专题09 相似三角形基本模型之一线三等角模型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题09 相似三角形基本模型之一线三等角模型 【基本模型】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 例1．（基本模型1）某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 例2．（基本模型2）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 例3.（构造K模型）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 例4．（构造一线三等角模型）如图，，是边上一点，，则，，故． (1)如图，是上一点，，则图中另一组等角是______； (2)如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； (3)平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． 例5．（坐标系中K模型）如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标为、、，点是线段的一动点，它以每秒1个单位速度从点向点运动，连接过点作的垂线交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点到达的中点时，________； (2)请用的代数式表示的长度，并求出为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知点在直线上，为轴上一点且于点，请直接写出满足此条件的点坐标． 1．如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点与坐标原点关于直线对称．将沿轴向右平移，当线段扫过的面积为20时，此时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为 ． 4.如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG． （1）求证：△ABE∽△EGF； （2）若EC＝2，求△CEF的面积； （3）当△CEF的面积最大时，求EC． 5．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上． （1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长 （2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时， ①求证：EF＝EG； ②求AF的长． （3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG＝10时，求AF的长． 6．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 7．【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 8.如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F． （1）求证：EA·ED＝AB·DF； （2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当＝时，求； （3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 相似三角形基本模型之一线三等角模型 【基本模型】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 例1．（基本模型1）某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】【探究问题】见解析【知识应用】（1）或（2）或 【分析】探究问题：利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 知识应用：（1）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；（2）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】【探究问题】解：证明：由三角形外角的性质可得： ， ， ， 又， ； 【知识应用】解：（1）设，则， ，， ，，， ，， ， ， ， 即， 化简可得：， 解得或， 即或； （2）由（1）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， ① 当时， 由（1）可得，，， ， ， ； ② 当时， 可得， 则， ， 设，则， ， 由可得， ， 即 解得， ， 综上，或. 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 例2．（基本模型2）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）,,, 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 。 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 例3.（构造K模型）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 例4．（构造一线三等角模型）如图，，是边上一点，，则，，故． (1)如图，是上一点，，则图中另一组等角是______； (2)如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； (3)平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）由，，得出； （2）作于，可证得，从而，，进而推出，进一步得出结论； （3）①在上截取，根据（2）得，从而，从而得出，，进而得出，从而； ②延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接，可证得，从而，设，根据得出，从而得出，，根据得出方程，求得，进而得出结果． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）证明：如图， 作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：如图， 在上截取， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ； 如图， 延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接， 可得，， ， ， ， 设， 由知，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 例5．（坐标系中K模型）如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标为、、，点是线段的一动点，它以每秒1个单位速度从点向点运动，连接过点作的垂线交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点到达的中点时，________； (2)请用的代数式表示的长度，并求出为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知点在直线上，为轴上一点且于点，请直接写出满足此条件的点坐标． 【答案】(1) (2)最小值 (3)或或 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键． （1）先证明再根据相似三角形的性质即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出，由，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点在线段上，在的延长线上，在的延长线上，进行分类讨论，结合根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵、、三点的坐标为、、， ， ∴四边形是菱形， 又∵ ∴四边形是正方形， ， 又∵， ， ， ， ， ∵为的中点， ， ， 解得：， ； （2）解：， ， ， ， ， 所以当时，有最大值，最大值为，此时的值最小，最小值为； （3）解：设，则， 如图，当点在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴， 当点在的延长线上时，即为，连接，， 因为， 所以， 则.， 即， 所以这种情况不符合条件， 当点在的延长线上时，，， ，， ， ， ，或 或 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 1．如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点与坐标原点关于直线对称．将沿轴向右平移，当线段扫过的面积为20时，此时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AA1、BB1，过C点作CE⊥x轴于E点，过B点作BD⊥CE，交EC的延长线于点D，根据A(-2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4，进而得到AC=2，BC=4，再证Rt△DBC∽Rt△ECA，得到，设AE=x，则有CD=2x，OE=AO+AE=2+x，在Rt△ACE中，，即有，解方程求出x，即可求出AE，则C点坐标可求，再根据AB扫过的面积为20，求得，可知△ABC向右平移了5个单位，则问题得解． 【详解】平移后的效果如图，连接AA1、BB1，过C点作CE⊥x轴于E点，过B点作BD⊥CE，交EC的延长线于点D， 根据平移的性质可知AA1=BB1，且， 即有四边形是平行四边形． ∵CE⊥x轴，BD⊥CE， ∴∠D=∠CEA=90°， 根据对称的性质可知△AOB≌△ACB， ∴∠ACB=∠AOB=90°，AO=AC，OB=BC， ∵A(-2，0)、B(0，4)， ∴OA=2，OB=4， ∴AO=AC=2，OB=BC=4， ∵∠ACB=90°=∠D， ∴∠DCB+∠ACE=90°，∠DCB+∠DBC=90°， ∴∠ACE=∠CBD， ∴Rt△DBC∽Rt△ECA， ∴， 设AE=x，则有CD=2x， ∴OE=AO+AE=2+x， ∵∠D=∠CEA=90°=∠AOB， ∴四边形OBDE是矩形， ∴BD=OE，即BD=2+x， ∵， ∴， ∴在Rt△ACE中，， ∴有，解得，（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴C点坐标为， 根据平移的性质可知直线AB扫过的图形为是平行四边形， ∴根据题意有， ∵， ∴， ∴， ∴可知△ABC向右平移了5个单位， ∴C也向右平移了5个单位才得到C1， ∴即， ∴C1点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，求出C点的坐标是解答本题的关键． 3．已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 设，证明，可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为1． 故答案为：1 4.如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG． （1）求证：△ABE∽△EGF； （2）若EC＝2，求△CEF的面积； （3）当△CEF的面积最大时，求EC． 【答案】（1）见解析.（2）8.（3）EC=5. 【详解】解：（1）四边形是正方形，， ，，，， ，； （2），，，，， 由（1）知，，，，， ； （3）设，则， ， 由（1）知，，，， ，，当时，． 5．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上． （1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长 （2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时， ①求证：EF＝EG； ②求AF的长． （3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG＝10时，求AF的长． 【答案】（1）3；（2）①见解析，②6；（3） 【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴BF＝EF， ∵AB＝8，∴EF＝8﹣AF， 在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即42+AF2＝（8﹣AF）2，解得AF＝3； （2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF＝∠EGF， ∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG； ②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处， ∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，∴EF＝EG＝10， 在Rt△EFH中，FH＝＝＝6，∴AF＝FH＝6； （3）解：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N， ∵E到AD的距离为2cm，∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，在Rt△ENG中，GN＝＝＝8， ∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°， ∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，∴∠KEM＝∠NGE， 又∵∠ENG＝∠KME＝90°，∴△GEN∽△EKM， ∴＝＝，即＝＝，解得EK＝，KM＝，∴KH＝EH﹣EK＝8﹣＝， ∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM， ∴＝，即＝，解得FH＝，∴AF＝FH＝． 6．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 7．【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【详解】（1）如图，由折叠得到， ，． 又四边形ABCD是正方形，，，， 又 正方形 ，． （2）如图，连接， 由（1）得，， 由折叠得，，． 四边形是正方形，，， 又，，． ，，，． ，， （舍去）． （3）如图，连结HE， 由已知可设，，可令， ①当点H在D点左边时，如图，同（2）可得，，， 由折叠得，， 又，，， 又，，， ，， ，． ，，， （舍去）． ②当点在点右边时，如图， 同理得，，同理可得， 可得，， ，， （舍去）．． 8.如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F． （1）求证：EA·ED＝AB·DF； （2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当＝时，求； （3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝． 【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3） 【详解】（1）证明：如图1中， 在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°， ∵EF⊥BE，∴∠2+∠3=180°-90°=90°，∴∠1=∠3， 又∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEF， ∴，∴EA•ED=AB•DF； （2）解：如图2中，过点H作HM⊥EH交BE于M，过点M作MN⊥AB于N，过点E作ET⊥BD于T． ∵，∴设AH=m，BH=5m， ∵∠EHM=90°，∠HEM=45°，∴∠HEM=∠HME=45°，∴HE=HM， ∵∠EAH=∠EHM=∠MNH=90°， ∴∠EHA+∠MHN=90°，∠MHN+∠HMN=90°，∴∠EHA=∠HMN，∴△EAH≌△HNM（AAS）， ∴MN=AH=m，AE=HN，设AE=HN=x，∴BN=5m-x， ∵MN∥AE，∴，∴，整理得，，∴或， ①当时，∵BE平分∠ABD，EA⊥BA，ET⊥BD，∴EA=ET，∴， ∴，∴， 设，则，∵，即， 整理得：，解得：或(舍去)，∴DE=，AD=AE+DE=，BG=， ∵AE∥BG，∴，∴EK=EB， ∵tan∠ABE=tan∠DBE=，∴EJ=EB，∴； ②当时，同理可得；综上所述，的值为或； （3）解：如图3中，作∠MEB=∠J，过点M作MN⊥ME交BE于N，过点N作NP⊥AB于P． ∵∠MEB=∠J，∴tan∠MEB=tan∠J=， ∵∠BEJ=∠A=90°，∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°， ∴∠1=∠2，∴△JDE∽△EMB，， 设DE=2k，BM=3k，∵∠EMA+∠AEM=90°，∠EMA +∠NMP=90°，∴∠AEM =∠NMP， ∵Rt△EAM∽Rt△MPN，， 设PM=a，则AE=2a，∴AD=AE+DE=2a+2k=AB，AM=2a-k，∴PN，PB=， ∵PN∥AE，∴，∴，∴（负根已经舍弃），∴， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$