精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

哈九中2025—2026学年度高一上学期 10月份考试数学学科试卷 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合的真子集的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 6. 若，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式的解集为，若，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 若集合M，N满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知，，若，则m集合为 D. 若，不等式恒成立，则k的取值范围是 11. 定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是________． 13. 函数的值域为__________． 14. 已知，，且，则的最小值是______． 四、解答题：本题有5道题，总共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 16. 已知，且． （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求的最小值． 17. 函数的定义域为，对于，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：为减函数； （3）若，求不等式的解集． 18. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2025—2026学年度高一上学期 10月份考试数学学科试卷 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集运算即可求解. 【详解】由，集合， 可得：， 故选：B 2. 集合的真子集的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合得出集合中元素个数即可求解. 【详解】由题知，所以集合的真子集的个数是． 故选：A. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可解出. 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“，”的否定为，. 故选：B. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不等于列不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】由题意可得：，解得： 故函数的定义域为：， 故选：C. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】作差法判断A，根据充分条件、必要条件的判定方法，判断BCD. 【详解】对于A，，则， ， 则，正确； 对于B，由“且”，可得“”，即充分性成立； 反之：例如：，满足，但且不成立，即必要性不成立， 所以且是的充分而不必要条件，正确； 对于C，由，可得或， 所以是的充分不必要条件，所以C不正确； 对于D，根据充分条件、必要条件的关系，可得p是q的充分不必要条件， 则q是p的必要不充分条件，所以D正确. 故选：C. 6. 若，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质求解即可 【详解】, ， ， ， ， 又可得， 所以， 所以的取值范围是 故选：A 7. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法令可得，代入解析式可得结果. 【详解】令，则，所以， 所以. 故选：D. 8. 关于的不等式的解集为，若，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次不等式解集可得对应二次方程的解，后利用韦达定理可得答案. 【详解】因的解集为， 则方程的解为或， 则由韦达定理有：. 又，得，即 结合解得. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 若集合M，N满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据互为子集得出，逐个选项判断即可. 【详解】由于，则，则，A选项正确； 因，则，，B选项正确； 因，则，则，C选项正确； 则，D选项正确. 故选：ABCD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知，，若，则m集合为 D. 若，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；化简集合，结合判断C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与不是同一函数，故A错误； 对于B，由函数的定义域为， 则，即， 所以函数的定义域为， 令，则， 所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，由， 当时，，满足，故C错误； 对于D，当时，不等式为恒成立， 当时，则需满足，解得， 综上，的取值范围是，故D错误. 故选：ACD. 11. 定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立. 【详解】∵，，故A正确； ∵定义且， ∴，，故B正确； ，故C错误； ，所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式转化为，结合“穿针引线法”即可求解. 【详解】因为，等价于， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 13. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【详解】函数 令，则. 得. 当时，函数有最大值. 所以值域为. 故答案为. 点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择 14. 已知，，且，则的最小值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】依题意，化简得，应用基本不等式求解. 【详解】 （当且仅当时取等号） 由解得 所以的最小值为7（当且仅当且时取得）. 故答案为：7 四、解答题：本题有5道题，总共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，得到集合，利用交集的运算求出交集； （2）根据并集的结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出取值范围即可. 【小问1详解】 由题意可得. 当时，， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，a的取值范围是. 16. 已知，且． （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解； （3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解. 【小问1详解】 由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． 【小问2详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． 【小问3详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 17. 函数的定义域为，对于，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：为减函数； （3）若，求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 设，且， 则，， 因为， 所以， 所以为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令求解即可； （2）由，得，然后化简即可证明； （3）由和化简不等式得，结合定义域利用单调性解不等式即可. 【小问1详解】 令，则，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以， 由，则， 又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 18. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【小问1详解】 由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 【答案】（1），； （2） （3） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知3是方程的一个根，计算即可得，再解出的另一根即可得解； （2）由题意可得对任意恒成立，从而只需借助基本不等式求出在时的最小值即可得； （3）由题意可得，再分、、、与进行讨论即可得. 【小问1详解】 由的解集为，可得3是方程的一个实数根， 因此，解得； 所以的另一实数根为1，可得； 即实数的值为，； 【小问2详解】 由可得，即； 又因为，可得恒成立； 易知当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以； 【小问3详解】 不等式即为； 整理可得； 当时，不等式为，易知其解集为； 当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为； 若，不等式等价为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 综上可知，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $