18.4整数指数幂（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025－2026学年人教版八年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 18.4整数指数幂（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 、负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 题型1负整数指数幂的定义理解 例1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】根据负整数指数幂公式以及零指数幂公式，对每个选项进行计算判断． 【详解】解：A、，故不正确； B、，故不正确； C、，故正确； D、而，∴，故不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的公式，准确进行计算． 【变式1-1】．（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的定义，一个数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，根据负整数指数幂的运算法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1-2】．计算的结果是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据（，m为正整数）求解即可． 【详解】解：， 故选：． 【变式1-3】．计算： ， ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据（，m为正整数）求解即可． 【详解】解：，， 故答案为：，． 题型2利用负整数指数幂计算 例2．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是关键． （1）（2）利用负整数指数幂、积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）． （2）． 故答案为：，． 【变式2-1】．计算： ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算方法是解题的关键． 先去括号约分然后运用负整数指数幂，最后化为最简形式即可得出结果． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式2-2】．计算 ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算、负整数指数幂、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查负整数指数幂，积的乘方，单项式乘单项式，根据积的乘方，单项式乘单项式的运算法则，计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】．计算： ． 【答案】1 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：1． 知识点2 、整数指数幂的性质 1. 整数指数幂的运算性质： 同底数幂的乘法 同底数幂的除法 幂的乘方 积的乘方 分式的乘方 0指数幂 题型3 整数指数幂的混合运算 例3．计算： ． 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算 【分析】根据根据积的乘方的运算法则，可得到，再根据单项式的除法法则以及负整数指数幂的运算法则可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，单项式的除法法则，负整数指数幂的运算法则等知识点，熟记和灵活应用公式是解决问题的关键． 【变式3-1】．计算的值 ． 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算、负整数指数幂 【分析】先按积的乘方，再按同底数幂的乘法分别运算好，根据负整数指数幂的意义得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是整数指数幂的运算，掌握整数指数幂的运算法则是解题关键． 【变式3-2】．计算： ． 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算 【分析】本题考查幂的混合运算，注意负整数指数幂的运算法则，注意符号． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-3】．计算： (结果写成最简分式) 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算 【分析】首先计算积的乘方，再用同底数幂的除法，最后再化成最简分式即可． 【详解】解：原式= = x-1y= ． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了分式与负指数幂的公式，关键是熟练掌握负指数幂公式，根据负指数幂的公式变形即可得出结果． 知识点3 、科学记数法 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 题型4 用科学记数法表示绝对值小于1的数 例4．晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为 ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查了科学记数法转化为小数，解题的关键在于掌握科学记数法还原规则，即把a的小数点向左移动n位． 将的小数点向左移动5位即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-1】．一个正方体木箱的棱长是0.8m（结果用科学记数法表示）． (1)这个木箱的体积是多少？ (2)若有一种小立方块的棱长是，则需要多少个这样的小立方块才能将木箱装满？ 【答案】(1)． (2)需要个这样的小立方块才能将木箱装满． 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用有理数的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】（1）解：． 故这个木箱的体积是． （2）（个）． 故需要个这样的小立方块才能将木箱装满． 【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数的乘除运算，正确掌握立方体体积计算方法是解题关键． 【变式4-2】．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． （1）根据科学记数法的定义表示各数即可， （2）先列出算式，再根据科学记数法的定义表示结果即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：． 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 【变式4-3】．一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 题型5还原用科学记数法表示的小数 例5．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法的表现形式以及同底数幂的除法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据科学记数法的概念解答即可； （2）用橘子的质量除以一粒澳大利亚出水浮萍果实的质量即可求解． 【详解】（1）解：，，； （2）解：（个）， 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 【变式5-1】．用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，解题的关键是正确理解科学记数法表示的数中还原成小数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． （）把小数点向左移动位即可得出答案， （）把小数点向左移动位即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式5-2】．下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】还原用科学记数法表示的小数、将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把的形式还原成原数，在中，当时，则小数点向左移动位，当时，则小数点向右移动位，即可． （1）根据题意，，小数点向左移动位，即可； （2）根据题意，，小数点向右移动位，即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式5-3】．空气的密度是，用小数把它表示出来． 【答案】0.001293 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】根据负整数指数幂进行运算即可． 【详解】解析：， 答：用小数表示为0.001293． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂运算法则． 题型6利用整数指数幂进行运算的逆用与变形 例6．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，负整数指数幂，根据已知可得，同底数幂的乘法运算法则得出，代入即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式6-1】．按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，熟练掌握幂的运算法则正确计算是解决此题的关键． （1）根据幂的乘方法则，同底数幂相乘法则计算得出，然后把整体代入计算即可； （2）根据幂的乘方法则，同底数幂相乘法把变形为，则可求出，然后根据幂的乘方法则，积的乘方法则以及同底数幂相除法则计算，最后把m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【变式6-2】．若有理数a，b，c满足，请比较，，的大小，并用“＜”连接． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，乘方计算，解题的关键是掌握完全平方公式． 利用完全平方公式及平方的非负性，求出，然后代数求值，比较大小即可． 【详解】解： ∴ ∴， ∴，，， ∴． 【变式6-3】．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，负整数指数幂，应用整体思想是解题的关键． 先将变形得到，再将变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 题型7根据式子有无意义的条件求值 例7．若有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．，且 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂及零次幂有意义的条件，熟练掌握负整数指数幂及零次幂有意义的条件，是解题的关键． 根据负整数指数幂及零次幂有意义的条件得出不等式，求解不等式即可得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得，且． 故选：D． 【变式7-1】．若式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【变式7-2】．若无意义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂的性质得到，解之代入求值即可． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式7-3】．若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的底数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 题型8有关整数指数幂的新定义题型 例8．定义新运算：，． (1)计算： (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查负整数指数幂，整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）利用定义的新运算列式，再利用负整数指数幂计算即可； （2）利用定义的新运算列式，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， 原式 ． 【变式8-1】．对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算． （1）先得到新定义运算的式子，再计算即可； （2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴，， ∴， ∴ ∴． 【变式8-2】．定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)2 【分析】题目主要考查新定义运算，负整数指数幂，有理数的混合运算，理解题意是解题关键． （1）根据题意代入计算求解即可． （2）首先根据得出，接着变形为，然后整理原式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】．定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了定义幂的新运算．熟练掌握新运算规则，同底数幂的除法法则，是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 题型9 有关整数指数幂的规律探究 例9.（1）若规定当时，（为正整数），如．请你仿照计算，，，，并将结果化为小数，观察这些结果，比较小数点前后连续的0的个数与10的指数，它们有什么关系？ （2）利用（1）的规律，得，这样0.0054就用科学记数法表示出来了．请你照此方法用科学记数法表示下列各数： ①0.0605；②0.0000000863． 【答案】（1）小数点前后连续的0的个数与10的指数的绝对值相同． （2）①． ②． 【分析】（1）根据题意，计算出的值；通过观察可得到规律：小数点后连续零的个数（包括小数点前的那个零）与10的指数的绝对值相等； （2）结合上述规律，即可得到（2）的答案． 【详解】解：（1），， ， 由上观察可得（n为正整数）可写成的形式，所以小数点前后连续的0的个数与10的指数的绝对值相同． （2）①． ②． 【点睛】本题考查了有理数的负整数指数幂和科学记数法，掌握当时， （为正整数）是解题的关键． 【变式9-1】．按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，观察可得相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数，据此可根据同底数幂乘法计算打得到． 【详解】解：由题意得，相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数， 不妨设x、y、z的指数分别为a、b、c， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】．【发现规律】；；；…… （1） 【验证规律】 （2）请你用含正整数n的等式表示你所发现的规律并进行验证； 【拓展延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，则的值为 ． 【答案】（1）21；（2），验证见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式的应用，数字类规律的探索，负整数指数幂，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）根据题干的等式找出规律即可求解； （2）根据题干的等式找出规律即可求解； （3）设整数为，则由题意得，利用完全平方公式化简得到，而是6的倍数，故余数为3，再由负整数指数幂求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； …… ∴， 故答案为：21； （2）； ； ； …… ∴， ∵ ， ∴结论成立； （3）设整数为， 则由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】．观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查数字类规律题，同底数幂的乘法，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题干找出规律即可得解； （2）根据题干找出规律即可得解； （3）由（2）的结论得到，，再分别取，2，3，……，再代入运算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）由题意可知，左边前后3的指数差1， 总结规律得：第n个等式：． 证明：左边右边， ∴等式成立． （3）∵， ∴， 原式 ． 题型10有关整数指数幂的实际问题 例10．一块900平方毫米的芯片上能集成10亿个电子元件，平均每个这样的电子元件占多少平方毫米？ 【答案】平均每个这样的电子元件占平方毫米 【分析】根据“平均每个电子元件占地面积 =芯片总面积电子元件总个数”，将数值代入进行除法运算，并转化为科学记数法形式． 本题主要考查科学记数法的运算及除法的实际应用，熟练掌握科学记数法的表示方法和除法运算规则是解题的关键． 【详解】解：（平方毫米）． 答：平均每个这样的电子元件占平方毫米． 【变式10-1】．通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（以20滴水为计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？ 【答案】1滴水（以20滴水为计）中大约有个水分子，大约需要31773年才能数完． 【分析】此题考查负整数指数幂计算，先求出1滴水的质量，再除以1个水分子的质量即可得到1滴水中水分子的数量；求出每分钟数的数量，利用工作时间=工作总量除以每分钟的工作量求出工作时间． 【详解】解：1滴水的质量为1克克千克， 1滴水中水分子数量为个； 10亿人人， 每分钟计数数量总量为个， 总工作量为个， 总时间为分钟， 分钟年， ∴大约需要31773年才能数完． 【变式10-2】．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，根据题意可列式，据此计算求解即可． 【详解】解： 答：个这样的细胞排成的细胞链的长为． 【变式10-3】．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，根据题意可列式，然后计算求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ． 答：个这样的细胞排成的细胞链的长度为． 例11．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及负整数指数幂，零指数幂，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握分式的化简． 先求出的值，再化简分式，然后代数求值即可． 【详解】解：， 将代入上式得， 原式． 【变式11-1】．对实数定义一种新关系（其中为实数）， (1)满足关系的，当时，判断随增加而增加还是减小，并证明你的结论． (2)是否存在实数，使得：若满足关系，则也满足关系；若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时，y随x的增加而减小；见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义的运算，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先设，整理，结合，则，即，所以，，得出，即当时，y随x的增加而减小． （2）根据满足关系，则，因为也满足关系，则有，得，解得：，即可作答． 【详解】（1）解：设， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴当时，y随x的增加而减小． （2）解：存在实数，使得若满足关系，则也满足关系， 证明：∵满足关系， ∴， 若也满足关系，则有， ∴， ∴ 则 ∴ ∴ ∴ 解得：． ∴存在实数，使得若满足关系，则也满足关系， 【变式11-2】．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数， 表示，，这三个数中最大的数，如： ，； ， 解决下列问题： (1)填空：_________； (2)若，求的取值范围； (3)①若，那么_________； ②根据①，你发现结论“若，那么_________．”（填，，大小关系） ③运用②解决问题：若，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)；； 2 【分析】本题考查算数平均数、解一元一次不等式、解二元一次方程，其中根据题中的信息比较三个数或代数式的大小，并由此确定字母的取值范围是解答本题的关键． （1）表示，，这三个数中最大的数，找到最大的数字即为所求． （2）因为表示，，2这三个数中最大的数是5，由此得出其他两个代数式都小于或等于5，解不等式组，解集即为所求的x的取值范围． （3）①表示这三个数的平均数，计算，所以，由此得出其他两个代数式都大于或等于x+1，从而得出x=1，即三个算式相等时，成立． ②由①的发现的结论得出，时，． ③由②的结论得出，，得出，解得，从而得出结论． 【详解】（1）解∶． 故答案为：1． （2）∵， ∴， 这个不等式组的解集为． ∴x的取值范围． （3）①∵，， ∴， ∴， 这个不等式组的解集为． 故答案为：1． ②∵，， ∴， 当a时，，此时， ∴， 同理，当b时，得， 当b时，得． 综上所得，时，． 故答案为：． ③由②的结论知，∵， ∴， 即， 这个方程组的解为， ∴． 【变式11-3】．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即：．例如：． 的最小值为3 请根据阅读材料解决下列问题： (1)，求的值； (2)已知，求的值； (3)仿照材料，当x，y为何值时，代数式取得取小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是非负数的性质、代数式求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答； （2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答； （3）首先把已知代数式变为，然后利用完全平方公式进行配方，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解： ∴ 解得： ∴ （2）解： ∴ 解得 ∴ （3）解： ∵ ∴代数式取得取小值为，此时 ，解得 ∴当时，代数式取得取小值，最小值为． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．一个细胞约有克． 数字 用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．当原数的绝对值大于0而小于1时，n是负整数，n的绝对值等于原数左边第一个非零数前面所有零的个数． 【详解】解：， 故选：B． 2．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的负整数指数运算，正确计算的解题的关键． 直接利用负指数幂的性质分别化简，然后通分即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故选：D． 3．已知，则的值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂．根据同底数幂的乘除法法则，可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂、合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂、合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 5．如果，，，那么a、b、c三数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，有理数的大小比较，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再比较大小即可． 【详解】解：，，， 又∵， ∴． 故选：A． 6．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中计算正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、完全平方公式、积的乘方以及合并同类项的运算，分别根据负整数指数幂、零指数幂、完全平方公式、积的乘方、合并同类项的运算法则，对每个式子进行计算，判断其正确性，即可解答． 【详解】解：①，错误． ②任何非零数的0次方都为1，，正确． ③，错误． ④，正确． ⑤，正确． 所以②④⑤正确， 故选D． 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法，负整数指数幂，由，又，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，逐一验证各式的正确性，统计正确个数即可． 【详解】解：①：，错误； ②：，正确； ③：，错误； ④：，正确； ⑤：，错误； ⑥：，错误； ⑦：，正确． 综上，②、④、⑦正确，一共3个， 选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算： 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握零指数幂、负整数指数幂成为解题的关键． 先计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后再加减计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是 ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键．根据一个水分子的质量两个氢原子的质量一个氧原子的质量，列式计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】先将所求式子进行变形，再代入已知条件计算． 【详解】解： ． ，代入上式得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方公式，将所求式子转化为含有已知条件的形式． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的运算和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则． 利用负整数指数幂的运算和积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，完全平方公式，根据，得到，代入，得到，非负性求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，熟记是解题的关键； （1）根据计算即可； （2）根据计算即可； （3）根据计算即可； （4）根据计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 15．计算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查零指数，负指数幂，乘方，整式的混合运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算乘方，零次幂，负指数幂，再进行加减计算即可； （2）先运用完全平方公式和平方差公式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 16．我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算： ； ； (2)如果，那么 ；如果，那么 ； (3)如果，且a、k为整数，求满足条件的a、k的取值． 【答案】(1)； (2)3； (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合a、k都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a、k都是整数， ∴当时，， 当时，， 当时，． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数混合运算和分式混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据绝对值意义，算术平方根定义，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 18．计算下列各式，并把结果化为只含有正整数次幂的形式． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算及负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后根据同底数幂的乘除法法则进行计算，最后把结果化为只含有正整数次幂的形式即可； （2）利用同底数幂的乘除法法则进行计算，最后把结果化为只含有正整数次幂的形式即可． 【详解】（1）解：原式． ． ． （2）解：原式． ． ． ． 19．（1）计算：； （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步         第二步     第三步         第四步         第五步         第六步 任务一：①以上化简步骤中，第二步的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步出错的原因是______； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）2；（2）任务一：①分式的基本性质；②第五步；去括号时符号错误；任务二：；任务三：分式化简时要注意分子、分母的因式分解要彻底，约分要准确等． 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算． （1）先将绝对值，负整数幂，0次幂化简，再进行计算即可； （2）先将各个分子分母因式分解，再通分即分进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 任务一：①以上化简步骤中，第二步的依据是分式的基本性质； ②第五步开始出现错误，这一步出错的原因是去括号时符号错误； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：建议为：分式化简时要注意分子、分母的因式分解要彻底，约分要准确等． 故答案为：分式的基本性质；第五步；去括号时符号错误；． 20．【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 【答案】（1），；（2）3，；（3） 【分析】本题考查饿了立方根、负整数指数幂，理解题意，正确计算是解此题的关键． （1）根据阅读材料中次方的定义计算即可得解； （2）根据阅读材料中对数定义计算即可得出答案； （3）根据如果，，，，那么，结合（2）中对数定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， 81的四次方根等于， ， 的五次方根等于； （2）， ， ， ； （3）， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 18.4整数指数幂（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 、负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 题型1负整数指数幂的定义理解 例1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（   ） A． B． C． D．3 【变式1-2】．计算的结果是（   ） A．3 B． C． D． 【变式1-3】．计算： ， ． 题型2利用负整数指数幂计算 例2．计算： （1） ． （2） ． 【变式2-1】．计算： ． 【变式2-2】．计算 ． 【变式2-3】．计算： ． 知识点2 、整数指数幂的性质 1. 整数指数幂的运算性质： 同底数幂的乘法 同底数幂的除法 幂的乘方 积的乘方 分式的乘方 0指数幂 题型3 整数指数幂的混合运算 例3．计算： ． 【变式3-1】．计算的值 ． 【变式3-2】．计算： ． 【变式3-3】．计算： (结果写成最简分式) 知识点3 、科学记数法 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 题型4 用科学记数法表示绝对值小于1的数 例4．晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为 ． 【变式4-1】．一个正方体木箱的棱长是0.8m（结果用科学记数法表示）． (1)这个木箱的体积是多少？ (2)若有一种小立方块的棱长是，则需要多少个这样的小立方块才能将木箱装满？ 【变式4-2】．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【变式4-3】．一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 题型5还原用科学记数法表示的小数 例5．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【变式5-1】．用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【变式5-2】．下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 【变式5-3】．空气的密度是，用小数把它表示出来． 题型6利用整数指数幂进行运算的逆用与变形 例6．如果，那么的值为 ． 【变式6-1】．按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 【变式6-2】．若有理数a，b，c满足，请比较，，的大小，并用“＜”连接． 【变式6-3】．已知，求的值． 题型7根据式子有无意义的条件求值 例7．若有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．，且 【变式7-1】．若式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】．若无意义，则 ． 【变式7-3】．若式子有意义，则的取值范围是 ． 题型8有关整数指数幂的新定义题型 例8．定义新运算：，． (1)计算： (2)求 【变式8-1】．对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【变式8-2】．定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【变式8-3】．定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 题型9 有关整数指数幂的规律探究 例9.（1）若规定当时，（为正整数），如．请你仿照计算，，，，并将结果化为小数，观察这些结果，比较小数点前后连续的0的个数与10的指数，它们有什么关系？ （2）利用（1）的规律，得，这样0.0054就用科学记数法表示出来了．请你照此方法用科学记数法表示下列各数： ①0.0605；②0.0000000863． 【变式9-1】．按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是 ． 【变式9-2】．【发现规律】；；；…… （1） 【验证规律】 （2）请你用含正整数n的等式表示你所发现的规律并进行验证； 【拓展延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，则的值为 ． 【变式9-3】．观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 题型10有关整数指数幂的实际问题 例10．一块900平方毫米的芯片上能集成10亿个电子元件，平均每个这样的电子元件占多少平方毫米？ 【变式10-1】．通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（以20滴水为计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？ 【变式10-2】．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 【变式10-3】．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 例11．先化简，再求值：，其中 【变式11-1】．对实数定义一种新关系（其中为实数）， (1)满足关系的，当时，判断随增加而增加还是减小，并证明你的结论． (2)是否存在实数，使得：若满足关系，则也满足关系；若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【变式11-2】．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数， 表示，，这三个数中最大的数，如： ，； ， 解决下列问题： (1)填空：_________； (2)若，求的取值范围； (3)①若，那么_________； ②根据①，你发现结论“若，那么_________．”（填，，大小关系） ③运用②解决问题：若，求的值． 【变式11-3】．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即：．例如：． 的最小值为3 请根据阅读材料解决下列问题： (1)，求的值； (2)已知，求的值； (3)仿照材料，当x，y为何值时，代数式取得取小值，最小值为多少？ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．一个细胞约有克． 数字 用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A．8 B．9 C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果，，，那么a、b、c三数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中计算正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．②④⑤ 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算： 10．水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是 ．（结果用科学记数法表示） 12．计算的结果是 ． 13．已知 ，则的值为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 15．计算 (1) (2) 16．我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算： ； ； (2)如果，那么 ；如果，那么 ； (3)如果，且a、k为整数，求满足条件的a、k的取值． 17．计算： (1) (2) 18．计算下列各式，并把结果化为只含有正整数次幂的形式． (1)． (2)．19．（1）计算：； （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步         第二步     第三步         第四步         第五步         第六步 任务一：①以上化简步骤中，第二步的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步出错的原因是______； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 20．【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $