3.2.1双曲线及其标准方程第2课时（求轨迹方程）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程第2课时--求轨迹方程同步练习、解答、细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 3．若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D． 6．已知定点，定直线l：，动点P点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E．则下列说法正确的是（    ） A．轨迹E的方程为 B．轨迹E上的点P到定点F距离的最小值为2 C．轨迹E上的点P到定直线l：距离的最小值为1 D．轨迹E上的点到直线l：距离的最小值为 7．若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 三、填空题 8．双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为 ，渐近线方程为 . 9．经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 . 10．如图所示：在圆C：(x＋1)2＋y2＝16内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据椭圆定义可得点M的轨迹方程为；利用类比推理思想：在圆C：(x＋3)2＋y2＝16外有一点A(3，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据双曲线定义可得点M的轨迹方程为 ． 四、解答题 11．求满足下列条件的点的轨迹方程. （1）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹； （2）已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．求点的轨迹方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 3.2.1双曲线及其标准方程第2课时-求轨迹方程同步练习、解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C D A ACD AD BC 1．C 【分析】根据给定条件，求出，进而求出双曲线方程. 【详解】令双曲线的实轴长为，焦距为，而虚轴长， 依题意，，即，解得， 所以双曲线的标准方程为.故选：C 2．C 【分析】根据双曲线的顶点坐标与渐近线方程求得得双曲线方程. 【详解】由双曲线的一个顶点为得双曲线的焦点在轴，可设双曲线方程为， 则，因为渐近线方程为，即，所以，所以， 所以所求双曲线的方程为.故选：B 3．D 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为.故选：D. 4．A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为.故选：A. 5．ACD 【分析】根据题意求得双曲线的方程，可判定A正确；根据离心率的定义，求得的值，可判定B不正确；利用直线与圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，可判定D正确. 【详解】设点，由直线与的斜率之积为，可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 曲线的离心率，所以B不正确； 由圆，可得圆心为， 可得圆心到曲线的渐近线的距离， 又由圆的半径为1，所以曲线的渐近线与圆相切，所以C正确； 联立方程组 ，整理得，则，，所以，所以D正确．故选：ACD． 6．AD 【分析】设，用坐标表示点的几何性质化简得轨迹方程，判断A，求出轨迹E上的点到定点F的距离，利用A中方程中的范围可得最小值判断B，同时判断C，求出与平行且与轨迹相切的直线方程后可得轨迹上的点到直线的距离的最小值判断D． 【详解】设，则，化简得， 所以轨迹E的方程是，A正确． 轨迹E上的点到定点F的距离为 ， 因为或，所以距离的最小值为1； 轨迹E上的点Р到定直线l：距离的最小值为，B，C不正确． 设直线m：与双曲线E相切， 联立，得， 由，解得， 易知切线m：到直线l：的距离最小， 当时，解方程得， 当时，，所以切点即为所求， 此时最小值，D正确．故选：AD． 7．BC 【分析】根据已知条件判断的大小关系，结合双曲线定义判断轨迹的图形. 【详解】当时，，故轨迹为双曲线的右支； 当时，，故轨迹为射线；故选：BC. 8． 【分析】根据椭圆的焦点及顶点得出进而得出双曲线的标准方程，结合渐近线公式得出渐近线. 【详解】设双曲线的方程为，因为椭圆的焦点为， 长轴顶点为，所以，，所以. 故双曲线的标准方程为，渐近线方程为. 故答案为：；. 9． 【分析】利用待定系数法来求解即可. 【详解】设双曲线的标准方程为， 代入点得： ，解得， 所以双曲线的标准方程为.故答案为：. 10． 【分析】连结，可得，则为定值，求得点的轨迹为双曲线，并求出，得到双曲线的方程，即所求的的轨迹方程. 【详解】连结，，点在线段的垂直平分线上， 所以点的轨迹为双曲线，，所以 所以双曲线的轨迹方程为 【点睛】本题通过几何关系，找到点的轨迹，然后根据题意找出相应的，求出轨迹方程.属于中档题. 11．（1）以为圆心，半径为的圆；（2） 【分析】（1）设，，由中点坐标公式可得，进而可得代入圆的方程化简即可得轨迹方程，进而可得轨迹； （2）设，，由列方程，整理即可得轨迹方程. 【详解】（1）设，， 则，所以，因为点在圆上运动， 所以，即； 所以线段的中点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. （2）设，，可得，， 由题意可得：，整理可得：，即. 题号 难度 知识点细目表 一、单选题 1 全部 待定系数法求双曲线的标准方程 2 全部 待定系数法求标准方程 3 全部 定义法求双曲线的轨迹方程 4 全部 定义法求双曲线的轨迹方程 二、多选题 5 全部 直接法求双曲线标准方程的求法 6 全部 直接法求双曲线的轨迹方程 7 全部 定义法求双曲线的轨迹方程 三、填空题 8 全部 待定系数法求双曲线的标准方程 9 全部 根据双曲线过的点求标准方程 10 全部 定义法求双曲线的轨迹方程 四、解答题 11 全部 参数法与直接法求双曲线的轨迹方程 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $