【单元易错九01】 特殊平行四边形章末复习易错提分50题（专项训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形章末复习易错提分50题 【易错核心要点归纳】 一、定义混淆 1.矩形 ①易错点：误以为"有一个角是直角的四边形是矩形"。 ②注意：必须强调是平行四边形 + 一个直角（或对角线相等）。 2.菱形 ①易错点：将"邻边相等"等同于任意四边形。 ②注意：必须是平行四边形 + 邻边相等（或对角线垂直）。 3.正方形 ①易错点：单独记忆性质，忽略其双重特性。 ②注意：正方形同时是矩形和菱形，需综合运用性质。 二、判定定理应用错误 1.判定混淆 ： 例：若四边形对角线相等，则它是矩形？ 错误！ 需先证明它是平行四边形（如：对角线互相平分+相等）。 关键：先确认基础平行四边形，再叠加特殊条件。 2.性质与判定颠倒 例：用"菱形对角线垂直"证明其是菱形？ 错误！ 该性质是结果，判定需用定义或定理（如四边相等）。 三、性质应用陷阱 1.对角线性质 矩形：对角线相等，但若不平分则非矩形。 菱形：对角线垂直平分，但若不相等则非正方形。 2.对称性误解 正方形有4条对称轴（易漏），矩形和菱形仅有2条。 3.面积公式 菱形面积=对角线乘积÷2，但若误用边长×高，忽略高与对角线的关联。 四、综合应用典型错误 1.过渡条件遗漏 例：证明正方形时，未先证矩形/菱形，直接跳结论。 必须分步：先证平行四边形→再证特殊（如邻边相等+一个直角）。 2.坐标系中的误区 求顶点坐标时，误将矩形对角线中点重合等同于四边形为矩形（还需验证对边平行）。 【备考策略】 1.梳理逻辑链：先明确基础四边形，再叠加特殊条件。 数学推理示例 平行四边形 + 对角线相等 → 矩形 ✅ 任意四边形 + 对角线相等 → 不一定是矩形 ❌ 2. 对比记忆法：列表对比三种图形的定义、性质、判定（见表）。 图形 特有性质 核心判定 矩形 角均为直角 平行四边形 + 对角线相等 菱形 四边相等 平行四边形 + 邻边相等 正方形 四边相等+四角直角 矩形 + 邻边相等 或 菱形 + 一个直角 3. 动手画图：对题目中"对角线垂直且相等"的四边形，先画图观察（可能是正方形或非特殊四边形）。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（   ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定为矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，只能判定为平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，只能判定为平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定其为矩形（如等腰梯形的对角线也相等），不符合题意； 故选：A． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，由矩形性质得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解．解题关键是掌握三角形的中位线的性质． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 点是边的中点， 为的中位线， ． 故选：B． 3．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：A． 4．如图，在等腰直角中，已知，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，分别交于点D和点E，直线交于点F，交于点G，连接．若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质．由作法得：垂直平分，可得，再由是等腰直角三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 5．如图，在中，，，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 故选：B． 6．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出． 【详解】解：， 是的中点， ． 又，， ． 故选：B． 7．如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，菱形的对角线、的长分别为和，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的面积，熟练掌握菱形的面积公式是解决问题的关键．根据菱形的面积公式“菱形的面积等于两对角线乘积的一半”即可求解． 【详解】四边形是菱形，两条对角线、的长分别为和， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， 故选：． 9．将两个边长为的小正方形剪拼成一个大正方形（如图），这个大正方形的边长是一个无理数，则的小数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将两个边长为的小正方形剪拼成一个大正方形， 大正方形的面积是， ， （负值舍去） 的整数部分是2， 的小数部分是， 故选：． 10．下列说法中，错误的是（   ） A．正方形的对称轴一定是其对角线所在的直线 B．可以作无数条直线平分正方形的面积 C．正方形的每一条对称轴都过对角线的交点 D．平分正方形周长的直线必过正方形对称轴的交点 【答案】A 【详解】解：A．正方形的对称轴不一定是其对角线所在的直线，符合题意． B．过正方形对角线的交点的直线都平分正方形的面积，则可以作无数条直线平分正方形的面积，正确，不符合题意． C．正方形的每一条对称轴都过对角线的交点，正确，不符合题意． D．平分正方形周长的直线必过正方形对称轴的交点，正确，不符合题意． 故选：A． 11．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 12．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质，图形的翻折，以及平行线的性质，解决本题的关键是翻折前后角度不变． 根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，由此可得，再结合图形翻折可得，由此可求． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴， ∵长方形纸片沿折叠， ∴， 则等于． 故选：B． 13．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交于点N，M．已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．首先根据已知条件设出和的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵正方形中， ∴， ， 设， 由题意得，， ， ， ，负值舍去， ， ， ， 故选： 14．如图，在中，，点为的中点，在中，，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，点E为的中点,， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， 同理可得， ∴ 故选：B. 15．如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可求出两个正方形重叠部分的面积． 【详解】解：四边形和四边形都是正方形， ，，， ． 在与中， ， ， ， ． 故选：B． 16．如图，小琼将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将沿翻折，将点翻折到上的点处，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查折叠与对称的性质，等边三角形的判定与性质．连接，由折叠与对称的性质可得，，，可判定△BCG为等边三角形，结合等边三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接． 长方形纸片对折后展开，折痕为，再将点C翻折到上的点G处，折痕为， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 故选：D． 17．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，点在边上，且，连接，过点作分别交、于点E、M，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由勾股定理求出，根据证明，得出，，运用面积法可求出． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴, 故选：C． 18．在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，求出两个正方形的边长，进而求出空白矩形的长和宽，利用矩形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， ∴空白矩形的长为，宽为， ∴空白部分的面积为； 故选：A． 19．如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接．    在长方形中，和等底等高， ， 同理可证，， 是的中点， ， 是的中点， ， ， ． 故选：B． 20．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形； ； 平分； ．其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：． 二、填空题【共20小题】 21．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助线．连接根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：连接，由题意可得， ，点是的中点， ，即， 点是的中点，， ， 故答案为：． 22．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形，若，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， ∵边上取中点E， ∴， ∴； 由题意得：， ∴， 故答案为： 23．如图，矩形的两条边、的长分别为3和4，则矩形的对角线 ，点P是边上的一个动点，点P到矩形两条对角线的距离与之和为 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理．根据勾股定理可得的长，连接，根据，即可求出点P到矩形两条对角线的距离与之和． 【详解】解：∵矩形的两条边、的长分别为3和4， ∴，，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 即， ∴， 即点P到矩形两条对角线的距离与之和为． 故答案为：5； 24．如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接，先证明得到，再证明四边形是矩形即可求证． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 25．菱形的对角线相交于点①，过点①且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积之和． 故答案为：6 26．如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 27．菱形的边长为2，，点P，Q分别是上的动点，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质求线段和的最小值是解题的关键． 连接，，过点A作于点E，证明，可得，从而得到当点A，Q，P三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且点P与点E重合时的长最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点E， ∵菱形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当点A，Q，P三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且点P与点E重合时的长最小， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为： 28．如图，矩形中，与交于点①，E是中点，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．根据矩形的性质可得是的中位线，从而得到，再由勾股定理可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 即点①为的中点， ∵是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 29．如图，直角中，，，过作，连接与相交于，若，则的大小是 度． 【答案】26 【详解】解：如图，取的中点，连接． ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：26． 30．方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形的面积公式等知识﹒ 根据菱形的性质求出，进而求出，根据菱形面积公式即可求出菱形面积为﹒ 【详解】解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴菱形面积为﹒ 故答案为：﹒ 31．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，正确找出全等三角形并证明是解题的关键．根据正方形的性质证明，得到，由勾股定理得到，再利用正方形的面积公式即可求出b的面积． 【详解】解：如图， ∵正方形a，b，c， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， ∴b的面积为10． 故答案为：10． 32．如图，在矩形中，对角线相交于点①，点E、F分别是的中点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，根据矩形的性质可得，再结合三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴． 故答案为：2 33．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点M、N，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于的方程．证明，在中，由勾股定理得出，得出方程，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 34．如图，已知菱形的顶点G在矩形的边上，矩形的顶点A在菱形的边上，若，，，则菱形的边长为 ．     【答案】4 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，解决本题的关键是构造辅助线构造直角三角形求解即可． 作辅助线构造直角三角形，利用的直角三角形可得，通过面积相等即可其边长． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ， ， 矩形中， ，， 菱形中，，， ，且为的边上的高， ， ， ， ． 故答案为：． 35．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，属于轴对称，解决本题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，由此解方程可得到的度数． 【详解】解：∵， 设， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴，解得， 即的度数为． 故答案为：． 36．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，直角三角形斜边的性质，解题的关键是了解三角形的中位线的性质和直角三角形斜边的性质．利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ， 故答案为：12． 37．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点． （1） ； （2）连接并延长交于点，则 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵四边形为矩形，平分， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴由勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）． 故答案为：． （2）如答图，过点作，，，垂足分别为点，，． ∴四边形，，为矩形． ∵为等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，． 在中，由勾股定理，得． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 38．如图，在长方形中，，，E是边的中点，F是边上任意一点，连接，把沿着折叠，使点B落在处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理、矩形与折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及矩形与折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵E是边的中点， ∴， 当时，如图： ， 矩形沿折叠，使点落在点处， ， ∴， ∴； 当时，如图： ∵把沿着折叠，使点B落在处， ， ， ∴点E，点，点C三点共线， 在中，，， ， ∴， ∵， 即：， 解得， 综上所述，或， 故答案为：3或． 39．如图，在中，对角线，相交于点①，，E，F，G分别是的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，菱形的判定与性质，连接，结合四边形是平行四边形，可得，，，，再由，从而，进而结合等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等逐个判断可以得解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 又∵E是的中点， ∴． 又∵G是的中点， ∴． ∵， ∴． ∴①正确． ∵E，F分别是的中点， ∴，． 又∵， ∴， ∵，, ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． ∴，故②正确． ∵四边形是菱形． ∴平分． ∵， ∴不平分，即③不正确． 由题意，∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 40．如图，在边长为9的正方形中，Q是线段上的一点，其中，点P是对角线上的任意一点，过点P作于点E，作于点F，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，连接，，根据正方形的性质得出，，证明四边形为矩形，得出，证明，根据两点之间线段最短，得出、P、Q三点共线时，最小，即最小，再根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴、P、Q三点共线时，最小，即最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题【共10小题】 41．如图，为矩形的边上的点，连接，，过点作垂足为点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定，熟知矩形性质和全等三角形的判定和性质是解题关键． 根据四边形是矩形，得，，得，进而证明，从而得证． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 42．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理； （1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 , , 是的中点， 同理可得, 是的中点, ； （2）， ∴， ∴的周长为． 43．如图，在菱形中，对角线相交于点①，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)10 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 44．在中，，点是边上的一个动点，连接．作，，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当是的中点时，四边形的形状是______；请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形，理由见详解 【详解】（1）解： ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵在中，是的中点， ∴， 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 故答案为：菱形． 45．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点F是中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连结，如图， ∵是边上的高线， ∴. ∵是边上的中线， ∴E是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点F是中点， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵点F是中点， ∴. ∵，E是边上的中点， ∴， ∴， ∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 46．如图，在中，延长至，使得，过点A，分别作，，与相交于点下面是小红、小星这两位同学的对话： 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小星：受你的启发，我还发现：若连接，交于点，则可证明． (1)请你根据题中的条件和小红同学的说法，证明：； (2)你认为小星同学的说法是否正确？如果正确，试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握平行四边形和矩形的判定方法是解题的关键． （1）如图：连接，易证四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）如图，连接，设交于点，由矩形的性质可得，易得是的中位线，最后根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， . （2）解：小星说法正确，理由如下： 如图，连接，设交于点， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 是的中位线， ． 47．如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）证，得，则，过D作于M，由勾股定理得，，进而即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形为矩形； （2）解： ， ， 由（1）得：四边形为矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 48．如图，矩形的对角线与相交于点①，过点①作，过点C作垂直平分，分别交于点F，G，E，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形①CDE是菱形，理由如下： ∵， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 49．（1）如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，且，延长到点，使，连接． ①求证：； ②求证：； ③求证：． （2）如图②，当点，分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）①由正方形的性质证明，②可得， ，根据正方形的性质求出，再证，③可得，则，即可得出答案； （2）在上截取，连接．证明，可得．，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案． 【详解】（1）①证明：四边形为正方形， ． ， ． ②， ，． 四边形为正方形， ． ， ． ． ． 在和中， ． ③， ． ， ． （2）解：，理由如下：如图2，在上截取，连接． 四边形为正方形， ． ， ． ，． 四边形为正方形， ， ， ． ． ． 在和中， ． ． ， ． 50．如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于①，交，于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过作于点，连，则的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3)的值为． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）延长至，且使，连接，则，证明，得出，为的中位线，得出，得出，即可得出，即可证得结论； （3）过点作交于，由证明，得出，，证出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长至，且使，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴为的中点， 又∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：过点作交于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由角的互余关系得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形章末复习易错提分50题 【易错核心要点归纳】 一、定义混淆 1.矩形 ①易错点：误以为"有一个角是直角的四边形是矩形"。 ②注意：必须强调是平行四边形 + 一个直角（或对角线相等）。 2.菱形 ①易错点：将"邻边相等"等同于任意四边形。 ②注意：必须是平行四边形 + 邻边相等（或对角线垂直）。 3.正方形 ①易错点：单独记忆性质，忽略其双重特性。 ②注意：正方形同时是矩形和菱形，需综合运用性质。 二、判定定理应用错误 1.判定混淆 ： 例：若四边形对角线相等，则它是矩形？ 错误！ 需先证明它是平行四边形（如：对角线互相平分+相等）。 关键：先确认基础平行四边形，再叠加特殊条件。 2.性质与判定颠倒 例：用"菱形对角线垂直"证明其是菱形？ 错误！ 该性质是结果，判定需用定义或定理（如四边相等）。 三、性质应用陷阱 1.对角线性质 矩形：对角线相等，但若不平分则非矩形。 菱形：对角线垂直平分，但若不相等则非正方形。 2.对称性误解 正方形有4条对称轴（易漏），矩形和菱形仅有2条。 3.面积公式 菱形面积=对角线乘积÷2，但若误用边长×高，忽略高与对角线的关联。 四、综合应用典型错误 1.过渡条件遗漏 例：证明正方形时，未先证矩形/菱形，直接跳结论。 必须分步：先证平行四边形→再证特殊（如邻边相等+一个直角）。 2.坐标系中的误区 求顶点坐标时，误将矩形对角线中点重合等同于四边形为矩形（还需验证对边平行）。 【备考策略】 1.梳理逻辑链：先明确基础四边形，再叠加特殊条件。 数学推理示例 平行四边形 + 对角线相等 → 矩形 ✅ 任意四边形 + 对角线相等 → 不一定是矩形 ❌ 2. 对比记忆法：列表对比三种图形的定义、性质、判定（见表）。 图形 特有性质 核心判定 矩形 角均为直角 平行四边形 + 对角线相等 菱形 四边相等 平行四边形 + 邻边相等 正方形 四边相等+四角直角 矩形 + 邻边相等 或 菱形 + 一个直角 3. 动手画图：对题目中"对角线垂直且相等"的四边形，先画图观察（可能是正方形或非特殊四边形）。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（   ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（    ） A． B． C．2 D． 4．如图，在等腰直角中，已知，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，分别交于点D和点E，直线交于点F，交于点G，连接．若，则（    ） A．2 B． C． D． 5．如图，在中，，，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 7．如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线、的长分别为和，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．将两个边长为的小正方形剪拼成一个大正方形（如图），这个大正方形的边长是一个无理数，则的小数部分是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法中，错误的是（   ） A．正方形的对称轴一定是其对角线所在的直线 B．可以作无数条直线平分正方形的面积 C．正方形的每一条对称轴都过对角线的交点 D．平分正方形周长的直线必过正方形对称轴的交点 11．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（ ） A．3 B．2 C． D． 12．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 13．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交于点N，M．已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，点为的中点，在中，，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 15．如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 16．如图，小琼将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将沿翻折，将点翻折到上的点处，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 17．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，点在边上，且，连接，过点作分别交、于点E、M，则的长为（   ） A． B． C． D． 18．在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 19．如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 20．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形； ； 平分； ．其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 二、填空题【共20小题】 21．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 22．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形，若，则的长是 ． 23．如图，矩形的两条边、的长分别为3和4，则矩形的对角线 ，点P是边上的一个动点，点P到矩形两条对角线的距离与之和为 ． 24．如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为 25．菱形的对角线相交于点①，过点①且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为 ． 26．如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则 ．    27．菱形的边长为2，，点P，Q分别是上的动点，的最小值为 ． 28．如图，矩形中，与交于点①，E是中点，，，则的长为 ．    29．如图，直角中，，，过作，连接与相交于，若，则的大小是 度． 30．方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为 ． 31．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 ． 32．如图，在矩形中，对角线相交于点①，点E、F分别是的中点，若，则 ． 33．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点M、N，连接，则的长为 ． 34．如图，已知菱形的顶点G在矩形的边上，矩形的顶点A在菱形的边上，若，，，则菱形的边长为 ．     35．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为 ． 36．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为 ． 37．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点． （1） ； （2）连接并延长交于点，则 ． 38．如图，在长方形中，，，E是边的中点，F是边上任意一点，连接，把沿着折叠，使点B落在处．当为直角三角形时，的长为 ． 39．如图，在中，对角线，相交于点①，，E，F，G分别是的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 ． 40．如图，在边长为9的正方形中，Q是线段上的一点，其中，点P是对角线上的任意一点，过点P作于点E，作于点F，则的最小值为 ． 三、解答题【共10小题】 41．如图，为矩形的边上的点，连接，，过点作垂足为点．求证：． 42．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 43．如图，在菱形中，对角线相交于点①，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 44．在中，，点是边上的一个动点，连接．作，，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当是的中点时，四边形的形状是______；请说明理由． 45．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点F是中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 46．如图，在中，延长至，使得，过点A，分别作，，与相交于点下面是小红、小星这两位同学的对话： 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小星：受你的启发，我还发现：若连接，交于点，则可证明． (1)请你根据题中的条件和小红同学的说法，证明：； (2)你认为小星同学的说法是否正确？如果正确，试说明理由． 47．如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 48．如图，矩形的对角线与相交于点①，过点①作，过点C作垂直平分，分别交于点F，G，E，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求的长． 49．（1）如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，且，延长到点，使，连接． ①求证：； ②求证：； ③求证：． （2）如图②，当点，分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由． 50．如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于①，交，于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过作于点，连，则的值． 学科网（北京）股份有限公司 $