．在直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象，绝对值的化简，掌握反比例函数图象是解决问题的关键．需分和两种情况进行讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时， 函数解析式化简为：， ，故取其在第一象限的图象； 当时， 函数解析式化简为：， ，故取其在第二象限的图象． 故选：B． 【题型4：反比例函数大小比较】 1．若点，在反比例函数图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质判断函数的增减性，熟练掌握概念是解题的关键． 先根据反比例函数的性质，判断函数的增减性，再根据点、的横坐标的大小关系，进而判断与的大小关系． 【详解】解：在反比例函数中，， 所以该函数的图象在第二、四象限， 且在每一象限内随的增大而增大． 已知点的横坐标，点的横坐标， 因为函数的图象在第二、四象限， 且第二象限的点横坐标小于，第四象限的点横坐标大于， 所以点，都在第四象限． 因为点、都在第四象限， 且在第四象限内随的增大而增大， 又因为，即，所以． 故选：A． 2．已知点在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据可知反比例函数图象分布在第一，第三象限，结合，可知点在第三象限，点在第一象限，进而可得出． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数图象分布在第一，第三象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴， 故选：C． 3．已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 4．若点，，在反比例函数的图像上，则的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，分别将点A、B、C的纵坐标代入反比例函数中，得到结果，再比较即可得出结论． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图像上， ∴，，， ∵， ∴． 故选：C． 5．点，，在反比例函数图象上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据反比例函数的解析式，确定其增减性，再分象限，分别比较相关函数值的大小，再得出结论． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵点，，在反比例函数图象上， ∴，在第二象限，在第四象限， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 【题型5：反比例函数与一次函数的大小比较】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，满足不等式的的取值范围是或， 故选：． 2．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键． 根据两函数的图象交点利用数形结合直接进行解答． 【详解】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴当时，的取值范围是或． 故选：B 3．如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点，利用函数图象表示的意义即可解不等式，表示一次函数的图象在反比例函数图象的下方，数形结合即可得到x的范围． 【详解】解：表示一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 由图可知，或， 故选：B． 4．如图，函数与的图象相交于点和点，当时的自变量的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据函数与的图象相交于点和点，得，运用数形结合思想进行作答即可． 【详解】解：∵函数与的图象相交于点和点， ∴点与点关于原点对称， 即， 观察函数图象，得当时，则或， 故选：D． 【题型6：反比例函数与一次函数综合】 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查反比例函数图象和一次函数图象的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）图象法求出解集即可； （3）点在轴上，设，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴，， 把，代入，得： ，解得， ∴； （2）∵， ∴， 由图象可知，或； （3）∵， ∴当时，，当 ∴直线与轴的交点坐标为， ∵， ∴， ∵点在轴上，设， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了观察函数图象的能力． （1）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由题意可知代入反比例函数解析式即可求得B的坐标，然后把点A，B的坐标代入求得k，b的值，即可求得一次函数的解析式； （2）根据图象找出在x轴下方且在的上方的图象对应的x的范围． 【详解】（1）解：把点代入得：， ， 把点代入得：， 解得：， ， 把点，代入得：， 解得：， （2）解：当时：解得：， 不等式的解集：． 3．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)12 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴一次函数表达式为． ∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 解方程组得， 经检验均是方程组的解， ∴， ∴． （3）解：设，连接并延长交y轴于点N， ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连结和，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，根据函数图象的交点求的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得： 当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 5．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)求的面积； (3)点P在y轴上，且，请求出点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)6 (3)或． 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）联立一次函数和反比例函数，即可求出A，B两点的坐标； （2）先求出点C、点D的坐标，再求出，，，即可求出的面积； （3）设，根据，得到，求出的值，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点， 联立，整理得 解得：，， 当时，；当时，， ，； （2）解：令，则；令，则，解得：， ，， ， ，，， ； （3）解：点P在y轴上， 设， ， ， ， 解得：， 点P的坐标为或． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，与轴交于点，若，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是坐标轴上的一动点，是否存在，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点坐标为或或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，涉及角直角三角形的性质，勾股定理等知识点． （1）过点作轴于点，先根据角直角三角形性质和勾股定理求出，再由待定系数法求解反比例函数和一次函数解析式； （2）先求出的面积，即可得到的面积，再分两种情况讨论，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ，， ， ∴， 点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的表达式为； 把分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：在坐标轴上存在点使的面积是的面积的2倍． 如图，对于，当时，， 解得，即点坐标． 的面积， 的面积的面积． 分两种情况：①当点在轴上，设点坐标为， 根据题意得， 解得， 此时点坐标为或； ②当点在轴上，设点坐标为，根据题意得， 解得， 此时点坐标为或； 综上，符合条件的点坐标为或或或 7．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，四边形为菱形时，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，两点之间距离公式，菱形的性质等知识点，难度较大． （1）先根据正比例函数解析式求出点A的坐标为，再将其代入，即可求解； （2）先求出直线，则，联立反比例函数解析式得到，过点分别作轴的垂线，垂足为，，则，再代入数据求解即可； （3）设，则，，，由于四边形为菱形，则为等腰三角形，再分三种情况讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得将代入，则， 解得， ∴点A的坐标为， 再将代入，则； （2）解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，， ∴ 设直线， 则， ∴， ∴直线， 则当时， ∴， ∴， 联立 整理得：， ， 解得：， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ∵四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ∴当时，则 解得：（舍）； 当时， 解得：或 ∴或； 当时，， 该方程无解， 综上：存在，四边形为菱形时，或． 【题型7：反比例函数应用】 1．某科技小组设计了一个简易太阳能热水器，水箱中水温上升量（单位：℃）随光照时间（单位：分钟）的变化而变化．已知水箱中水温上升量与光照时间是反比例函数关系，当光照时间为10分钟时，水温上升． (1)求关于的函数表达式； (2)如果光照时间为15分钟，求此时水温上升量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，求出函数解析式． （1）设关于的函数表达式为，由待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， ∵光照时间为10分钟时，水温上升， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，则， ∴此时水温上升量为． 2．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 3．如图是某种商品日销售量（件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． (1)求与之间的函数表达式； (2)求第50天的日销售量； (3)宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 【答案】(1) (2)72件 (3)宣传小组能拿到合同约定的提成 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用． （1）当时，设，当时，设（k为常数，且），再利用待定系数法求解即可． （2）把代入，再计算即可． （3）把代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 函数图象经过点， ， 即； ， 当时，设（k为常数，且），将坐标代入， 得， 解得， ， 与之间的函数表达式为． （2）解：当时，（件）； （3）解：对于，当时，， 解得， 对于，当时，， 解得：（天）， ∴， ， ∴宣传小组能拿到合同约定的提成． 4．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 (2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【详解】（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 5．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 【答案】(1)小时 (2) (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用，求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）段满足温度为； （2）把代入，即可求解； （3）先用待定系数法求出的解析式，再根据解析式计算出，段时对应的x的值，即可求解． 【详解】（1）解：恒温系统在这天保持大棚内温度的时间为：（小时）； （2）解：把代入中得： ； （3）解：记0时对应的点为点D，设的解析式为： 把，代入中得： ， 解得， 的解析式为：， 当时，， （小时）． 答：恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时． 6．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 7．如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)减少，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据表格中变量的变化规律写出y与x之间的函数表达式，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． （1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）当时，求出对应x的值即可； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 与x之间的函数表达式为 故答案为：； （2）解：当时，得， 解得， 当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为； （3）解：托盘中应减少砝码．理由如下： ，， 随x的增大而减小， 当托盘B向右移动时x增大， 托盘中的砝码质量y应该减小， 托盘中应减少砝码． 8．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升 (1)求线段和双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上点在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上点能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)第二天早上能驾车去上班，理由见解析． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设线段的函数表达式为，再把代入，求出，当时求出点，然后把点代入即可求解； （）由得：当时，，然后比较即可． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， 依题意，线段过点， 把代入， 解得，， ∴； 当时，，即； 设双曲线的函数表达式为， 将点代入得：， ∴； （2）解：第二天早上能驾车去上班，理由如下： 由得：当时，， 从时到第二天早上点时间间距为小时， ∵， ∴ 第二天早上能驾车去上班． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $