6.1.1 向量的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

数学　必修 第二册 RJB 6.1.1　向量的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 教学重点：1.结合物理背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中的这些相关概念． 教学难点：1.对向量概念的理解.2.共线向量的理解和应用． 核心素养：1.通过对向量及相关概念的学习培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过运用向量及相关概念解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　向量的概念 一般地，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)． 知识点二　向量的表示方法 (1)向量的几何表示 我们可以用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向．通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点)，带箭头的端点称为向量的终点．有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向．始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示． (2)向量的字母表示 除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量．向量a的模也用|a|或||来表示． 知识点三　零向量与单位向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量．零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即.零向量的模为0，即|0|0．零向量的方向是不确定的． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1． 知识点四　向量的相等与平行 (1)相等向量：一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．向量a和b相等，记作a＝b． (2)平行向量：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b．两个向量平行也称为两个向量共线． [说明]　相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． [提醒]　(1)由于规定零向量与任意向量平行，所以平行向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为当b＝0时，向量a，c可以是任意的． (2)表示两个非零的共线向量的有向线段所在的直线未必一定平行，也可以是重合的． 1.(向量的相等)如图，四边形ABCD中，＝，则必有(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案：D 2．(零向量)零向量的方向是________，零向量的模等于________，零向量记作________． 答案：不确定的　0　0 3.(向量的相等与平行)如图，在正六边形ABCDEF中，设O为它的中心，与共线的非零向量有______________________________________，与相等的向量有____________． 答案：，，，，，，，，　，， 题型一　向量及相关概念　 　(1)下列各量中是向量的是(　　) A．时间 B．加速度 C．面积 D．长度 [解析]　加速度既有大小又有方向，符合向量的概念．故选B. [答案]　B (2)给出下列命题： ①向量的模和向量的模相等； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b. 其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 [解析]　①是真命题；②是假命题，若单位向量的方向不同，则终点不同；③是假命题，向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小． [答案]　A 【感悟提升】向量的判定及相关概念 (1)向量的判定 判定一个量是不是向量，关键看它是否具有向量的两要素：大小和方向．同时具备这两个要素的量是向量，否则就不是向量． (2)向量与有向线段的关系 如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段． (3)向量与数量的区别 ①向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量没有方向； ②数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|也不能说a>b. 【跟踪训练】 1．(1)汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h．给出下列说法：①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．其中正确说法的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：速度是既有大小又有方向的向量，不能比较大小，①错误；位移是既有方向又有大小的向量，不能比较大小，②错误；路程只有大小，可比较大小，显然汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程，③正确．故选B. (2)下列说法正确的是(　　) A．温度既有零上温度，又有零下温度，则温度是矢量 B．作用力与反作用力是一对大小相等，方向相同的矢量 C．向量的大小与有向线段的起点无关 D．向量的大小与有向线段的起点有关 答案：C 解析：温度的零上、零下之分不是方向，只是一种规定，故A错误；力是矢量，作用力与反作用力大小相等，方向相反，故B错误；向量的大小可用有向线段的长度表示，与有向线段的起点无关，故C正确，D错误．故选C. 题型二　向量的表示及应用　 　在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)，使||＝4，点A在O北偏东45°； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°. [解]　如图所示． 【感悟提升】用“四定一标”来表示向量 (1)“四定”即―→―→―→. (2)“一标”即确定向量的方向后用箭头标出． 【跟踪训练】 2．某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了10米到达点C，到达点C后又改变方向向西走了10米到达点D. (1)作出向量，，； (2)求的模． 解：(1)作出向量，，，如图所示． (2)由题意，得△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米，△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米． 题型三　向量的相等与平行　 　如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点． (1)写出与向量共线的非零向量； (2)求证：＝. [解]　(1)由共线向量的定义，得与向量共线的非零向量有，，，，，，，，，，. (2)证明：在▱ABCD中，AD綊BC， 又E，F分别为AD，BC的中点，∴ED綊BF. ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴BE綊FD，∴＝. 【感悟提升】相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【跟踪训练】 3．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中： (1)写出与方向相反的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC， 所以与方向相反的向量为，，，. (2)因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，且△ABC的三边均不相等，所以△DEF的三边均不相等，且EF＝BD＝DC， 所以与的模相等的向量为，，，，. (3)由(1)(2)可知，与相等的向量为，. 1．关于零向量，下列说法中错误的是(　　) A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度是0 C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的 答案：A 解析：零向量的方向是任意的，零向量的长度是0，零向量与任一向量平行．故选A. 2．如图，在⊙O中，向量，，是(　　) A．有相同始点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案：C 解析：||，||，||均为⊙O的半径，故||＝||＝||，由图形判断A，B，D均错误．故选C. 3．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有＝；⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确的命题的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 解析：对于①，两个向量相等是指两个向量大小相等，方向相同，所以它们的起点和终点不一定相同，故①不正确；对于②，若|a|＝|b|，方向不同，则a＝b不一定成立，故②不正确；对于③，在四边形ABCD中，若＝，则AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形，故③正确；对于④，在平行四边形ABCD中，一定有＝，故④正确；对于⑤，若m＝n，n＝k，则m＝k，故⑤正确；对于⑥，a∥b，b∥c，当b＝0时，a与c不一定共线，故⑥不正确．故选B. 4．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．模相等的向量都相等 C．四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝ D．一个向量方向不确定当且仅当模为0 答案：CD 解析：A不正确，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求两个向量，在同一条直线上；B不正确，向量的模相等，但方向并不一定相同；由向量相等的概念及零向量的概念，易知C，D正确．故选CD. 5．下图中，小正方形的边长为1，则||＝________，||＝________，||＝________． 答案：3　　2 解析：根据勾股定理可得||＝3，||＝，||＝2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 向量的概念 向量的模；单位向量；共线向量；相等向量 共线向量 向量的模 相等向量 向量的模；相等向量；共线向量 向量的模；相等向量；共线向量 零向量；单位向量 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 对点 向量的模的最值 向量的模；共线向量 向量的模；相等向量；共线向量 相等向量的应用及证明 向量的模；相等向量；共线向量 向量的表示及应用 向量的模 向量的表示及应用 一、单选题 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 解析：看所给的量是否既有大小又有方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量． 2．下列命题中正确的是(　　) A．单位向量的方向都相同 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 答案：D 解析：根据单位向量的概念可知，单位向量的模都等于1，但方向不一定相同，故A错误；根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；向量不能够比较大小，故C错误；根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确．故选D. 3.如下图所示，在△ABC中，DE∥BC，则向量，，，，，中的共线向量有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 答案：C 解析：与，与，与都是共线向量． 4．在平面内，已知点O固定，且||＝2，则点A构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 答案：C 解析：因为在平面内||＝2，且点O固定，所以点A在以点O为圆心，2为半径的圆上，故点A构成的图形是一个圆．故选C. 5．若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的端点，得到的向量中有n(n∈N＋)个是两两不相等的，则n的最大值是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案：B 解析：如图，两两互不相等的向量有，，，，，，，，共8个． 二、多选题 6.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中正确的是(　　) A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身) B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身) C.的长度恰为长度的倍 D.与不共线 答案：ABC 解析：易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量＝，故A正确；对于B，||＝||＝||＝||＝||，故B正确；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则||＝||，故C正确；对于D，∥成立，故D错误．故选ABC. 7．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是(　　) A.＝ B.∥ C．||＝|| D.＝ 答案：ABC 解析：由正六边形的性质，可得＝，∥，||＝||，||＝||，显然，方向不同，故≠.故选ABC. 三、填空题 8．若向量a与任意向量b都平行，则a＝________；若|a|＝1，则向量a是________． 答案：0　单位向量 解析：由于只有零向量与任意向量平行，故a＝0；由于|a|＝1，即向量a的长度为1，所以向量a是单位向量． 9．在一个边长为5的正三角形ABC中，若点D在边BC上运动，则向量长度的最小值为________． 答案： 解析：根据题意，在正三角形ABC中，当AD与边BC垂直时，有向线段AD的长度最小，最小值为正三角形ABC的高，即. 10．四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有________个，与向量同向且长度为2的向量有________个． 答案：8　4 解析：如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，，共8个，与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个． 四、解答题 11.如图，在圆心为原点，半径为1的圆中，B是OA的中点，PQ过B且PQ∥Ox，MP⊥Ox于M，NQ⊥Ox于N.则在向量，，，，，，，中： (1)找出相等的向量； (2)找出所有共线向量； (3)，的模各是多少？ 解：(1)相等的向量有＝＝. (2)与；与，，互为共线向量． (3)||＝||＝. 12.如图所示的平面图形中，已知＝＝.求证： (1)△ABC≌△A′B′C′； (2)＝，＝. 证明：(1)∵＝， ∴||＝||，且∥. 又A不在上，∴AA′∥BB′， ∴四边形AA′B′B是平行四边形， ∴||＝||. 同理||＝||，||＝||. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)由(1)知四边形AA′B′B是平行四边形， ∴∥，且||＝||， ∴＝.同理可证＝. 13．(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　) A．||＝|| B.与共线 C.与共线 D.＝ 答案：ABD 解析：由向量相等及共线的概念，结合题中图形可知C不一定成立，其余一定成立． 14.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有________个． 答案：11 解析：由题意，马在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以点B为起点作向量，共3个；以点C为起点作向量，共8个．所以共有11个． 15.如图，A1，A2，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，…，A8以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于圆的半径的向量有多少个？模等于圆的半径的倍的向量有多少个？ 解：由题图可知，模等于圆的半径的向量为，(i＝1，2，…，8)，共16个；图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆的半径的倍的向量，所以模等于圆的半径的倍的向量共16个． 16．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？ 解：如图，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意，知△ABC是正三角形， ∴AC＝2000 km. 又∠ACD＝45°， CD＝1000 km， ∴△ACD是等腰直角三角形． ∴AD＝1000 km，∠CAD＝45°. ∴丁地在甲地的东南方向，距甲地1000 km. 14 学科网（北京）股份有限公司 $