椭圆单元练习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆单元练习题 一、单选题 1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆的一个焦点，则（　　） A． B． C．2 D．3 3．已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 5．若椭圆的离心率为，则k的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 6．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为 二、多选题 9．已知椭圆：，下列选项正确的是（   ） A．当时，的焦点在轴上 B．的长轴长为 C．的短轴长与长轴长的平方和为定值 D．当时，的焦点在轴上 10．椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（    ） A．椭圆离心率为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．若，则的最大值为 11．已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最小值为 三、填空题 12．已知、分别是椭圆的左、右焦点.点是椭圆上一点，且，则的内切圆半径 . 13．点在曲线上运动，则的最大值为 14．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 四、解答题 15．如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：是定值； (3)求三角形的周长． 16．已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且．直线：交椭圆于M，N两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求的值； 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 18．已知椭圆 过点 ，A、B分别是椭圆C的左、右顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知D是线段AB上一点（异于A、B），过点D的直线l与椭圆C交于M、N两点（异于A、B），直线BM、BN分别交直线x=3 于E、F两点. （i）若MN的中点为 求l的方程； （ii）是否存在点D，使得 为定值?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 19．已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，动点在直线上，直线与椭圆的另一个交点分别为､. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆单元练习题答案 一、单选题 1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】椭圆方程， 上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 故选：D. 2．已知是椭圆的一个焦点，则（　　） A． B． C．2 D．3 【详解】，， 是焦点，，且焦点在轴上， ， ，，. 故选：A. 3．已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 4．已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 5．若椭圆的离心率为，则k的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 【详解】当即时，离心率，解得符合题意，. 当即时，离心率，解得，符合题意. 综上，k的值是4或. 故选：C 6．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题设， 可得，又为上顶点，则， 故， 所以，则，故标准方程为. 故选：A. 7．设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 8．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为 【详解】对选项A，由椭圆的方程可得，所以， 所以，故A错误； 对选项B，设，则，所以， 由题意得， 所以，故B错误； 对选项C，因为椭圆， 可得，，所以，因为，所以， 所以，所以为直径的圆与椭圆无交点， 故不存在点满足，故C错误； 对选项D，，则， 则，解得，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．已知椭圆：，下列选项正确的是（   ） A．当时，的焦点在轴上 B．的长轴长为 C．的短轴长与长轴长的平方和为定值 D．当时，的焦点在轴上 【详解】对于A，时，，的焦点在轴上，故A正确； 对于B，若，则椭圆焦点在轴上， ，长轴长为：，B错误； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，椭圆的焦点在轴上的充分必要条件是，解得， 所以当时得不出椭圆的焦点在轴上，故D错误； 故选：AC． 10．椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（    ） A．椭圆离心率为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．若，则的最大值为 【详解】对于A，由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆离心率，A错误； 对于B，设，则， 当为椭圆短轴端点时，面积取得最大值，B正确； 对于C，由椭圆定义知：， ； ，， 当时，；当或时，； 的取值范围为，C正确； 对于D，由椭圆定义知：， （当且仅当三点共线时取等号，即位于图中处时取等号），    又，，即的最大值为，D错误. 故选：BC. 11．已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最小值为 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆有交点， 所以假设成立，即存在点使得，故A正确； 对于B：的周长为，故B错误； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知、分别是椭圆的左、右焦点.点是椭圆上一点，且，则的内切圆半径 . 【详解】由可得, 则，， 所以在中，， ， 解得， 所以的面积， 且的周长. 由，得的内切圆半径. 故答案为：. 13．点在曲线上运动，则的最大值为 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 故答案为： 14．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 四、解答题 15．如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：是定值； (3)求三角形的周长． 【详解】（1）由题设，椭圆的半焦距为且焦点在轴上，故且， 故，故椭圆方程为. （2）    如图，延长交椭圆于，由对称性可得. 因为直线与直线平行，故直线的斜率不为零， 设，直线，则， 则. 由可得， 故，，， 故， 故. （3）因为，所以， 即，即． 所以． 由点在椭圆上知，，所以． 同理可得，． 所以 ． 而，故三角形的周长为. 16．已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且．直线：交椭圆于M，N两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求的值； 【详解】（1）由题意知，则， 所以，即， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为；    （2）直线，， 由，得， 则，所以， 因为椭圆的左，右顶点分别为，所以， 所以. 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 【详解】（1）已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 18．已知椭圆 过点 ，A、B分别是椭圆C的左、右顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知D是线段AB上一点（异于A、B），过点D的直线l与椭圆C交于M、N两点（异于A、B），直线BM、BN分别交直线x=3 于E、F两点. （i）若MN的中点为 求l的方程； （ii）是否存在点D，使得 为定值?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设、，， 若的中点为，则，. 又，两式相减可得， 即， 所以，所以，故的斜率为. 因为点在上，所以的方程为，即； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线， 由得，    即， 则，得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，, 令可得，即点， 同理可得点，， 则，， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍去）时，， 故当或时，为定值. 19．已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，动点在直线上，直线与椭圆的另一个交点分别为､. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可得，，，得，， 则椭圆的标准方程为； （2）（i）因为在上，则设点，， 因为，所以， 联立，得， 则，即，则， 所以， ，同理可得， 所以直线的斜率的倒数为， 所以，化简得， 所以直线点； （ii）由（i）可得，， 设， 则， ， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则， 则面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $