精品解析：贵州省贵阳市第二十一中教育集团2025-2026学年上学期10月阶段质量监测九年级数学试题

贵阳市第二十一中教育集团2025年10月阶段质量监测九年级数学学科 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，最小的实数的是（   ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：B． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A ． 3. 2025年国庆假期期间，贵州省接待游客总量达4860万人次，实现旅游综合收入352亿元．若将游客总量用科学记数法表示，正确的是（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将游客总量4860万人用科学记数法表示为人． 故选：B． 4. 在2025年9月3日纪念抗战胜利阅兵的女兵徒步方队中，为保证队形整齐，队员身高经过严格筛选．女兵分队员的身高（单位：）数据如下：168，169，168，170，169，168，167，169，168．则这组数据的众数是（ ） A. 167 B. 168 C. 169 D. 170 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查众数．由题意直接根据众数的概念即出现次数最多的数据进行分析求解可得． 【详解】解：在这9个数据中，数据168出现次数4次，次数最多， 所以这组数据的众数为168． 故选：B． 5. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：D． 6. 下面的数轴表示的不等式是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据数轴即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：数轴表示的不等式是， 故选：． 7. 将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．先根据平行线的性质得出，再求出，则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 9. 在中，对角线、交于点O，若，，，的周长为（　　） A. 13 B. 16 C. 18 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出，的长，即可得出的周长． 【详解】解：∵的两条对角线交于点O，，，， ∴，，， ∴的周长为：． 故选：A． 10. 将多项式进行配方，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把多项式加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 11. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. 24度 B. 25度 C. 40度 D. 65度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键； 先根据菱形的性质得，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 12. 如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，连接BE， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°， ∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°． ∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处， ∴∠BEF=∠DEF=60°． ∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°． 在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2． ∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8． ∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16． 故选D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得． 14. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程无解得到，代入求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是_____ ． 【答案】 18 【解析】 【分析】易得垂直平分，进而推出的周长为的长，再根据平行四边形的周长公式进行求解即可. 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线，交于点O， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴平行四边形的周长. 16. 如图，在中，，，是边上的任意一点，连接，是上一点，连接，使得，连接，则的最小值是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，取中点，连接、，由得到，即可得到，最后根据求解即可． 【详解】解：取中点，连接、，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵中，当在上时，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共9个题，共98分） 17. 解方程：（1）； （2）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第一步 第二步 ．第三步 ①小丽的化简过程从第__________步开始出现错误，出错的原因是__________； ②请对原式进行化简，并求当，时原式的值． 【答案】（1），；（2）①二，去括号后符号错误；②， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算． （1）利用配方法解一元二次方程即可求出答案； （2）①根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案； ②先对原式化简，再代入求值即可． 【详解】解：（1）整理得， 配方得，即， 开方得， ∴，； （4）①第二步有错误，原因是去括号后符号错误， 故答案为：二，去括号后符号错误； ② ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 19. 2025年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_______； （2）求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数； （3）通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校3000人参与调查的每天手机使用平均时长为2小时以下（包含2小时）的人数约为多少人？ 【答案】（1）40，15 （2） （3）约为1125人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据每天使用手机为2小时的人数除以其所占的百分比求出调查总人数；根据每天使用手机为4小时的人数除以调查的总人数即可得的值； （2）利用乘以每天使用手机为4小时的人数所占的百分比即可得； （3）根据样本估计总体即可得． 【小问1详解】 解：参加这次调查的学生人数为（人）， 则， 所以， 故答案为：40，15； 【小问2详解】 解：， 即参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：学校3000人参与调查的每天手机使用平均时长为2小时以下（包含2小时）的人数约为1125人． 20. 市场调研：某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一：《哪吒2》票房大卖以后，商场从厂家购进哪吒、敖丙图案的两款书包，其中哪吒图案书包6个，敖丙图案书包5个，共付款650元，已知每个敖丙图案书包的进价比每个哪吒图案书包贵20元． 信息二：商场将哪吒图案书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个哪吒图案书包仍可获利． 问题解决： （1）请利用方程的知识，求每个哪吒和敖丙图案书包的进价分别为多少元？ （2）在信息二中，哪吒图案书包实际销售时打多少折出售？ 【答案】（1）每个哪吒图案书包的进价为50元，每个敖丙图案书包的进价为70元 （2）哪吒图案书包实际销售时打8折出售 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个哪吒图案书包的进价为元，则每个敖丙图案书包的进价为元，根据哪吒图案书包6个，敖丙图案书包5个，共付款650元建立方程求解即可； （2）先求出每个哪吒图案书包的标价，每个哪吒图案书包实际售价，再设打折出售，由标价乘以折扣等于售价即可建立方程求解折扣． 【小问1详解】 解：设每个哪吒图案书包的进价为元， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 答：每个哪吒图案书包的进价为50元，每个敖丙图案书包的进价为70元； 【小问2详解】 解：每个哪吒图案书包的标价为：（元）， 每个哪吒图案书包实际售价为：（元）， 设打折出售，由题意得：， 解得：， 答：哪吒图案书包实际销售时打8折出售． 21. 如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点A、B作，，和交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线和交于点O， ∴， ∴四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，求得，利用直角三角形的性质求得，，据此计算即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴． 22. 已知关于方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是方程的两个根，是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的值为1． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立．也考查了根的判别式． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，利用得到，再整体代入求解即可确定的值． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得； 【小问2详解】 解：存在． 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴的值为1． 23. 如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点， 作于点，于点 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若，，求的面积． 【答案】（1） 选甲方案， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是对角线的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故甲方案正确； 选乙方案， 证明：于点，于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故乙方案正确； （2）32 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，，推导出，则，所以，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积是32． 24. “骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌的每个头盔应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，找出等量关系列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，找出等量关系列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个应涨价元． 由题意，得， 整理得， 解得，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌的每个头盔应涨价5元． 25. 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要利用旋转和全等三角形的性质来解决线段之间的数量关系，通过旋转将分散的角和线段转换为可以利用全等三角形性质的图形，从而找到线段之间的关系． （1）根据旋转的性质，绕点D逆时针旋转得到，因此．由于，旋转后也等于，根据全等条件，，从而得出． （2）在上取一点G，使得，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，设，根据勾股定理再中解方程得出 （3）在上截图，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，根据线段关系得出的周长为． 【详解】解：（1），理由如下： ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）如图 在上取一点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上截取， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第二十一中教育集团2025年10月阶段质量监测九年级数学学科 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，最小的实数的是（   ） A. 0 B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年国庆假期期间，贵州省接待游客总量达4860万人次，实现旅游综合收入352亿元．若将游客总量用科学记数法表示，正确的是（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 4. 在2025年9月3日纪念抗战胜利阅兵的女兵徒步方队中，为保证队形整齐，队员身高经过严格筛选．女兵分队员的身高（单位：）数据如下：168，169，168，170，169，168，167，169，168．则这组数据的众数是（ ） A. 167 B. 168 C. 169 D. 170 5. 的值是（ ） A. B. C. D. 6. 下面的数轴表示的不等式是（ ） A. B. C. D. 或 7. 将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 9. 在中，对角线、交于点O，若，，，的周长为（　　） A. 13 B. 16 C. 18 D. 21 10. 将多项式进行配方，正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. 24度 B. 25度 C. 40度 D. 65度 12. 如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 12 D. 16 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 14. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为_________． 15. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是_____ ． 16. 如图，在中，，，是边上的任意一点，连接，是上一点，连接，使得，连接，则的最小值是_______________． 三、解答题（共9个题，共98分） 17. 解方程：（1）； （2）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第一步 第二步 ．第三步 ①小丽的化简过程从第__________步开始出现错误，出错的原因是__________； ②请对原式进行化简，并求当，时原式的值． 18. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 19. 2025年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_______； （2）求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数； （3）通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校3000人参与调查的每天手机使用平均时长为2小时以下（包含2小时）的人数约为多少人？ 20. 市场调研：某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一：《哪吒2》票房大卖以后，商场从厂家购进哪吒、敖丙图案的两款书包，其中哪吒图案书包6个，敖丙图案书包5个，共付款650元，已知每个敖丙图案书包的进价比每个哪吒图案书包贵20元． 信息二：商场将哪吒图案书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个哪吒图案书包仍可获利． 问题解决： （1）请利用方程的知识，求每个哪吒和敖丙图案书包的进价分别为多少元？ （2）在信息二中，哪吒图案书包实际销售时打多少折出售？ 21. 如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点A、B作，，和交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的值． 22. 已知关于方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是方程的两个根，是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点， 作于点，于点 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若，，求的面积． 24. “骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ 25. 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $