【单元易错九03】 概率的进一步认识章末复习易错提分50题（专项训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第三章 概率的进一步认识章末复习易错提分50题 【易错核心要点归纳】 1.“等可能性”判断错误 典型错误：认为所有事件都具有等可能性（如误以为抛质地不均匀硬币时正反面概率相同）。 纠正：必须满足样本点有限且每个结果出现机会均等（如质地均匀的骰子、公平转盘）。 2.样本空间列举不全或重复 场景：抛掷两枚硬币时漏掉“正反”或“反正”视为同一种情况。 关键：区分有序（分先后）与无序事件（如“第一次正面，第二次反面”≠“一正一反”）。 3.混淆“放回”与“不放回”抽样 错误示例：从2红1白球中连续抽两次球，若不放回则第二次概率会变化。 对策：用树状图标注每一步概率（放回：概率不变；不放回：分母减1）。 4.几何概率的测度选择错误 陷阱题：求转盘中某一区域的概率时，未用角度或面积比例计算。 原则：概率 = （单位统一！）。 5.公式误用 误将用于非等可能事件，或混淆互斥事件（）与独立事件（）。 【备考策略】 1.概念辨析法 每道题先问：“所有结果是否等可能？” 重点区分：“一次试验”与“多次试验”（如单次摸球 vs 多次摸球）。 2.规范解题步骤：(1) 明确问题类型（等可能事件）；(2) 列出全部等可能结果；(3) 圈定目标事件数；(4) 计算概率（满足条件的数量/事件发生的总次数）。 3. 强化工具使用： 树状图：解决多步骤试验（如连续摸球）； 表格法：处理两组数据组合（如掷两枚骰子）； 面积法：标注几何概率的图形比例。 4. 错题专项训练 收集三类典型错题： 样本空间列举不全（如“2男2女选两人”漏情况）； 混淆“概率”与“频率”（大量重复试验趋近概率）； 未排除非等可能条件（如转盘区域不等分）。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并运用概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出从两名男生（记为男、男）和两名女生（记为女、女）中任选两人的所有可能结果，再找出恰好为一男一女的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表如下： 男 男 女 女 男 - （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） - （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） - （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） - 总共有种等可能的结果，其中恰好为一男一女的结果有种． 所以恰好为一男一女的概率． 故选：C． 2．最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查古典概型的概率计算．解题用到的思想是列举法（列表法），通过列举所有可能结果分析概率；方法是先确定总结果数，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算；解题关键是准确列举所有等可能结果，并明确“组成‘长安’”所对应的结果；易错点是容易混淆“组成‘长安’”是否考虑顺序，若错误判断顺序要求会导致符合条件的结果数计算错误． 解题时，首先明确摸球方式为“有放回”，因此每次摸球的结果相互独立，第一次和第二次摸球各有4种可能，根据列表法总结果数为种．接着，需确定“组成‘长安’”对应的结果，即两个字为“长”和“安”，考虑顺序时符合条件的结果为（长安）和（安长），共2种．最后，根据概率公式计算，得到概率为． 【详解】列表如下： 最 美 长 安 最 最最 最美 最长 最安 美 美最 美美 美长 美安 长 长最 长美 长长 长安 安 安最 安美 安长 安安 根据表格，总共有种等可能的结果． 符合条件的是（长安）和（安长），共2种． 则概率为：． 故选：D． 3．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 4．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．20 B．24 C．27 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算n的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：D． 5．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵该二维码的面积为，点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右， ∴， 故选：C． 6．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 7．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率． 【详解】解：红色区域的圆心角为， 蓝色区域的圆心角为， 指针落在蓝色区域的概率是， 故选：D． 8．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 【答案】C 【详解】解：A、不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” 概率是，不符合题意； C、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，符合题意； D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5概率是，不符合题意； 故选：C 9．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到2000次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 10．下列命题中真命题是（   ） A．一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性 B．某抽奖活动中奖的概率是，参与次抽奖一定会中奖 C．在一个随机事件过程中某种结果的出现概率是由实验的次数决定的 D．将、、、、依次重复写遍，得到这个数的平均数是 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算等知识，熟记方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算是解决问题的关键．根据相关知识点逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即数据波动越大，也就意味着数据越不稳定；方差越小，数据越稳定．所以“一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性”是错误的．故A是假命题，不符合题意； B.某抽奖活动中奖的概率是，表示在大量重复抽奖的情况下，平均每次抽奖中奖的可能性是，参与次抽奖，只是有可能中奖，但不是一定会中奖，因为每次抽奖的结果都是独立的，具有随机性．所以“参与次抽奖一定会中奖”是错误的．故B是假命题，不符合题意； C.在一个随机事件中，某种结果出现的概率是由事件本身的性质决定的，而不是由实验的次数决定的．实验次数只是用来估计概率，当实验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近．所以“某种结果的出现概率是由实验的次数决定的”是错误的．故C是假命题，不符合题意． D.已知、、、、依次重复写遍，可得这个数据的总和为，所以这个数据的平均数为，该命题是真命题，符合题意． 故选：D． 11．假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解此题的关键．用黑色区域面积除以全面积即可求解， 【详解】解：把小正方形边长设为， 则黑色区域面积为，大正方形面积， ∴它最终停在黑色方砖上的概率为， 故选：C． 12．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表 出口入口 由列表可知，共有种等可能的结果． 其中从口进入，从口离开的结果只有种，即． 所以． 故选：A． 13．如图是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，且取吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有的可能情况：，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由摘取顺序可知，共有三种等可能的结果， ∴清洗时第二个取下的吊灯是的概率是， 故选：C． 14．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，现有两个音乐小球从A处先后进入小洞，发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（　　） “ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答关键．先画出树状图可得到所有等可能的结果数以及发出“商”音，再发出“羽”音的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：把宫商角徵羽五个基本音阶分别记为1，2，3，5，6， 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种， ∴发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 故答案为：A． 15．用1、2、3三个数字组成一个三位数（每个数中三个数字都要出现），则组成的三位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有可能发生的情况是解答本题的关键. 仔细审题,利用列举法得出所有可能的三位数组成情况；找出组成的数字是偶数的可能结果：132，312；根据概率计算公式P(A)=计算即可. 【详解】解：组成的数共有6个； 其中偶数有，一共2个； 因此组成的数是偶数的概率. 故选B 16．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 17．随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】B 【分析】用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是，不合理； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，判断合理； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，判断合理， 故选：B． 18．李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意； 故选C 19．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 20．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 二、填空题【共20小题】 21．2025年3月14日中国邮政发行《数学之美》特种邮票．该套邮票共4枚，面值分别为80分，1.20元，1.20元，1.50元．邮票图案名称为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”，小华从这4枚邮票中，随机抽取2枚，恰好抽到面值相同的邮票的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握是解决本题的关键． 通过列表列举出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”分别为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) ∴共有12种可能结果，恰好抽到面值相同的邮票的有2种， ∴恰好抽到面值相同的邮票的概率为． 故答案为：． 22．一年一度的校园“曦之声”即将拉开帷幕，九（1）班“明德”学习小组的小轩，小霖，小思，小熙4位同学准备任意推举2名同学参加初赛，则恰好小思和小轩被选中的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 四位同学分别用、、、表示，其中代表小思，代表小轩，画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小思和小轩同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设四位同学分别用、、、表示，其中代表小思，代表小轩， 画树状图为：    共有12种等可能的结果，其中小思和小轩同时被选中的结果数为2， ∴小思和小轩同时被选中的概率． 故答案为：． 23．如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 【答案】22.4 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 24．1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据这个概率是，，得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∴的近似值为， 故答案为：． 25．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，表示电路的开关（同时闭合开关与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让小灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合两个开关，所有可能的情况有：、、、、、，共种．同时闭合开关与或与，小灯泡发光，能让小灯泡发光的情况有、，共种． ∴小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 26．已知电流在一段时间内正常通过电子元件的概率是 0.5（在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电，断开，并且这两种状态的可能性相等）．如图，在一定时间段内，A，B 之间电流能够正常通过的概率是 ． 【答案】 【详解】解：如图： ， 画树状图可得： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，在一定时间段内，A，B 之间电流能够正常通过的情况有种， 故在一定时间段内，A，B 之间电流能够正常通过的概率为， 故答案为： 27．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在白色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，用白色区域的圆心角的度数除以360度，即可得出结果． 【详解】解：由图可知，指针落在白色区域的概率为； 故答案为： 28．一只小虫在如图所示的五角星区域内爬行（小虫爬行方向随机），则小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】先计算阴影部分的面积，用阴影面积除以总面积即可． 本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：作辅助线如下图，根据题意，设阴影面积为：，总面积为， 小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为：． 故答案为：． 29．在如图所示的矩形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影区域内的概率为 ． 【答案】​​​​​​​ 【分析】本题考查了几何概率． 用阴影部分的面积除以总面积，即可得出针头扎在阴影区域内的概率． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴对角线把长方形分成面积相等的四部分， ∴利用长方形的对称性可知图中阴影部分面积， ∴针头扎在阴影区域内的概率为， 故答案为：． 30．在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，以及正方形与圆的对称性，求出其他部分面积与总面积的比值是解决本题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可求得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：根据正方形与圆的对称性可知，阴影部分占所有面积的， ∴其他部分的面积占所有面积的， ∴飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 故答案为： ． 31．2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率．用阴影部分的面积除以正方形的总面积，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴图③的面积为， 图④的面积为， 正方形的面积为， ∴停在阴影部分的概率为， 故答案为： 32．在如图所示的电路中，随机闭合三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知：随机闭合三个开关中的两个，可能性有共3种情况，其中能让灯泡发光的情况只有一种情况； 故概率为， 故答案为：． 33．小明将转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注偶数数字（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为 ． 【答案】24 【详解】解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是， ∴， 解得：， 故答案为：24． 34．如图，一只蚂蚁在等腰直角三角形内自由爬行，点O是斜边的中点，点E，F分别在直角边上，且，则蚂蚁停留在阴影区域内的概率为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，点O是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域内的概率为． 故答案为：． 35．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 请根据表格中的数据估计矩形中空白部分的面积是 ． 【答案】10 【详解】解：根据统计表，可得石子落在空白部分的概率为， ∴空白部分的面积， 故答案为：10． 36．网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种， ∴． 故答案为：． 37．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，列表如下： 由表格可得，共有6种等可能结果，其中闭合开关和能让灯泡发光，结果有2种， ∴能让灯泡发光的概率为，故答案为：． 38．如图，6个人围成一圈做传球游戏，每个人接到球后传给和他不相邻的某一人（如：A接到球后可以传给C、D或E），开始时，球在A的手中，若球被传递三次后又回到A，此种情况出现的概率是 ． 【答案】 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中球被传递三次后又回到A的情况有2种， 开始时球在A的手中，若球被传递三次后又回到A的概率是． 故答案为：． 39．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，，，，则，，，中最大的是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，画树状图如下， 一共有36种情况， 其中两个数字之和除以4的余数为0的，共有9种情况，即； 两个数字之和除以4的余数为1的，共有8种情况，即； 两个数字之和除以4的余数为2的，共有9种情况，即； 两个数字之和除以4的余数为3的，共有10种情况，即； ∴， ∴最大， 故答案为：． 40．一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小球上的数字分别为1，3，4，6．若一次性随机抽取两个小球，则两个小球上的数字之和大于的概率为 ． 【答案】 【详解】解：画树状图如下： 摸出的两个小球标号之和有：，共种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和大于的结果有种， 摸出的两个小球标号之和大于的概率为， 故答案为：． 三、解答题【共10小题】 41．为正确理解物理变化与化学变化，王老师将种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列表法求事件的概率．直接利用表格列举，根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 乙甲 其中A衣服晾干和C冰化成水是物理变化，其余的是化学变化， 由表格知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有2种， 所以P（抽出的两张卡片均是化学变化）． 42．互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】(1) (2)，详见解析 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是， 故答案为：； （2）解：令微信、支付宝、现金三种支付方式分别为，列表如下： 由表可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 43．一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． (1)从中任意摸出1个球是白球的概率； (2)现从袋子中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一共有3个球，其中白球有2个，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中任意摸出1个球是白球的概率为； （2）解：设两个白球分别用A、B表示，黑球用C表示，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能性的结果，其中摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的结果有4种， ∴摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率为． 44．《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 45．学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】游戏公平，理由见解析 【详解】解：游戏公平，理由如下： 画树状图如下， 由树状图可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种， ∴小明获胜的概率是，小红获胜的概率为， ∴两人获胜的概率相等， ∴游戏公平． 46．为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A．优秀；B．良好；C．合格；D．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解答下列问题． (1)本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； (3)在这次劳动课程中，九（1）班共有3名学生获得了优秀，3名学生中有1名男生和2名女生，班主任决定从这3名学生中随机选出2名学生在班级做心得分享，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 【答案】(1)50人，图见解析 (2)等级C所对应扇形的圆心角的度数 (3)从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用树状图或表格求概率； （1）先由成绩优秀的学生人数除以所占百分比求出一共随机抽取的学生人数，然后用抽取学生总人数减去其余组的人数求出等级C人数，据此补全条形统计图 即可解决问题； （2）根据等级C人数所占的百分比乘以，求出等级C所对应扇形的圆心角的度数即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人恰好是一男一女的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查的学生人数为人， 等级C人数是人， 补全条形统计图如下： （2）解：等级C所对应扇形的圆心角的度数； （3）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的结果有4种， ∴从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为． 47．粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90 (2)统计图见解析 (3) 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 48．在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______； (2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是； 故答案为：． （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，共2种， ∴混合后的溶液变红色的概率为． 49．国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对、、、四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： (1)本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图； (2)若某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有_____； (3)旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 【答案】(1)600人，统计图见解析 (2)3200人 (3) 【详解】（1）解：本次参加抽样调查的游客有：（人）， 则B景点的人数为：（人）， ∴C景点的人数为：（人）， 故答案为：600人， 补全条形统计图如下： （2）解：某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有：（人） 故答案为：3200人； （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3 女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2 那么一共有20种等可能的情况，其中抽到一男一女的情况有12种，那么获得此次纪念品的是一男一女的概率为． 50．“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平 【详解】（1）解：员工小王抽到去地车票的概率为， 故答案为：． （2）解：不公平， 画树状图如下： 由此可知，共有16种等可能结果． 其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：，，，，，． 所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为． 则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为， ， 不公平． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率的进一步认识章末复习易错提分50题 【易错核心要点归纳】 1.“等可能性”判断错误 典型错误：认为所有事件都具有等可能性（如误以为抛质地不均匀硬币时正反面概率相同）。 纠正：必须满足样本点有限且每个结果出现机会均等（如质地均匀的骰子、公平转盘）。 2.样本空间列举不全或重复 场景：抛掷两枚硬币时漏掉“正反”或“反正”视为同一种情况。 关键：区分有序（分先后）与无序事件（如“第一次正面，第二次反面”≠“一正一反”）。 3.混淆“放回”与“不放回”抽样 错误示例：从2红1白球中连续抽两次球，若不放回则第二次概率会变化。 对策：用树状图标注每一步概率（放回：概率不变；不放回：分母减1）。 4.几何概率的测度选择错误 陷阱题：求转盘中某一区域的概率时，未用角度或面积比例计算。 原则：概率 = （单位统一！）。 5.公式误用 误将用于非等可能事件，或混淆互斥事件与独立事件。 【备考策略】 1.概念辨析法 每道题先问：“所有结果是否等可能？” 重点区分：“一次试验”与“多次试验”（如单次摸球 vs 多次摸球）。 2.规范解题步骤：(1) 明确问题类型（等可能事件）；(2) 列出全部等可能结果；(3) 圈定目标事件数；(4) 计算概率（满足条件的数量/事件发生的总次数）。 3. 强化工具使用： 树状图：解决多步骤试验（如连续摸球）； 表格法：处理两组数据组合（如掷两枚骰子）； 面积法：标注几何概率的图形比例。 4. 错题专项训练 收集三类典型错题： 样本空间列举不全（如“2男2女选两人”漏情况）； 混淆“概率”与“频率”（大量重复试验趋近概率）； 未排除非等可能条件（如转盘区域不等分）。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 2．最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（   ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 4．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．20 B．24 C．27 D．30 5．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 6．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 7．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 8．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 9．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 10．下列命题中真命题是（   ） A．一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性 B．某抽奖活动中奖的概率是，参与次抽奖一定会中奖 C．在一个随机事件过程中某种结果的出现概率是由实验的次数决定的 D．将、、、、依次重复写遍，得到这个数的平均数是 11．假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 12．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 13．如图是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，且取吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是的概率是（　　） A． B． C． D． 14．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，现有两个音乐小球从A处先后进入小洞，发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（　　） “ A． B． C． D． 15．用1、2、3三个数字组成一个三位数（每个数中三个数字都要出现），则组成的三位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 16．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 17．随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 18．李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 19．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 20．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 二、填空题【共20小题】 21．2025年3月14日中国邮政发行《数学之美》特种邮票．该套邮票共4枚，面值分别为80分，1.20元，1.20元，1.50元．邮票图案名称为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”，小华从这4枚邮票中，随机抽取2枚，恰好抽到面值相同的邮票的概率为 ． 22．一年一度的校园“曦之声”即将拉开帷幕，九（1）班“明德”学习小组的小轩，小霖，小思，小熙4位同学准备任意推举2名同学参加初赛，则恰好小思和小轩被选中的概率是 ． 23．如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 24．1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 25．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，表示电路的开关（同时闭合开关与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是 ． 26．已知电流在一段时间内正常通过电子元件的概率是 0.5（在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电，断开，并且这两种状态的可能性相等）．如图，在一定时间段内，A，B 之间电流能够正常通过的概率是 ． 27．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在白色区域的概率是 ． 28．一只小虫在如图所示的五角星区域内爬行（小虫爬行方向随机），则小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为 ． 29．在如图所示的矩形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影区域内的概率为 ． 30．在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 31．2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为 ． 32．在如图所示的电路中，随机闭合三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 33．小明将转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注偶数数字（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为 ． 34．如图，一只蚂蚁在等腰直角三角形内自由爬行，点O是斜边的中点，点E，F分别在直角边上，且，则蚂蚁停留在阴影区域内的概率为 ． 35．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 请根据表格中的数据估计矩形中空白部分的面积是 ． 36．网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 37．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为 ． 38．如图，6个人围成一圈做传球游戏，每个人接到球后传给和他不相邻的某一人（如：A接到球后可以传给C、D或E），开始时，球在A的手中，若球被传递三次后又回到A，此种情况出现的概率是 ． 39．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，，，，则，，，中最大的是 ． 40．一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小球上的数字分别为1，3，4，6．若一次性随机抽取两个小球，则两个小球上的数字之和大于的概率为 ． 摸出的两个小球标号之和有：，共种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和大于的结果有种， 摸出的两个小球标号之和大于的概率为， 故答案为：． 三、解答题【共10小题】 41．为正确理解物理变化与化学变化，王老师将种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 42．互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 43．一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． (1)从中任意摸出1个球是白球的概率； (2)现从袋子中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率． 44．《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 45．学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 46．为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A．优秀；B．良好；C．合格；D．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解答下列问题． (1)本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； (3)在这次劳动课程中，九（1）班共有3名学生获得了优秀，3名学生中有1名男生和2名女生，班主任决定从这3名学生中随机选出2名学生在班级做心得分享，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 47．粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 48．在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______； (2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率． 49．国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对、、、四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： (1)本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图； (2)若某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有_____； (3)旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 50．“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 学科网（北京）股份有限公司 $