精品解析：江苏省南京市宁海中学文化班2025-2026学年高一上学期段考数学试卷

2025-2026学年江苏省南京市宁海中学文化班高一（上）段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的零点为（ ）. A. B. C. 和5 D. 和 4. 已知a，b为实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0，1或 7. 若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为0 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个正根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 11. 已知，则下列正确的是（　　） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是________. 13. 若，则的值为__________． 14. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知，. （1）若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 给定两个命题：命题p：对于任意的实数x，都有恒成立：命题q：关于x的方程有实数根. （1）若p为真，求实数a的取值范围； （2）如果p、q均为假命题，求实数a的取值范围. 18. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）对于二次函数 ①当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； ②若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市宁海中学文化班高一（上）段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的元素个数，即可求得集合的子集个数，进而求解. 【详解】由题意有：集合中有2个元素，所以集合的子集个数为， 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】，的否定是，． 故选：A． 3. 函数的零点为（ ）. A. B. C. 和5 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得或， 所以函数的零点为和5. 故选：C. 4. 已知a，b为实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论. 【详解】由，可得且， 则由“”可得“”， 但是不能由“”得到“”，因为b可能为0， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的转化求解即可. 【详解】. 故选：D 6. 已知集合，，若，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0，1或 【答案】D 【解析】 【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可. 【详解】，， 由题意，当Q为空集时，，满足； 当Q不是空集时，， 由得或，解得或． 综上，a的值是0，1或. 故选：D 7. 若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助基本不等式“1”的应用可得的最小值，再解出对应不等式即可得. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 则，即，解得. 故选：D. 8. 若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式及已知条件得到，从而得到，即可判断. 【详解】∵、均为正数，且，∴． 又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，利用作差法判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 10. 已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为0 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个正根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【解析】 【分析】方程没有实数根，所以选项A错误；由题得，是的必要条件，所以选项B正确；由题得，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；由题得，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确. 【详解】对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误； 对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确； 对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确； 对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解. 11. 已知，则下列正确的是（　　） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将已知式化成，再根据各选项的待求式，利用基本不等式，通过消元变形即可逐一求出最值判断选项. 【详解】依题意，由，可得 对于A，由，故A正确； 对于B，由，结合A项， 因，当且仅当时等号成立， 由可得， 即当时，的最小值为，故B错误； 对于C，由A项， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，因，则， 由C项已得当时，取得最小值， 故此时取得最小值为，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形，再求出一元二次方程的根，即可写出不等式的解集. 【详解】不等式等价于 由于方程的解为：或 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查的是一元二次不等式的解法，是基础题. 13. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式以及开平方，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和一元一次不等式的解法列出不等式组，求出a、b的关系和符号，代入分式不等式化简后等价转化，由一元二次不等式的解法求出答案． 【详解】由题意知，不等式的解集是， 则当且仅当a＜0时，不等式的解集为， 所以，即 ， 所以不等式可化为，即， 等价于，即 ， 故不等式的解集为 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件与解绝对值不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解； （2）根据题意分类讨论与两种情况，利用混合运算的结果得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 当时，， 又， 所以. 【小问2详解】 因为，， 当时，，则，满足题意， 此时，解得； 当时，或，且， 又，所以，解得. 综上，或，即的取值范围为. 16. 已知，. （1）若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解不等式，再根据，的真假，分类讨论，即可求得答案； （2）根据是的充分不必要条件，列出相应不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由，得； 当时，由，得. 若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真， 当真假时，或，得； 当假真时，或，解得， 综上，实数的取值范围为或. 【小问2详解】 由，得. 因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 给定两个命题：命题p：对于任意的实数x，都有恒成立：命题q：关于x的方程有实数根. （1）若p为真，求实数a的取值范围； （2）如果p、q均为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次函数的性质，利用判别式法即可求解；（2）分别求出命题为假和命题为假的实数的取值范围，再求其交集即可求解. 【小问1详解】 若p为真，则对于任意的实数x，都有恒成立， 所以，所以， 所以实数a的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）可知若p为假命题，则或， 又q：关于x的方程有实数根为假命题， 所以，所以， 所以如果p、q均为假命题，则， 所以实数a的取值范围为 18. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． 【小问2详解】 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）对于二次函数 ①当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； ②若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】（1）和1 （2）①或或; ②6 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程可得函数的不动点. （2）①根据一元二次方程根的分布可求实数的取值范围； ②先根据一元二次方程根的分布确定实数的取值范围，并结合韦达定理表示，，再结合基本不等式可求的最小值. 【小问1详解】 令，可得， 可得，解得. 所以二次函数的不动点为和1. 【小问2详解】 对于①，由题知 令 解得或，由题可得或或 解得或或. 对于②，二次函数有两个不相等的不动点，且， 令. 由题可得有两个不相等的正实数根， 则必有.，解得，得到， 而 ， 当且仅当，即时等号成立． 的最小值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $