第6章 平面向量初步 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

数学　必修 第二册 RJB 第六章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ ★ 对点 向量的有关概念 共线向量；相等向量 和向量模的不等式 用基底表示向量 三点共线的常用结论的应用 共线向量基本定理的应用 平面向量基本定理在坐标系下的应用 利用平面向量基本定理求参数 向量共线的判定 平面向量的坐标运算 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 用基底表示向量 直线上向量的坐标 向量在运动学中的应用(速度的分解) 用基底表示向量 向量平行的坐标表示；三点共线问题 平面向量的坐标表示及运算 向量在运动学中的应用(速度的合成) 共线向量基本定理的应用；向量的坐标运算及应用 向量的线性运算；共线向量基本定理的应用；平面向量基本定理的应用 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法错误的是(　　) A．||＝|| B．e1，e2是单位向量，则|e1|＝|e2| C．若||>||，则> D．任一非零向量都可以平行移动 答案：C 解析：对于A，因为＝－，所以||＝||，故A正确；对于B，由单位向量的定义知，|e1|＝|e2|＝1，故B正确；对于C，两个向量不能比较大小，故C错误；对于D，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D正确．故选C． 2．如图，在等腰梯形ABCD中，给出下列结论：①与是共线向量；②＝；③>，其中结论正确的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 解析：与方向不相同也不相反，故①错误；与的长度相等，但方向不同，故②错误；向量是不能比较大小的，故③错误． 3．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值(　　) A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 答案：D 解析：∵a与b是共线的单位向量，∴当两个向量同向时，|a＋b|＝2|a|＝2；当两个向量反向时，|a＋b|＝0．故选D． 4．在△ABC中，AD为边BC上的中线，M为AD(靠近点A)的三等分点，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 答案：B 解析：根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝(＋)－＝－．故选B． 5．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D．1 答案：A 解析：因为N为AM的中点，＝λ＋μ，所以＝λ＋μ，即＝2λ＋2μ．因为M为边BC上任意一点，所以2λ＋2μ＝1，则λ＋μ＝．故选A． 6．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与b共线，则(　　) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 答案：D 解析：∵a与b共线，∴存在实数m，使a＝mb，∴e1＋λe2＝2me1，即λe2＝(2m－1)e1(e1≠0)，∴λ＝0且m＝或e2＝e1(λ≠0)，即e1∥e2． 7．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2CD＝2CB＝2，点P在线段BC上运动，若＝x＋y，则x2＋y2的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C，D，∴＝(2，0)，＝，＝，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝，∴＝＋＝，又＝x＋y＝x(2，0)＋y＝，∴解得∴x2＋y2＝＋λ2＝λ2－λ＋1＝＋≥，∴x2＋y2的最小值为．故选B． 8．如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC与OA相交于点E．若＝λ，则λ＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：解法一：设＝a，＝b，由题意得＝－＝＋－＝＋－＝＋－－＝2a－b．设＝μ＝2μ a－μb，又＝＋，＝λ＝λa，所以λa＝b＋2μ a－μb＝2μ a＋b，所以所以λ＝． 解法二：由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，如图，过点A作AF∥OB交CD于点F，则＝＝，即AF＝BD＝OD，故AE＝OE，则OE＝OA，又＝λ，故λ＝． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 答案：AB 解析：对于A，∵向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，∴a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由共线向量基本定理易知，若存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b共线，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能使a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，＝a，＝b，如果AB，CD是梯形的上、下底，则正确，否则错误．故选AB． 10．设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　) A．(2，2) B．(2，－2) C．(3，－1) D．(3，1) 答案：AD 解析：由题意，得＝或＝，＝(3，－3)．设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)．当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)，综上可得，点P的坐标为(2，2)或(3，1)．故选AD． 11．如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，＝2，PC与EH交于点G，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 答案：CD 解析：设＝λ，＝μ，因为F是线段EH的中点，所以＝(＋)＝＋，由＝2，可得＝，设＝t＝t(＋)＝t＝t＋(－)＝＋，则由平面向量基本定理可得解得λ＝2μ，又E，G，H三点共线，故可设＝m＋(1－m)＝mλ＋(1－m)μ，设＝n，由C为AD的中点可知＝(＋)，所以将λ＝2μ代入可得m＝，即＝＋，故A错误，C正确；又＝＋＝(＋)，＝＋＝μ＋，＝μ，设＝x＋y，则(＋)＝x＋yμ，即解得故＝＋，故B错误，D正确．故选CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，若x2＝4，且的坐标为－3，则x1＝________． 答案：7 解析：∵x2－x1＝－3，∴x1＝x2＋3＝7． 13．某物体做斜抛运动，初速度的大小|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上速度的大小是________m/s． 答案：5 解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示．由向量加法的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上速度的大小是5 m/s． 14．在△ABC中，＝，＝，记＝a，＝b，用a，b表示＝________；若＝，用a，b表示＝________． 答案：a＋b　a＋b 解析：因为＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b，又＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知向量a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． 解：(1)ka－b＝(k，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋(4，2)＝(5，2)． 当ka－b与a＋2b共线时，2(k－2)－(－1)×5＝0， 解得k＝－． (2)由已知可得＝2a＋3b＝(2，0)＋(6，3)＝(8，3)， ＝a＋mb＝(1，0)＋(2m，m)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三点共线， ∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0， 解得m＝． 16．(本小题满分15分)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)三点．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b． (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求点M，N的坐标及的坐标． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴解得 (3)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴M(0，20)． 又＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N(9，2)， ∴＝(9，－18)． 17．(本小题满分15分)一条宽为 km的河，水流速度的大小为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，一艘船在水中的最大航行速度的大小为4 km/h，问：该船从A码头到B码头怎样安排行船速度可使它最快到达B码头？此时用时多少？ 解：如下图，表示船的最大航行速度，表示水流速度，以AC，AD为邻边作▱ACED，且使AE与AB重合(方向才能确定)． 由题意知AC⊥AE． 在Rt△AED和▱ACED中， ||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°． ∴||＝＝2，sin∠EAD＝， ∴∠EAD＝30°， ∴∠CAD＝∠EAC＋∠EAD＝90°＋30°＝120°， 该船从A码头到B码头最快用时为＝(h)． 答：船的航行速度的大小为4 km/h，与水流速度成120°角时，能最快到达B码头，用时 h． 18．(本小题满分17分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值； (2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标； (3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2． ∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k， 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)， 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2． ∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ∴解得 (2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)． (3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴＝． 设点A(x，y)，则＝(3－x，5－y)． ∵＝(－7，－2)， ∴解得 即点A的坐标为(10，7)． 19． (本小题满分17分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点． (1)用和表示； (2)求； (3)设＝x＋y，求xy的取值范围． 解：(1)因为在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(＋－)＝＋＝＋． (2)由AM与BD交于点N，设＝t＝t＝＋，由B，N，D三点共线，知＋＝1，解得t＝．所以＝，所以＝4． (3)由题意，可设＝m，代入＝x＋y中，得＝x(－)＋y(＋)＝(x＋ym)＋(y－x)， 又＝＋＝＋， 所以 所以x＝y－1，y＝． 因为0≤m≤，所以1≤y≤， 所以xy＝(y－1)y＝y2－y＝－在上单调递增， 则当y＝1时，(xy)min＝0，当y＝时，(xy)max＝， 所以xy的取值范围为． 10 学科网（北京）股份有限公司 $