3.2.1双曲线及其标准方程第3课时 焦点三角形同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程第3课时--焦点三角形 同步练习、解答、细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．为双曲线的左焦点，双曲线C的右支上的三个不同的点关于y轴的对称点分别为，则的值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 2．设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 3．双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，过作角平分线的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 4．已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 二、多选题 5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（   ） A．直线l：与C恰有两个公共点 B．若，则的面积为 C．双曲线E：的焦点在以为直径的圆上 D．若，则的周长为28 6．已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．若，则的内切圆半径为 D．以为直径的圆与圆相切 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，则下列结论正确的是（   ） A．该双曲线的离心率为2 B．该双曲线的渐近线方程为 C．若，则的面积为16 D．点P到两渐近线的距离乘积为 三、填空题 8．已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则 ． 9．已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 10．已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 四、解答题 11．已知双曲线经过点，且左焦点为. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作斜率为的弦，求的周长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 3.2.1双曲线及其标准方程第3课时---焦点三角形 同步练习、解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D C C BC ACD CD 1．C 【分析】利用双曲线的对称性及双曲线的定义求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为， 由双曲线的对称性可知，， 则 ． 故选：C. 2．D 【分析】根据双曲线定义可得，进而得，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 3．C 【分析】先画出双曲线和焦点三角形，分在双曲线的右支和左支两种情况证得是的中垂线，再利用双曲线的定义和中位线定理，数形结合即可得结果. 【详解】若在双曲线的右支（如图①），由双曲线的定义可知， 延长交于，因为为的平分线，且， 则，则为的中点，而为的中点， 所以为的中位线， 所以， 若在双曲线的左支（如图②），由双曲线的定义可知， 延长交于，因为为的平分线，且， 则，则为的中点，而为的中点， 所以为的中位线， 所以， 又因为双曲线的方程为，所以，即，所以.故选：C. 4．C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意，，， 当且仅当共线时，等号成立.故选：C. 5．BC 【分析】A选项，求出渐近线方程，由直线l与渐近线平行得到A正确；B选项，设，，由双曲线定义和余弦定理得到，由三角形面积公式得到B正确；C选项，求出以为直径的圆的方程，焦点坐标在圆上，C正确；D选项，由双曲线定义和得到，求出三角形周长. 【详解】对于A，双曲线C：的一条渐近线的方程为， 故直线l：与该渐近线平行，故直线l与C恰有一个公共点，A错误； 对于B，设，，由可知点M在C的右支上， 由双曲线定义得，又，故， 在中，由余弦定理得， 解得，所以的面积为，B正确； 对于C，由已知得，，以为直径的圆的方程为， E：的焦点为，很显然，在圆上，C正确； 对于D，由双曲线定义知，， 所以，又， 所以，所以的周长为，D错误．故选：BC． 6．ACD 【分析】A选项，设，，，，利用点差法得到，结合得到，从而由双曲线定义得到A正确；B选项，利用双曲线定义和余弦定理得到，从而求出三角形的面积；C选项，由双曲线定义和勾股定理求出，得到的面积，从而求出内切圆半径；D选项，设，，，先得到的中点为的坐标，从而得到，得到D正确. 【详解】A选项，设，，，， 则，，两式相减得，故， ，所以，解得， 点P为双曲线右支上一动点，由双曲线定义得，A正确； B选项，因为，， 若，由余弦定理得 ， 故，解得， 故的面积为，B错误； C选项，因为，，若，由勾股定理得， 解得，故的面积为， 设的内切圆半径为，故，即， 解得，C正确； D选项，设，，，其中， 设的中点为，则，， 又， 故，故以为直径的圆与圆相切，D正确.故选：ACD 【点睛】圆锥曲线中点弦相关结论及其推广：椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为，则， 推广：椭圆与过原点的直线相交于两点，则从椭圆上任选一点（除外），满足； 双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为，则， 推广：双曲线与过原点的直线相交于两点，则从双曲线上任选一点（除外），满足； 7．CD 【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，，，该双曲线的离心率为，A错； 对于B选项，该双曲线的渐近线方程为，B错； 对于C选项，若，则， 所以，，可得， 故，C对； 对于D选项，设点，则， 双曲线的两渐近线方程分别为、， 所以，点到两渐近线的距离乘积为，D对.故选：CD. 8． 【分析】由双曲线的标准方程可得，经分析点只能在双曲线的左支上，利用双曲线的定义可得，计算可得结果. 【详解】根据双曲线方程，，， 根据双曲线的定义，由已知，又， 所以．故答案为：.   9． 12 6 【分析】根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积. 【详解】根据题意，， 因为， 由， 可得，则的周长为； 在中，根据余弦定理， ，则， 故故答案为：12；6. 10． 【分析】设的左焦点为，根据双曲线的定义可得，即可得解. 【详解】双曲线的右焦点， 设的左焦点为，则， 因为是右支上一点，所以， 所以， 当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为.故答案为： 11．(1)；(2). 【分析】（1）根据点在双曲线上及双曲线参数关系列方程求双曲线标准方程； （2）由题设，联立双曲线求得，结合双曲线定义求焦点三角形的周长. 【详解】（1）由题设且，可得，故； （2） 由（1）知，则直线， 联立双曲线，得，整理，可得或， 不妨令，则， 而，故，，所以. 题号 难度 知识点细目表 一、单选题 1 全部 双曲线定义的理解 2 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 3 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 4 全部 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 二、多选题 5 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 6 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 7 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 三、填空题 8 全部 双曲线定义的理解 9 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 10 全部 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 四、解答题 11 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $