精品解析：湖南省多校（永州市第一中学等）2026届高三上学期10月阶段监测联考数学试题

数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则集合中所含整数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. 1 C. D. i 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（ ） A. 64 B. 32 C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的面积为4 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（ ） A. 点E的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于x轴对称 11. 在棱长为1的正方体中，点P是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若点M在正方形内（含边界），且，则点M的轨迹长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点P，使得异面直线与所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 13. 已知各项均不为零的数列满足：．若，则数列的前n项和_____________． 14. 将3个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，记小球最多的盒子里的小球数目为X，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 25 150 女性 50 75 （1）列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且为正三角形，E，F分别为的中点，． （1）证明：平面． （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 19. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点． （3）在（2）的条件下，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则集合中所含整数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集，即可求解. 【详解】，其中所含的整数有，，，，共个. 故选：C. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法法则，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】，虚部为3. 故选：A 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简可得，然后根据与的推出关系判断即可. 【详解】由及指数函数的单调性可得，此时成立， 反之不成立，例如，显然不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4. 已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为函数为奇函数， 所以有，则， 所以， 故选：B 5. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的周期性和偶函数的性质，结合对数的运算性质、代入法进行求解即可. 【详解】因为函数是周期为2的偶函数，且当时，， 所以． 故选：C 6. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】如图所示： 由得，所以， 故选：A 7. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（ ） A. 64 B. 32 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意得知是锐角，且，而， ， 所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的形式构造新函数，根据的形式构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，利用单调性进行运算判断即可. 【详解】构造新函数， 当时，，函数单调递减， 于是由， 所以有， 所以， 构造新函数， 当时，，函数单调递增， 由， 故，所以，故， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的面积为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、余弦定理逐一判断即可. 【详解】对于A，由及正弦定理得， 又， ，故A正确； 对于B，由可得， ， 又由正弦定理可得，故B正确； 对于C，由余弦定理知，即， 代入A中结论得，故C错误； 对于D，由已知得， 由A可知：， 因为，所以该三角形是直角三角形， 所以的面积，故D正确． 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（ ） A. 点E的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于x轴对称 【答案】BD 【解析】 【分析】据抛物线焦点坐标公式，结合抛物线定义、直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】对于A，由抛物线的标准方程可知：，所以点E的坐标为，故A错误； 对于B，由，可得点A为线段的中点，点E为C的准线与x轴的交点，所以点A到准线的距离是点B到准线的距离的，由抛物线定义可得B正确； 对于C，设，由点A为的中点， 可得，，所以，又， 联立解得，所以，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD 11. 在棱长为1的正方体中，点P是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若点M在正方形内（含边界），且，则点M的轨迹长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点P，使得异面直线与所成的角为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正方体的性质、线面垂直的性质，结合球的定义、三棱锥的体积公式、异面直线所成角的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，在正方体中，有平面平面，所以，选项A正确； 对于B，，则点M在以点D为球心，半径的球上，又点M在正方形内（含边界），所以点M在球与正方形的交线上，即点M在以点为圆心，半径的圆周上，点M的轨迹长为，选项B正确； 对于C，，点到平面的距离是定值，定值为，三棱锥的体积取最大值，即三棱锥的体积取最大值，即底面的面积取最大值，即点P与点重合，，选项C错误； 对于D，异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即，所以，又，所以选项D错误． 故答案为：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设，则，又为上的奇函数， 所以， 即当时，，当时，， 所以的图象在处的切线方程为，即． 故答案为： 13. 已知各项均不为零的数列满足：．若，则数列的前n项和_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义、通项公式、前n项和公式进行求解即可. 【详解】， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以， 所以数列是公比为的等比数列，所以． 故答案为： 14. 将3个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，记小球最多的盒子里的小球数目为X，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，，的值，再根据期望的定义即可求解． 【详解】根据古典概型的求法可知，，， 故． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 25 150 女性 50 75 （1）列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 认为关注“湘超”赛事与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 列联表如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 零假设为：关注“湘超”赛事与性别无关． 故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为关注“湘超”赛事与性别有关. 【小问2详解】 由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人， 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A，“这2人的性别不同”为事件B， 则， ， 则， 所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人的性别不同的概率为. 16. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； 【小问2详解】 ， ， . 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且为正三角形，E，F分别为的中点，． （1）证明：平面． （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）设的中点为K，连接． 因为，所以． 又因为G为的重心，所以，所以，所以． 又因为平面平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形重心的性质，结合线段成比例性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理、三棱锥的体积公式，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为， ，所以 以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为 ， 则． 设平面的法向量为， 即令， 则， ． 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【点睛】 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程根的情况，结合导数的性质、函数的定义域分类讨论进行求解即可； （2）根据极值点的定义，结合（1）的结论，通过构造新函数，利用导数判断新函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 由函数的解析式可知， ， ①若，则恒成立，在上单调递增， ②若，则由，得或； 由，得． 在上单调递减，在和上单调递增， ③若，则由，得； 由，得． 在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 是方程的两个根，， ，且，所以， ， 令，则． 在上单调递减， ， 的最小值为. 19. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点． （3）在（2）的条件下，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明： 因为， 所以，所以， 显然直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为， 且． 由得， 所以，① 所以， 整理得， 将①式代入得，化简得， 所以直线l的方程为，直线l过定点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，结合代入法、三者之间的关系进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、直线的斜率公式进行求解即可； （3）根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，所以，又点在C上， 所以，解得． 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 由，解得， 且，② 所以， 代入②式得，令， 所以， 所以当，即时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $