【单元易错九04】 图形的相似章末复习易错提分50题（专项训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似章末复习易错提分50题 【易错核心要点归纳】 1. 相似概念混淆 易错点：将“相似”等同于“全等”，忽略比例关系。 注 意：相似图形只需对应角相等、对应边成比例（形状相同，大小可不同）。 2. 相似判定条件运用错误 易错点： 用“SSA”（两边及非夹角）错误判定相似； 忽略“夹角相等”对SAS相似判定的必注 意：误用AAA判定非三角形图形（如四边形）。 特 别：只认准三大判定：AA（两角相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、三边成比例。 3. 比例线段计算失误 易错点： 在平行线分线段成比例中，错配线段顺序（如混淆AD:DB与AE:EC）；解比例方程时未交叉相乘验证。 注 意：画出比例关系图，标注已知量再列式。 4. 位似图形的理解偏差 易错点：认为位似图形一定相似，但忽略位似中心的位置要求（同侧/异侧）。 注 意：位似是特殊的相似，需满足对应点连线交于一点（位似中心），且比例系数k可正可负。 【备考策略】 ▶ 基础巩固阶段 1.梳理知识框架：手绘思维导图，明确四大模块：相似定义 → 判定定理 → 性质（比例线段、面积比） → 位似变换。 2.重做课本经典例题：重点练习：课本P89例2（判定）、P97例3（比例线段）、P105位似作图。 ▶ 错题突破阶段 1.建立专属错题本：分类记录：判定错误类、比例计算类、坐标位似类，每题标注错因（如“忽略夹角相等”）。 2.针对性训练：练判定：选择一组角或边不满足条件的反例图形：练比例：用设k法简化计算（如设比值为k表示边长）。 ▶ 综合强化阶段 1.专题攻克难点：动态相似问题：固定一个对应角，分类讨论边比例关系（如旋转三角形）； 坐标系中的位似：牢记变换公式：若位似比为k，则新坐标(x,y) → (kx, ky)（同侧）或(-kx, -ky)（异侧）。 2.真题模拟实战：限时完针对练习题题，重点训练相似与函数、几何的综合题。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．下列四条线段中，成比例线段的是（    ） A． B． C．，，， D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据成比例线段的概念，对选项一一分析，排除错误答案．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 【详解】解：A、∵， ∴四条线段不成比例； B、∵， ∴四条线段成比例； C、∵， ∴四条线段不成比例； D、∵， ∴四条线段不成比例； 故选：B． 2．若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题关键是掌握比例的基本性质并能运用求解． 根据比例的基本性质，对四个式子逐一分析，再作出判断即可． 【详解】解：， ，故A错误，B正确； ， ， ，故C错误， ，故D错误， 故选：B． 3．若则的值是（   ） A．3 B．6 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，关键是得到，． 根据，可得，，再代入约分即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故选：A． 4．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 5．如图，小明准备制作一个木头相框用来摆放相片，相框外框的长为，宽为，若图中b的长度为，为了保证美观，需使相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似，则图中a的长度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的性质．根据相似图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似， ∴， 解得：， 即图中a的长度应为． 故选：D． 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求值即可． 【详解】解：直线， ， ∵，，， ， ． 故选：B． 7．如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与位似比为，与相似，相似比为， ∴， 故选：C． 8．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据可得，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 9．如图，添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：由题意得，， A、添加条件，结合条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合条件，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合条件，不可以证明与相似，故此选项符合题意； 故选：D． 10．已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 故选：C． 11．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似， ∴矩形矩形， ∵矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故选：D． 12．如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：A、由知，且， 可判断和相似，故选项A不符合题意； B、 ，且， 可判断和相似，故选项B不符合题意； C、 ，且， 可判断和相似，故选项C不符合题意； D、由，，无法判断和相似，故选项D符合题意； 故选：D． 13．如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 14．如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 15．如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 16．如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形，可知，，然后根据平行线分线段成比例，可知，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，即， ， 故选：C． 17．如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可． 【详解】解：∵，， ∴，∴①可以； ∵，， ∴，∴②可以； ∵已知，但是夹角和不知道相等， ∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以； ∵， ∴， ∵， ∴，∴④可以； 故选：C． 18．如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 19．如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 由题意可得：是的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角对等边得出，再证明得成比例的线段即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ， 由题意可得：是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 20．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质，由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，，进而可得，则．由平行线分线段成比例可得；从而得，又可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴ ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴,故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题【共20小题】 21．已知：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入到所求式子的分子中即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 22．如图，若，且，，．则 ． 【答案】 【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∵， ， ， ． 故答案为：． 23．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆CD的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线上，则旗杆的高度为 ． 【答案】13.5 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，从而得出的长即可． 【详解】解：过点E作于点H，交于点G，则四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 经检验，是上述分式方程的解， ∴， 答：旗杆的高为． 24．如图，交于面积一定相等的两个三角形是 ． 【答案】S△ABC＝S△DBC，S△ADB＝S△ADC，S△AOB＝S△DOC 【分析】利用等高模型解决问题即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴S△ABC＝S△DBC，S△ADB＝S△ADC， ∴S△AOB＝S△DOC， 故答案为：S△ABC＝S△DBC，S△ADB＝S△ADC，S△AOB＝S△DOC． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 25．小孔成像的原理，是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 26．如图，在边长为1的正方形网格中，四边形的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．连接、相交于点，那么的面积等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，用到相似三角形的性质及判定，中线平分三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 取格点E，则，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，则， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为： 27．如图，中，点D、E分别是、的中点，连接、交于点O，连接并延长交于点F，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，解题关键是掌握三角形的三条中线交于一点，即为重心．根据重心的性质求解即可． 【详解】解：点D、E分别是、的中点， 、是的中线， 为的重心， 是的中线， ，即， 故答案为：． 28．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合，若长方形的长BC为16cm，宽AB为8cm，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设BF=x，则FC=16﹣x，在Rt△ABF中利用勾股定理求出x的值，由折叠，可得AE=AF=CF，过G点作于M，由面积求出，进而可得出△AEF的面积． 【详解】解：设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴. 过F点作于H， ∵折叠， ∴∠AFE=∠CFE， ∵AD∥BC， ∴∠AFE=∠AEF， ∴AE=AF=CF， 则ED=AD-AE=16-10=6 过G点作于M， 则， ，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质，轴对称性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，掌握矩形性质，轴对称性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，解题关键是利用勾股定理，构造方程． 29．如图，在△ABC中，，，，，，则CE的长为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】∵，， ∴， 即， 解得：CE=， 故答案是： 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，掌握面积公式，是解题的关键． 30．如图，在中，高，交于点．若，则 度． 【答案】75 【分析】根据同角的余角相等即可得到结果. 【详解】解：∵在中，高，交于点． ∴∠CAD+∠C=90°，∠OAE+∠AOE=90°. ∴∠AOE=∠C=75°. 故答案为：75. 【点睛】本题考查了三角形的高的性质和互余的性质，掌握相关知识是解题的关键. 31．如图，在平行四边形中，交于点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质得到，可得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 32．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．将一条线段分割成长短两条线段、（），若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即，这一比值等于，则称这种分割叫黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：点D都是线段的黄金分割点， ． 故答案为：． 33．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形相似及相似比即可得出结果． 【详解】点的坐标为，点的坐标为， 与关于原点的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 34．2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 35．如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为 ． 【答案】15 【分析】此题主要考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，首先利用矩形性质可以证明，，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，矩形护栏中，， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 36．如图，在中，是边上的一点，若则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟记相似三角形中对应线段成比例是解决问题的关键．由得到相似比，将已知线段长度代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ，解得， 故答案为：． 37．如图，小颖正在使用手电筒进行物理光学实验，墙和手电筒位于平面镜的两侧，手电筒的灯泡位于点D处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，灯泡到墙的水平距离，灯泡到平面镜的水平距离．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D，E在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 38．如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和16，则的面积是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 设三个小三角形的顶点分别为、、、、、，先由可判定；再根据的面积，可得这三个三角形的相似比；然后判定四边形与四边形均为平行四边形，利用平行四边形的性质得；设，用表示出的长，进而得与的相似比，最后根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：， ， ， ∵（图中阴影部分）的面积分别是 1，4 和 16 ， ∴它们的边长比为， ∵， ∴四边形与四边形均为平行四边形， ， 设， 则， ， ， ， 故答案为：49． 39．如图，点D为边上任一点，交于点E，连结相交于点F，给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：∵， ∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故①符合题意； ∴，，故②符合题意，③不符合题意； ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④． 40．如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点，），连接，是边上一点，设，若存在唯一的点，使，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键．设，则，由，则，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，转化为一元二次方程，利用判别式等于0，构建方程解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 由题意， ， ． 故答案为：． 三、解答题【共10小题】 41．如图，在中，，点在上，于点．，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质. 先证明，利用相似比得，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ，，， ， 即. 故答案为：． 42．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 43．如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【答案】；理由见解析（或；理由见解析） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 44．如图，已知、分别为、上的两点，，，，． (1)求证：． (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和平行线的判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题先证明，然后求证，然后再根据平行线的判定和三角形的性质，即可证明； （2）根据，可得，然后即可求解； 【详解】（1）证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 45．如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 46．如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 47．如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 48．已知：如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是利用相似三角形对边相等的性质． （1）根据菱形的对边平行，可得出，结合即可证明两三角形相似； （2）根据（1）的结论可得出，进而代入可得出． 【详解】（1）证明：在菱形中， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ 49．已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)把绕点O逆时针方向旋转得到，请在坐标系中作出； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； (3)直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点O逆时针方向旋转得到即可； （2）按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，把绕点O逆时针方向旋转得到，即为所求； （2）如图，在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； （3）的面积为． 50．【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，跨学科物理学知识，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； （2）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示：    ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示：    ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的相似章末复习易错提分50题 【易错核心要点归纳】 1. 相似概念混淆 易错点：将“相似”等同于“全等”，忽略比例关系。 注 意：相似图形只需对应角相等、对应边成比例（形状相同，大小可不同）。 2. 相似判定条件运用错误 易错点： 用“SSA”（两边及非夹角）错误判定相似； 忽略“夹角相等”对SAS相似判定的必注 意：误用AAA判定非三角形图形（如四边形）。 特 别：只认准三大判定：AA（两角相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、三边成比例。 3. 比例线段计算失误 易错点： 在平行线分线段成比例中，错配线段顺序（如混淆AD:DB与AE:EC）；解比例方程时未交叉相乘验证。 注 意：画出比例关系图，标注已知量再列式。 4. 位似图形的理解偏差 易错点：认为位似图形一定相似，但忽略位似中心的位置要求（同侧/异侧）。 注 意：位似是特殊的相似，需满足对应点连线交于一点（位似中心），且比例系数k可正可负。 【备考策略】 ▶ 基础巩固阶段 1.梳理知识框架：手绘思维导图，明确四大模块：相似定义 → 判定定理 → 性质（比例线段、面积比） → 位似变换。 2.重做课本经典例题：重点练习：课本P89例2（判定）、P97例3（比例线段）、P105位似作图。 ▶ 错题突破阶段 1.建立专属错题本：分类记录：判定错误类、比例计算类、坐标位似类，每题标注错因（如“忽略夹角相等”）。 2.针对性训练：练判定：选择一组角或边不满足条件的反例图形：练比例：用设k法简化计算（如设比值为k表示边长）。 ▶ 综合强化阶段 1.专题攻克难点：动态相似问题：固定一个对应角，分类讨论边比例关系（如旋转三角形）； 坐标系中的位似：牢记变换公式：若位似比为k，则新坐标(x,y) → (kx, ky)（同侧）或(-kx, -ky)（异侧）。 2.真题模拟实战：限时完针对练习题题，重点训练相似与函数、几何的综合题。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．下列四条线段中，成比例线段的是（    ） A． B． C．，，， D． 2．若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若则的值是（   ） A．3 B．6 C．15 D．18 4．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，小明准备制作一个木头相框用来摆放相片，相框外框的长为，宽为，若图中b的长度为，为了保证美观，需使相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似，则图中a的长度应为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 7．如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 10．已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 12．如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 13．如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 14．如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A． B． C． D． 15．如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 16．如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 17．如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 19．如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 20．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题【共20小题】 21．已知：，若，则 ． 22．如图，若，且，，．则 ． 23．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆CD的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线上，则旗杆的高度为 ． 24．如图，交于面积一定相等的两个三角形是 ． 25．小孔成像的原理，是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 26．如图，在边长为1的正方形网格中，四边形的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．连接、相交于点，那么的面积等于 ． 27．如图，中，点D、E分别是、的中点，连接、交于点O，连接并延长交于点F，则的值为 ． 28．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合，若长方形的长BC为16cm，宽AB为8cm，则的面积为 ． 29．如图，在△ABC中，，，，，，则CE的长为 ． 30．如图，在中，高，交于点．若，则 度． 31．如图，在平行四边形中，交于点，那么的值是 ． 32．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果精确到） 33．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 34．2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 35．如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为 ． 36．如图，在中，是边上的一点，若则的长为 ． 37．如图，小颖正在使用手电筒进行物理光学实验，墙和手电筒位于平面镜的两侧，手电筒的灯泡位于点D处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，灯泡到墙的水平距离，灯泡到平面镜的水平距离．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D，E在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 38．如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和16，则的面积是 ． 39．如图，点D为边上任一点，交于点E，连结相交于点F，给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 40．如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点，），连接，是边上一点，设，若存在唯一的点，使，则的值是 ． 三、解答题【共10小题】 41．如图，在中，，点在上，于点．，且，求的长． 42．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 43．如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    44．如图，已知、分别为、上的两点，，，，． (1)求证：． (2)当时，求的长． 45．如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 46．如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 47．如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 48．已知：如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 49．已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)把绕点O逆时针方向旋转得到，请在坐标系中作出； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； (3)直接写出的面积． 50．【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $