精品解析：辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题

辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高一10月联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合满足，则实数的值是（ ） A. 0或 B. 1或 C. 0或或1 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的集合. 【详解】因为，且， 当时，符合题意； 当时，又，所以或，解得或， 综上可得实数的取值集合为. 故选：C. 2. 如果x，y是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若“”，则两边平方得，即， 所以，充分性不成立； 若“”，则、同号，故“”，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设先得到，应用韦达定理将目标式化为关于的表达式，即可求最大值. 【详解】由题设，可得， 结合已知有，且，， ， 当时，取得最大值10. 故选：C 4. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定，将原不等式转换成，即可求解. 【详解】由题意可得，，即， 则有， 即， 解得或， 即解集为或 故选：B 5. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的定义结合函数恒成立问题求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以的最大值为. 故选：D. 6. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，得到，，，进一步将所求转换为二次函数的值域即可. 【详解】如图所示， ， 设，， 则，，是方程，即的两个正根，所以， 令，解得或， 所以，由题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，求实数的取值集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为对恒成立；分别在和两种情况下，结合二次函数性质可构造不等式组求得结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以对恒成立， 当时，不等式为，满足题意； 当时，，解得：， 综上所述：. 故选：B. 8. 已知函数满足：，若，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出，，再用赋值法结合应用不等关系计算求解即可. 【详解】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 在中令，则，即， 在中令，则，所以， 故得， 又 ； 又 ， 所以，即. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 集合的所有真子集为， B. 若（其中a，），则 C. D. 若a，b，，则是的充要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据真子集定义求解判断；对B，根据集合相等的定义求解判断；对C，根据子集的定义即可判断；对D，根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，集合的真子集为，，，故A错误‘ 对于B，由，得，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为等价于， 等价于， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果． 【详解】且， 对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，，则，当且仅当时取等号，故C不正确； 对于D，. 因为， 所以 （当且仅当,及,又因为,所以时取等号），故D正确． 故选：ABD． 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 对任意整数，有 C. 设函数，则的值域为 D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合所给新定义逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：设，则，对任意整数，， 则，故B正确； 对C：由，且，则，即， 故的值域为，故C正确； 对D：由，则，则有， 即， 又，故，则，即，故， 即的解集为，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知，，若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干所给方程用表示，代入到中，经过适当变形再利用基本不等式即可，注意检查取等条件是否复合题目所给范围. 【详解】当时，代入方程中得，不合题意； 当时，由变形为，又因为，所以， ， 当且仅当，即时取得， 把代入可得，符合题意. 综上所述，的最小值为. 故答案为： 14. 若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，而注意到，则结合二次函数对称轴得出a. 【详解】设， 则可将问题转化为， ，当且仅当， 即时等号成立，故，， 由于，则是最小值，则对称轴，， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，则为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，并验证即可； （2）由题意得到，再通过，，，分类讨论即可. 【小问1详解】 由题得， 因为，所以， 所以， 解得或． 当时，， 此时，满足条件； 当时，，此时，满足条件． 综上，或． 【小问2详解】 因为若，则为真命题， 所以． 当时，， 所以； 当时，由（1）知； 当时，无解，舍去； 当时，无解，舍去． 综上，的取值范围为． 16. （1）求解方程组的解集． （2）求解方程组的解集． （3）求解方程组的解集． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）两式相加，即可得，进而求出，即可求解； （2）将，代入，即可求解； （3）两式相除得，进而得或，再代入，即可求解. 【详解】（1）两式相加得，解得，代入，得到， 所以的解集为. （2）由得到，代入，得到， 解得或， 当时，，当时，， 所以方程组的解集为. （3）因为①，②， 易知，由①②得到， 整理得到，所以或， 当时，代入中得到，所以， 当时，代入中得到，所以， 所以方程组的解集为. 17. （1）已知，比较与的大小 （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将与利用作差法比较大小即可得解； （2）由求出的范围，由求出的范围，再利用不等式的同向可加性求解即可. 【详解】（1） ， 即； （2）因为，，， 则，， 所以. 18. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 【答案】（1），证明如下： . 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （2）证明： 由（1）及是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. （3）证明：由（1）可知. 取，则 ，故有 ， 则有， 因为， 所以 ， 故，且. 【解析】 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. （3）先由结论得到，再利用乘法法则证明结论. 【小问1详解】 ，证明略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 19. 已知一元二次函数．设方程的两个实数根，． （1）当，时，若的解集为，求的值； （2）若对于任意x，，，且为偶函数，求； （3）当时，，且当时，的最小值为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件确定函数表达式，然后根据不等式的解集得到方程的两个根，进而根据韦达定理求解参数值； （2）首先将已知条件代入函数表达式中，根据系数对应相等求解系数与的值，然后根据为偶函数，得，代入求解系数的值，进而求解函数解析式； （3）首先根据已知条件即韦达定理得到系数关系：，然后根据二次函数的表达式，结合二次函数的性质确定的最小值，求解出，最后再根据对勾函数求解的最大值即可. 【小问1详解】 已知，，则，所以. 因为的解集为，所以，且，是方程的两个根. 根据韦达定理可得：，解得：；，解得：. 由此可得：. 【小问2详解】 已知， 将，，代入可得： ， 整理得： ， 即：，得：，解得：，. 所以. 又为偶函数，所以， 将代入可得： ， 整理得： ， 即：，得：. 综上可得：. 【小问3详解】 因为为方程的两个实数根， 所以，，又，， 由， 得：，即. 因为，故此时二次函数的对称轴直线到直线与到直线的距离均为. 则二次函数的对称轴直线为. 由于，，故. 因此当时，的最小值为. 即 ， 令，根据对勾函数易知函数在上单调递增， 因此当时函数取得最小值，最小值为. 故当时取得最大值，最大值为 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高一10月联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合满足，则实数的值是（ ） A. 0或 B. 1或 C. 0或或1 D. 0或 2. 如果x，y是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，求实数的取值集合（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足：，若，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 集合的所有真子集为， B. 若（其中a，），则 C. D. 若a，b，，则是的充要条件 10. 已知且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 对任意整数，有 C. 设函数，则的值域为 D. 的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 13. 已知，，若，则的最小值为_____. 14. 若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，则为真命题，求实数的取值范围． 16. （1）求解方程组的解集． （2）求解方程组的解集． （3）求解方程组的解集． 17. （1）已知，比较与的大小 （2）已知，，求代数式和的取值范围. 18. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 19. 已知一元二次函数．设方程的两个实数根，． （1）当，时，若的解集为，求的值； （2）若对于任意x，，，且为偶函数，求； （3）当时，，且当时，的最小值为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $