精品解析：宁夏回族自治区银川市唐徕中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

银川市唐徕中学2025-2026学年第一学期高一年级月考一 数学试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，关于的方程有实数解，则命题的否定是（ ） A. ，关于的方程没有实数解 B. ，关于的不等式有实数解 C. ，关于的方程没有实数解 D. ，关于的不等式有实数解 3. 设平面四边形ABCD的两条对角线为AC、BD,则“”是“四边形ABCD为菱形”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知两个实数，一个大于1，另一个小于1，设，则（ ） A. B. C. D. 与的大小不确定 5. 已知，若，则的值是（ ） A. 1或或2 B. 或2 C. 1或2 D. 2 6. 已知，则的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，集合，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 不等式的解集为，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 不等式解集为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 当时，的最大值是__________． 13. 已知，则__________． 14. 设，记．若，则的最大值是__________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设集合，已知． （1）求集合； （2）写出集合的所有子集： （3）设集合，若，求实数的取值范围． 16. 在和中． （1）设，设，判断是的什么条件： （2）你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） （3）在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 17. 已知，且． （1）求的最小值： （2）求的最小值： （3）求的最小值． 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围： （3）若，解关于的不等式． 19. 加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降，每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定．为了比较哪种加油方式更经济，请回答以下问题： （1）你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？ A．多次加油的钱数总和； B．多次加油的油量总量； C．多次加油的平均单价. （2）为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为元/升和元/升，如果两次加油都采用第一种策略，设每次加油升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油元，请用上面你选择的标准比较哪种策略更经济； （3）类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济； （4）归纳（2），（3）的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学2025-2026学年第一学期高一年级月考一 数学试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义直接求得结果. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：C 2. 设命题，关于的方程有实数解，则命题的否定是（ ） A. ，关于的方程没有实数解 B. ，关于的不等式有实数解 C. ，关于的方程没有实数解 D. ，关于的不等式有实数解 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，关于的方程有实数解”是全称量词命题， 其否定是存在量词命题，命题的否定是：，关于的方程没有实数解. 故选：C 3. 设平面四边形ABCD的两条对角线为AC、BD,则“”是“四边形ABCD为菱形”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若,四边形ABCD不一定是菱形 若四边形ABCD为菱形,则一定有成立 所以“”是“四边形ABCD为菱形”的必要不充分条件 故选:B． 4. 已知两个实数，一个大于1，另一个小于1，设，则（ ） A. B. C. D. 与的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用作差法比较大小即得. 【详解】由两个实数，一个大于1，另一个小于1，不妨令， 则，所以. 故选：A 5. 已知，若，则的值是（ ） A. 1或或2 B. 或2 C. 1或2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式列方程，由此求得的值. 【详解】当时，则，解得，不满足，所以无解； 当时，则，解得， 不满足，满足，所以； 当时，则，解得，不满足，所以无解； 故选：D. 6. 已知，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，得，则， 所以的范围是. 故选：B 7. 若，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式列式求解. 【详解】由，，得，则， 即，因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是6. 故选：C 8. 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，再由不等式恒成立讨论的取值即可求解. 【详解】由题可得命题是真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则有，解得， 综上：实数的取值范围是，故A正确. 故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，集合，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集、补集、并集的定义，结合子集的意义逐项判断. 【详解】由，得或，则或，而， 对于A，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，或或，C错误； 对于D，或，则，D正确. 故选：ABD 10. 设，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的性质，逐一分析各选项，并通过代入计算判断各等式是否成立． 【详解】选项A：用替代，则，故A正确； 选项B：用替代，则，故B错误； 选项C：由选项B知，，故C正确； 选项D：用替代，则， ，，故D错误． 故选：． 11. 不等式的解集为，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 不等式解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得方程的两个根分别为，然后利用根与系数的关系，结合，可得的关系，再逐个分析判断. 【详解】因为不等式的解集为，其中， 所以方程，即的两个根分别为，且， 所以，即， 对于A，，所以A正确， 对于B， ， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以由，得， 所以，得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 即不等式解集为，所以D正确， 故选：ACD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 当时，的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件对进行变形，再利用基本不等式求解． 【详解】，， ，当且仅当，即时等号成立， 的最大值为． 故答案为：． 13. 已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可得且，即可求解. 【详解】由题知，且， 所以. 故答案为：. 14. 设，记．若，则的最大值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式并作出其大致图象，进而求出最大值. 【详解】函数，， 由，得，解得或； 由，得，解得， 则， 又，，作出的大致图象，如图， 结合图象知的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设集合，已知． （1）求集合； （2）写出集合的所有子集： （3）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2），，，. （3） 【解析】 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【小问1详解】 由，所以，得， 则，解得或， 所以. 【小问2详解】 由， 所以集合的子集为：，，，. 【小问3详解】 由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 16. 在和中． （1）设，设，判断是的什么条件： （2）你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） （3）在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】（1）必要非充分条件 （2） 的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. 必要性：若为等边三角形，即， （3） 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 【解析】 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【小问1详解】 由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 已知，且． （1）求的最小值： （2）求的最小值： （3）求的最小值． 【答案】（1）9； （2）5； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用求解各个最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用求解各个最小值. （3）根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用求解各个最小值. 【小问1详解】 由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值9. 【小问2详解】 由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值5. 【小问3详解】 由，且，得， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围： （3）若，解关于的不等式． 【答案】（1）； （2）； （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）把代入函数式，确定函数取值情况求出不等式的解集. （2）利用一元二次型不等式恒成立，分类讨论求解. （3）分类讨论求解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 当时，函数，当且仅当时取等号， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式， 当时，，不等式的解集不为； 当时，由不等式的解集为，得， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降，每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定．为了比较哪种加油方式更经济，请回答以下问题： （1）你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？ A．多次加油的钱数总和； B．多次加油的油量总量； C．多次加油的平均单价. （2）为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为元/升和元/升，如果两次加油都采用第一种策略，设每次加油升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油元，请用上面你选择的标准比较哪种策略更经济； （3）类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济； （4）归纳（2），（3）的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明） 【答案】（1）C； （2）第二种策略更经济； （3）第二种策略更经济； （4）在多次加油的情况下，油价不全相等时，每次加油所花费的钱数一定的策略总比每次加油的数量一定的策略更经济 【解析】 【分析】（1）由多次加油的钱数总和、油量总量及平均单价的意义判断. （2）求出两种策略的平均单价，利用基本不等式比较大小即可. （3）求出两种策略的平均单价，利用作商法，结合基本不等式比较大小即可. （4）由（2）（3）总结出一般性结论. 【小问1详解】 对于A，多次加油的钱数总和：总花费受总油量影响，策略不同导致总油量不同，无法直接比较经济性； 对于B，多次加油的油量总量：总油量受油价变化影响，但未考虑总花费，无法反映成本效率； 对于C，多次加油的平均单价：定义为总花费除以总油量，即单位油量的平均成本，能直接衡量经济性（平均单价越低越经济）， 所以合适的是C. 【小问2详解】 第一种策略，两次加油的平均单价为； 第二种策略，两次加油的平均单价为， 而，当且仅当时取等号，因此当时，， 所以第二种策略更经济. 【小问3详解】 设三次加油的单价分别为元/升、元/升和元/升，， 第一种策略，每次加油升，三次加油的平均单价为； 第二种策略，每次加油元，三次加油的平均单价为， 则 ，即， 当且仅当时取等号，当不全相等时，， 所以第二种策略更经济. 【小问4详解】 由(2)(3)可以归纳出更一般结论：在多次加油的情况下，油价不全相等时，每次加油所花费的钱数一定的策略总比每次加油的数量一定的策略更经济. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $