5.3.5 随机事件的独立性-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

5.3.5　随机事件的独立性

(教师独具内容)

课程标准：1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.2.结合古典概型，利用独立性计算概率．

教学重点：1.两个随机事件相互独立的概念.2.两个随机事件相互独立的判断．

教学难点：运用事件的独立性解决问题．

核心素养：1.通过学习相互独立事件的概念培养数学抽象素养.2.通过运用事件的独立性解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养．

知识点一　相互独立事件的概念

(1)一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立)．

[说明]　“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．

(2)事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率．

(3)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．

知识点二　相互独立事件的性质

(1)如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立．

(2)多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质．例如，如果A1，A2，A3相互独立，则1，A2，A3也相互独立等．

[想一想]　互斥事件与相互独立事件的区别是什么？

提示：(1)“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示不可能同时发生的两个事件，后者是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

(2)相互独立的事件可以同时发生，且同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，而互斥的两个事件A，B满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．

1．(相互独立事件的概率乘法公式)甲、乙两水文站同时进行水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为

________．

答案：0.56

2．(对立事件的概率、相互独立事件的概率)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为________．

答案：(1－a)(1－b)

3．(相互独立事件的性质及概率计算)已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P()＝________．

答案：　

 

题型一　事件独立性的判断

　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：

(1)家庭中有两个小孩；

(2)家庭中有三个小孩．

[解]　(1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4个样本点，由等可能性知每个样本点出现的概率均为.

这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，

于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.

由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A与B不相互独立．

(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8个样本点，由等可能性知每个样本点出现的概率均为.这时A包含6个样本点，B包含4个样本点，AB包含3个样本点．

于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立，所以事件A与B相互独立．

【感悟提升】两个事件是否相互独立的判断方法

(1)直接法：看一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．

(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．

【跟踪训练】

1．容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．

(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？

(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？

解：(1)记“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”为事件A，“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”为事件B，

则P(A)＝，P(B)＝×＋×＝，

P(AB)＝×＝.

因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以二者不是相互独立事件．

(2)因为把取出的球放回容器，所以对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．

题型二　相互独立事件概率的计算　

　甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.

(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少有一次命中的概率．

[解]　记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝.

(1)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次”的概率为P，则P＝P(A)＋