6.1.3 向量的减法-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

数学　必修 第二册 RJB 6．1．3　向量的减法 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：1．理解相反向量的定义、向量减法的意义及向量减法的三角形法则．2．掌握向量减法的几何意义．3．能熟练地进行向量的加、减运算． 教学难点：向量减法的法则及其应用． 核心素养：1．通过学习相反向量的定义、向量减法的意义培养数学抽象素养．2．通过应用向量减法的三角形法则解决问题培养直观想象素养和数学运算素养． 知识点一　向量减法的定义 (1)一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b． (2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，则向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝． 知识点二　向量减法的三角形法则 当a与b不共线时，求a－b的差可用下图表示，此时向量a，b，a－b正好能构成一个三角形，上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则． 知识点三　相反向量 (1)定义：给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a． (2)性质 ①零向量的始点与终点相同，因此－00； ②任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0； ③a－b＝a＋(－b)，即一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量； ④－(－a)＝a． [说明]　a＋b＝c⇔a＝c－b⇔b＝c－a，利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项． 知识点四　差向量模的不等式 向量a，b的模与a－b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|． 1．(向量的减法运算)化简：－＋－＝________． 答案：0 2．(利用向量的减法运算求模)若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________． 答案：2 3．(相反向量)已知▱ABCD，若＝a，＝b，试用a，b表示＝________，＝________，＝________，＝________． 答案：－a　－b　a－b　a＋b 题型一　向量减法的三角形法则　 　(1)如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c．求作b＋c－a． [解]　解法一：如图①，以OB，OC为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a．则即为所求． ① 　② 解法二：如图②，作＝＝b， 连接AD，则＝－＝c－a，＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a．则即为所求． (2)已知|a|＝8，|b|＝6，求|a－b|的取值范围． [解]　∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， 且|a|＝8，|b|＝6， ∴2≤|a－b|≤14， ∴|a－b|的取值范围是[2，14]． 【感悟提升】 1．作两向量的差的步骤 口诀：“作平移，共始点；两尾连，指被减”． 2．差向量模的不等式 处理与模有关的不等关系时，可利用不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|． 【跟踪训练】 1．(1)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c． 解：解法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，则＝b－c． 过点A作AD綊BC，则＝b－c， 则＝＋＝a＋b－c． 解法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c． 解法三：如图③，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c． (2)已知|a|＝m，|b|＝n(m>n)，|a－b|的取值范围是[5，15]，求m，n的值． 解：∵m－n＝||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|＝m＋n，|a－b|的取值范围是[5，15]， ∴解得 题型二　向量的减法运算　 　(1)已知C是线段AB的中点，则－＝________． [解析]　∵＝，∴－＝0． [答案]　0 (2)化简：－－＋． [解]　解法一(变为加法)： 原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0． 解法二(利用公式－＝)： 原式＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0． 解法三(利用公式＝－，其中O是平面内任一点)： 原式＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0． 【感悟提升】 1．向量减法运算的常用方法 2．注意满足下列两种形式可以化简 (1)首尾相连且为和． (2)始点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 3．化简向量的一般思路 将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量． 【跟踪训练】 2．(1)给出下列各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④－＋＋．对这些式子进行化简，则其中化简结果为0的式子的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：A 解析：对于①，＋＋＝＋＋＝＋＝0；对于②，－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；对于③，－＋＝(＋)＋＝＋＝0；对于④，－＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0．所以化简结果为0的式子的个数是4．故选A． (2)若P是平行四边形ABCD外一点，则－＋－＝________． 答案：0 解析：－＋－＝(－)＋(－)＝＋＝0． 题型三　用向量的加减法表示向量　 　如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝． [证明]　因为b＋c－a＝＋－＝＋－＝－＝＋＝，所以b＋c－a＝． 【感悟提升】用几个向量表示某个向量的步骤 (1)观察各向量的位置； (2)寻找(或作)相应的平行四边形或三角形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果． 【跟踪训练】 3．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，，，． 解：因为四边形ACDE是平行四边形，且＝b，＝c，所以＝b＋c，故由三角形法则得＝－＝b＋c－a，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝＝c，＝－＝c－b． 1．－＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：根据向量的减法法则知－＝． 2．设a，b是非零向量，则“a，b共线”是“|a－b|＝|a|－|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若a，b反向，则|a－b|≠|a|－|b|；反之，若a，b是非零向量，且|a－b|＝|a|－|b|，则a，b同向．所以“a，b共线”是“|a－b|＝|a|－|b|”的必要不充分条件．故选B． 3．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是(　　) A．＋＝0 B． －＝ C． ＋＝ D． ＋＝0 答案：ABD 解析：由||＝||，且与的方向相反，知与是一对相反向量，则＋＝0，故A正确；由向量减法的运算法则知－＝，故B正确；由－＝，得＝＋，故C错误；与是一对相反向量，所以＋＝0，故D正确． 4．化简－＋＝________． 答案： 解析：－＋＝＋＝． 5．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________． 答案： 解析：－－＋＋＝＋＋＝． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 向量减法的三角形法则 向量的加减法运算 向量的减法运算 向量的加减法运算 向量减法法则的几何应用 利用向量的加减法运算进行化简 向量的加减法运算 向量的加减法运算 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★★ ★★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★★ 对点 向量减法法则的几何应用 向量的加减法法则的几何应用 用向量的加减法表示向量 向量减法法则的几何应用 向量的加减法法则的几何应用 差向量模的不等式 向量的加减法法则的几何应用 向量的加减法法则的几何应用 一、单选题 1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　) A．＝＋ B．＝－ C．＝－＋ D．＝－－ 答案：B 解析：根据向量减法的三角形法则可知，＝－． 2．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　) A．＋＋＝0 B．－＋＝0 C．＋－＝0 D．－－＝0 答案：A 解析：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE綊AC，又F为AC的中点，∴DE綊CF，∴＝，又＝，∴＋＋＝＋＋＝0．故选A． 3．在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，则－＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由图可知∥，且||＝||，所以＝，所以－＝－＝． 4．O为平行四边形ABCD所在平面上的点，设＝a，＝b，＝c，＝d，则(　　) A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0 答案：B 解析：a－b＋c－d＝－＋－＝＋，又四边形ABCD是平行四边形，所以，为相反向量，其和为0．故选B． 5．在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 答案：B 解析：在四边形ABCD中，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形，又|－|＝|－|，即||＝||，所以平行四边形ABCD为矩形．故选B． 二、多选题 6．下列各式中能化简为的是(　　) A．＋(＋) B．(＋)＋(－) C．－＋ D．＋－ 答案：ABC 解析：＋(＋)＝＋＋＝＋＝；(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；－＋＝＋＝；＋－＝－，显然由－得不出．故选ABC． 7．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是(　　) A．＋＝＋ B．＋＝＋ C．＋＝＋ D．＋＝＋ 答案：BD 解析：∵＝－，＝－，∴－＝－，∴＋＝＋，∴B正确；∵－＝－＝，∴D正确．同理可得A，C错误．故选BD． 三、填空题 8．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________，d＋a＝________． 答案：c　b 解析：根据题意画出图形，如图所示，d－a＝－＝＋＝＝c．d＋a＝＋＝＋＝＝b． 9．如图，设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d．若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|，则四边形ABCD的形状是________． 答案：菱形 解析：由a＋c＝b＋d，得a－b＝d－c，即－＝－，∴＝，∴AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，又|a－b|＝|a－d|，∴|－|＝|－|，∴||＝||，∴平行四边形ABCD为菱形． 10．已知等边三角形ABC的边长为2，P为它所在平面内一点，且|－(＋)|＝1，则||的最大值为________． 答案：7 解析：如图，取BC的中点D，连接AD，延长AD至点E，使得AD＝DE，则|－(＋)|＝|－|＝||＝1，则点P在以E为圆心，1为半径的圆上，由图可知，当A，E，P三点共线，且点P远离点A时，||最大，且此时||＝2||＋1＝2×＋1＝7． 四、解答题 11．向量a，b，c，d，e如图所示，据图完成下列各题： (1)用a，d，e表示； (2)用b，c表示； (3)用a，b，e表示； (4)用d，c表示． 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e． (1)＝＋＋＝d＋e＋a． (2)＝－＝－－＝－b－c． (3)＝＋＋＝e＋a＋b． (4)＝＋＝－－＝－d－c． 12．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b，求证： (1)|a－b|＝|a|； (2)|a＋(a－b)|＝|b|． 证明：如图，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||． (1)在△ACM中， ＝－＝a－b． 于是由||＝||， 得|a－b|＝|a|． (2)因为＝＝a－b， 所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b)． 从而由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|． 13．(多选)已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则有(　　) A．|＋|＝|－| B．|－|＝|－| C．|－|＝|－| D．|－|2>|－|2＋|－|2 答案：ABC 解析：由条件可知||＝||，且∠A＝90°，以，为邻边的平行四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法法则可知|＋|＝|－|，故A正确；因为|－|＝||，|－|＝||，所以|－|＝|－|，故B正确；因为|－|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以|－|＝|－|，故C正确；|－|2＝||2，|－|2＝||2，|－|2＝||2，由条件可知||2＝||2＋||2，即|－|2＝|－|2＋|－|2，故D错误．故选ABC． 14．若非零向量a和b满足|a＋b|＝|b|＝2，则|a|的取值范围为________． 答案：(0，4] 解析：因为||a＋b|－|b||≤|a|＝|a＋b－b|≤|a＋b|＋|b|＝4，又a是非零向量，所以|a|的取值范围是(0，4]． 15．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，求|a＋b＋c|，|a＋c－b|，|c－a－b|的值． 解：如图所示， |a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝||＋||＝2． |a＋c－b|＝|＋－|＝|＋＋|＝|＋|＝||＋||＝2． |c－a－b|＝|－－|＝|－|＝0． 16．(2024·福建泉州一中高一月考)如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋． 证明：如图，作直径BD，连接DA，DC，则＝－，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，DC⊥BC，∴CH∥DA，AH∥DC， ∴四边形AHCD是平行四边形， ∴＝． 又＝－＝＋，∴＝＋＝＋＝＋＋． 13 学科网（北京）股份有限公司 $