3.2.2双曲线的简单几何性质第1、2课时同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质第1、2课时 同步练习、解答、细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 2．设全集，集合，，则（ 　） A． B． C． D． 3．已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 4．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．若是双曲线C的一个焦点，则 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则 6．已知曲线，则下列叙述正确的有（    ） A．若曲线为圆，则 B．若，则曲线的离心率为2 C．若，则曲线焦点坐标为 D．若，则曲线是双曲线且其渐近线方程为 7．已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（    ） A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线 C． D．与恰有四个公共点 三、填空题 8．双曲线的实轴长是 ，虚轴长为 ，渐近线为 ，离心率为 . 9．已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为 ． 10．已知为双曲线的右焦点，若直线与交于，两点，且，则的离心率等于 . 四、解答题 11．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，，离心率为； (2)焦点的坐标为，，渐近线方程为； (3)虚轴长为12，离心率为； (4)离心率，且经过点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 3.2.2双曲线的简单几何性质第1、2课时 同步练习、解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C D BD ACD AC 1．C 【分析】由曲线是焦点在x轴上的双曲线可得出的范围，根据范围由充分必要关系即可得解. 【详解】若曲线是焦点在x轴上的双曲线， 则且，则， 根据范围可知必有，反之不成立， 所以“”是“曲线 是焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件， 故选：C. 2．C 【分析】根据双曲线方程得变量范围得集合，由对数函数性质确定集合B，然后由集合的运算法则计算． 【详解】由已知，或，，所以，所以=或或． 故选：C． 3．C 【分析】根据双曲线的对称性进行判断即可. 【详解】因为双曲线关于横轴、纵轴、原点对称， 而点关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为、、， 所以只有选项C正确， 故选：C 4．D 【分析】根据双曲线虚轴长与实轴长的关系求出m的值即可求解． 【详解】由题意可知，， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的标准方程，属于容易题. 5．BD 【分析】根据题意，由条件可得双曲线的焦点在轴上，且，然后结合双曲线的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为曲线C：为双曲线，所以，焦点在轴上，且， 对于A，双曲线的实轴长为，故A错误； 对于B，若是双曲线C的一个焦点，则，即， 解得，故B正确； 对于C，取双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，即， 则双曲线C的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 对于D，若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则，即，故D正确； 故选：BD 6．ACD 【分析】结合圆的标准方程判断A，根据等轴双曲线的定义和性质判断B，根据椭圆的焦点坐标公式判断C，根据双曲线的渐近线方程判断D. 【详解】若方程的曲线为圆，则，正确； 若，则曲线为等轴双曲线， 所以双曲线的离心率为，B不正确； 若，则曲线为焦点在轴上，中心为原点， 长半轴上为，短半轴长为的椭圆，半焦距为， 所以其焦点坐标为，C正确； 若，则曲线是中心为原点，焦点在轴上的双曲线， 双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 双曲线的渐近线方程为，D正确. 故选：ACD. 7．AC 【分析】求出与的焦距，离心率即可判断AC；由等轴双曲线的概念判断B；根据曲线中的取值范围判断D. 【详解】根据题意，椭圆，半焦距， 的焦距为， 双曲线，半焦距， 的焦距为，显然，A正确； 因为，所以不可能为等轴双曲线，B错误； ，则，C正确； 因为椭圆中， 双曲线中， 则与只有和两个交点，D错误. 故选：AC 8． 4 【分析】将双曲线方程化为标准方程，得到，，从而得到答案. 【详解】双曲线的标准方程为，即， 故实轴长为4，虚轴长为，渐近线为， ，故， 离心率为. 故答案为：4，，， 9． 【分析】根据给定条件，求出值，进而求出离心率即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 因此双曲线方程为，所以双曲线的离心率. 故答案为： 10． 【分析】本道题先设出A,B坐标,然后利用直角三角形性质,建立等式,计算e，即可． 【详解】设结合直角三角形满足的定理可知, ,将AB直线方程,代入双曲线方程,得到: , 而,结合代入AB中,得到 ,解得,即可. 【点睛】本道题考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大． 11．(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由条件结合离心率先求出，再求出得出答案. （2）由题意可得焦点的位置和，由渐近线方程结合求出，得出答案. （3）由题意得出，由离心率结合，求出，再分焦点位置得出方程. （4）由离心率可得双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为，将点 坐标代入，可得答案. 【详解】（1）由条件设所求双曲线的方程为 则，则 所以 所以双曲线的方程为 （2）由题意双曲线的焦点在x轴上，且，设所求双曲线的方程为 则双曲线的渐近线方程为：，又渐近线方程为 所以，且，解得 所以双曲线的方程为 （3）由题意则 由条件，又，即 解得 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程为 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程为 （4）由，即，所以 所以双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为 将点代入可得 所以双曲线的方程为 题号 难度 知识点细目表 一、单选题 1 全部 双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 2 全部 双曲线中x、y的取值范围 3 全部 双曲线的对称性 4 全部 双曲线的顶点、实轴、虚轴 二、多选题 5 全部 双曲线的顶点、实轴、虚轴 6 全部 双曲线的渐近线 7 全部 双曲线的离心率 三、填空题 8 全部 双曲线的顶点、实轴、虚轴 9 全部 双曲线的渐近线 10 全部 双曲线的离心率 四、解答题 11 全部 双曲线的顶点、实轴、虚轴,双曲线的渐近线,双曲线的离心率 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $