5.3.4 频率与概率-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦“频率与概率”，引导学生理解频率与概率的关系及用频率估计概率的方法。通过篮球运动员投篮命中率、疾病治愈概率等实例辨析两者区别，从随机事件不确定性过渡到频率稳定性，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以实例和问题驱动教学，结合灯管寿命统计、新生婴儿性别比例等真实数据，引导学生经历“确定频数、计算频率、估计概率”的过程，培养数据分析素养。题型分层且联系实际，帮助学生用数学思维思考、用数学语言表达，提升逻辑推理和解决实际问题的能力。

数学　必修 第二册 RJB 5.3.4　频率与概率 (教师独具内容) 课程标准：结合实例，会用频率估计概率． 教学重点：1.频率的稳定性.2.频率与概率的区别和联系． 教学难点：用频率估计概率解决实际问题． 核心素养：1.通过学习随机事件发生的不确定性和频率的稳定性培养数学抽象素养.2.通过利用频率估计概率解决实际问题培养数据分析素养和逻辑推理素养． 知识点一　频率与概率之间的关系 在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大． 知识点二　用频率估计概率 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为．这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率． 1．(频率与概率的关系)下列说法正确的是(　　) A．任何事件的概率总是在(0，1]之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 答案：C 2．(用频率估计概率)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5)　2　[15.5，19.5)　4　[19.5，23.5)　9 [23.5，27.5)　18　[27.5，31.5)　11　[31.5，35.5)　12 [35.5，39.5)　7　[39.5，43.5)　3 根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，43.5)的概率约是(　　) A. B. C. D. 答案：B 3．(用频率估计概率)容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6，10)内的频数为________，落在[2，10)内的概率为________． 答案：64　0.4 题型一　对频率与概率的正确理解　 　经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由． [解]　这种解释不正确．理由如下： 因为“投篮命中”是一个随机事件，投篮命中率为90%，是指该运动员投篮命中的概率，是一种可能性，而不是说投篮100次就一定命中90次． 【感悟提升】频率与概率的理解 (1)频率是事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，随着试验次数的增加，摆动幅度越来越小，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的，在试验前是不能确定的． (2)概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 【跟踪训练】 1．某种病的治愈概率是30%，那么，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%? 解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈的概率是30%，指随着试验次数增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈． 题型二　用频率估计概率　 　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 [500，900) 48 [900，1100) 121 [1100，1300) 208 [1300，1500) 223 [1500，1700) 193 [1700，1900) 165 1900及以上 42 (1)求各组的频率； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率． [解]　(1)频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042. (2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 所以样本中寿命不足1500小时的频率是＝0.6， 即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6. 【感悟提升】用频率估计概率的一般步骤 (1)确定随机事件A的频数nA； (2)由fn(A)＝计算频率fn(A)(n为试验的总次数)； (3)由频率fn(A)估计概率P(A)． 【跟踪训练】 2．一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5544 9607 13520 17190 男婴数m 2883 4970 6994 8892 (1)计算男婴出生的频率(精确到0.0001)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？ 解：(1)男婴出生的频率依次约是0.5200，0.5173，0.5173，0.5173. (2)由于这些频率非常接近0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173. 1．下列说法正确的是(　　) ①频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小； ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率； ③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 答案：C 解析：②错在混淆了频率与概率的概念． 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的频率是 B．一个同学做抛一枚质地均匀的硬币试验，抛了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 答案：AD 解析：注意概率与频率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键．B，C两项都没有正确理解概率的含义，A，D正确． 3．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下表： 分组 [90，100) [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频数 1 2 3 10 3 1 则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的(　　) A．60% B．70% C．80% D．90% 答案：B 解析：由题意知，这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的＝70%.故选B. 4．抛一枚质地均匀的硬币500次，正面向上251次，在下一次抛掷中，正面向上的概率是________． 答案：0.5 解析：概率是常数，不随频率的变化而变化，故抛一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为0.5. 5．在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛，比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生[1，5]内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为________． 答案： 解析：根据题意，在计算机产生的15组随机数中，表示甲获得冠军的有421，231，114，522，123，232，122，共7组，则甲获得冠军的概率为. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 对概率的正确理解 对概率的正确理解；概率的性质 由频数表求参数的值；用频率估计概率 频率的计算及应用 用频率估计概率 用频率估计概率 用频数表中的数据计算频率并估计概率；互斥事件的概率 频率与概率的辨析 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 用频率估计概率；随机事件的概率 用频率估计概率；概率的应用 补全频率分布表；用频率估计概率 用频率分布直方图进行样本估计总体；用频率估计概率 根据频率折线图判断试验结果 用柱形图中的数据进行频率估计概率 用频率估计概率 用频率估计概率的综合运用 一、单选题 1．掷一个质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1，2，3，4，5，6)，若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是(　　) A．一定出现“6点朝上” B．出现“6点朝上”的概率大于 C．出现“6点朝上”的概率等于 D．无法预测“6点朝上”的概率 答案：C 解析：随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的，均为. 2．下列结论正确的是(　　) A．事件A的概率为P(A)，必有0<P(A)<1 B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件 C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76% D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖 答案：C 解析：A不正确，因为0≤P(A)≤1；对于B，若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，故D不正确．故选C. 3．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，欲了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表： 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2100 1000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意，得n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200＋2100＝3300，所以估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝.故选C. 4．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约有(　　) A．60双 B．75双 C．90双 D．105双 答案：A 解析：因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为＝0.15，＝0.175，＝0.225.因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约有0.2×300＝60双． 5．某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，)，(a，)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)．其中a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败．若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，将频率视为概率，估算恰有一组研发成功的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：在抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果有8个，故在所抽取的样本中恰有一组研发成功的频率为，将频率视为概率，即得恰有一组研发成功的概率约为. 二、多选题 6．在一个实验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形态细胞，被注射这种血清之后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，具有椭圆形细胞的豚鼠有50只被感染，具有不规则形态细胞的豚鼠全部被感染．根据上述实验结果，下列估计正确的是(　　) A．豚鼠被感染的概率为0.3 B．具有圆形细胞的豚鼠被感染的概率为0 C．具有椭圆形细胞的豚鼠被感染的概率为0.1 D．具有不规则形态细胞的豚鼠被感染的概率为1 答案：ABD 解析：记“豚鼠被感染”为事件A，则由题意可知，P(A)＝＝0.3，A正确；记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，则由题意可知，P(B)＝0，B正确；记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件C，则由题意得P(C)＝＝0.2，C错误；记“具有不规则形态细胞的豚鼠被感染”为事件D，则由题意可知，P(D)＝1，D正确．故选ABD. 7．某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如下表所示： 总人次数 大米套餐人次数 面食人次数 1000 550 260 假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则(　　) A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26 C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65 答案：ABC 解析：用频率估计概率，得P(M)＝＝0.55，P(N)＝＝0.26，P(H)＝＝0.19，故A，B，C正确；P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生，由题意可知N与H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.19＋0.26＝0.45，故D错误．故选ABC. 三、填空题 8．给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确的命题是________． 答案：④ 解析：①错误，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的；②③混淆了频率与概率的区别；④正确． 9．利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼镜的有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是共青团员的概率为________，戴眼镜的概率为________． 答案：0.64　0.73 解析：500名学生中共青团员有320人，即共青团员的频率为＝0.64，所以随机抽查一名学生，估计他是共青团员的概率为0.64.500名学生中戴眼镜的有365人，即戴眼镜的学生的频率为＝0.73，所以随机抽查一名学生，估计他戴眼镜的概率为0.73. 10．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示： 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 92 192 285 478 根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品． 答案：1000 解析：由表中数据知，抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则≈0.95，所以n≈1000. 四、解答题 11．某制造商今年3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下： 分组 频数 频率 [39.95，39.97) 10 [39.97，39.99) 20 [39.99，40.01) 50 [40.01，40.03] 20 合计 100 (1)请将上表补充完整； (2)若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批球的直径误差不超过0.03 mm的概率． 解：(1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 [39.95，39.97) 10 0.10 [39.97，39.99) 20 0.20 [39.99，40.01) 50 0.50 [40.01，40.03] 20 0.20 合计 100 1 (2)标准尺寸是40.00 mm，且误差不超过0.03 mm，即直径需落在[39.97，40.03]范围内．由频率分布表知，频率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9，所以这批球的直径误差不超过0.03 mm的概率约为0.9. 12．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中随机抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形，回答下列问题： (1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)； (2)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中任选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只有一人)． 解：(1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以估计这次考试的及格率是75%. (2)成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的人数分别是18，15，3. 所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中任选一人，选到第一名学生的概率P＝＝. 13．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是(　　) A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任取一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球，1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 答案：D 解析：由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，对于A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，A不符合题意；对于B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为，B不符合题意；对于C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任取一张牌的花色是红桃的概率为，C不符合题意；对于D，从一个装有2个红球，1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，D符合题意．故选D. 14．(多选)一部机器有甲、乙、丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱形图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是(　　) A．至少有一个零件发生故障的概率为0.8 B．有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大 C．乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大 D．已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大 答案：AD 解析：由题图可得，在一个生产周期内，机器正常的概率为＝0.2，则至少有一个零件发生故障的概率为0.8，A正确；有两个零件发生故障的概率为＝0.3，只有一个零件发生故障的概率为＝0.45，则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小，B错误；乙零件发生故障的概率为＝0.4，甲零件发生故障的概率为＝0.45，则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小，C错误；由题图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确．故选AD. 15．随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份中任取一天，估计该市在该天不下雨的概率； (2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率． 解：(1)由题表，可知在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，则所求概率为＝. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，则第一天为晴天的“互邻日期对”有16个，其中第二天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为. 16．(新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值． 解：(1)依题意可知，患病者该指标的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%，所以95<c<100， 所以(c－95)×0.002＝0.5%， 解得c＝97.5， q(c)＝0.01×(100－97.5)＋5×0.002＝0.035＝3.5%. (2)当c∈[95，100]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)×0.002＋(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82≥0.02； 当c∈(100，105]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＋(105－c)×0.002＝0.01c－0.98>0.02， 故f(c)＝ 所以f(c)在区间[95，105]的最小值为0.02. 13 学科网（北京）股份有限公司 $