4.5 增长速度的比较-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

数学　必修 第二册 RJB (教师独具内容) 课程标准：1.理解函数平均变化率的概念.2.知道函数平均变化率的几何意义.3.会求函数在指定区间上的平均变化率.4.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 教学重点：1.函数平均变化率的概念.2.函数平均变化率的求法． 教学难点：利用函数的平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 核心素养：1.通过学习函数平均变化率的概念、几何意义培养数学抽象素养.2.通过利用函数的平均变化率比较函数的增长速度培养数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点一　平均变化率的概念 函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为＝． [说明]　实数x1，x2在定义域内不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝y2－y1是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零． 知识点二　平均变化率的几何意义 函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2)上的平均变化率＝表示函数y＝f(x)图象上过点(x1，f(x1))和点(x2，f(x2))的直线的斜率． 知识点三　平均变化率的实质 平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢． 知识点四　两种重要的函数增长 (1)指数增长 ①性质：当a>1时，指数函数f(x)＝ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的无限增大，f(x)＝ax的函数值增长会越来越快； ②定义：类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长)． (2)线性增长：类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长)． 1．(增长速度的比较)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝log2024x B．y＝x2 C．y＝2024x＋100 D．y＝2024x 答案：D 2．(平均变化率的几何意义)已知函数f(x)＝2x2图象上的两点A，B，xA＝1，xB＝2，则直线AB的斜率为(　　) A．－6 B．6 C．－3 D．3 答案：B 3．(平均变化率的大小比较)若函数f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则(　　) A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．k1与k2的大小关系与x0的取值有关 答案：A 4．(平均变化率的概念)函数f(x)＝2x＋1在区间[1，2]上的平均变化率为________． 答案：2 题型一　同一函数在不同区间上变化快慢的比较　 　(1)已知函数f(x)＝x＋，分别计算函数在区间[1，2]与[3，5]上的平均变化率，并比较函数在两区间上变化的快慢． [解]　在区间[1，2]上，函数f(x)的平均变化率为＝＝， 在区间[3，5]上，函数f(x)的平均变化率为＝＝. 因为<，所以函数f(x)＝x＋在区间[3，5]上函数值变化的较快． (2)某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示． 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？ [解]　当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为＝＝－0.025(℃/min)； 当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为＝＝－0.05(℃/min)． 这里负号表示体温下降，显然，绝对值越大，下降得越快，又因为|－0.025|<|－0.05|，故体温从20 min到30 min这段时间下降得比从0 min到20 min这段时间要快． 【感悟提升】 1．求平均变化率的一般步骤 (1)先计算函数值的改变量Δf＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； (3)得平均变化率＝. 2．同一函数在不同区间上变化快慢的比较 (1)计算函数在所要判断区间上的平均变化率； (2)比较平均变化率绝对值的大小； (3)平均变化率的绝对值越大，函数在给定区间上函数值的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在给定区间上函数值的变化越慢． 【跟踪训练】 1．已知函数f(x)＝x2，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，并比较函数在两区间上变化的快慢． 解：在区间[1，2]上，函数f(x)的平均变化率为 ＝＝3， 在区间[3，4]上，函数f(x)的平均变化率为 ＝＝7. 因为7>3，所以函数f(x)＝x2在区间[3，4]上函数值变化的较快． 题型二　不同函数在同一区间上变化快慢的比较　 　已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1. (1)分别求函数f(x)和g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率； (2)比较两函数在区间[－3，－1]上函数值变化的快慢． [解]　(1)因为Δx＝(－1)－(－3)＝2. 对于函数f(x)，Δf＝f(－1)－f(－3)＝3×(－1)＋1－[3×(－3)＋1]＝6， 所以函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝3. 对于函数g(x)，Δg＝g(－1)－g(－3)＝2×(－1)2＋1－[2×(－3)2＋1]＝－16， 所以函数g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝－8. (2)因为|3|<|－8|， 所以函数g(x)在区间[－3，－1]上函数值变化的较快． 【感悟提升】不同函数在同一区间上变化快慢的比较 (1)计算不同函数在同一区间上的平均变化率，根据平均变化率绝对值的大小来比较． (2)利用不同函数的图象与性质来比较平均变化率绝对值的大小． (3)选取一个中间值进行比较，从而确定平均变化率绝对值的大小． 【跟踪训练】 2．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝x3，分别计算这两个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较这两个函数在该区间上函数值变化的快慢． 解：函数f(x)在区间[2，3]上的平均变化率为 ＝＝＝18， 函数g(x)在区间[2，3]上的平均变化率为 ＝＝＝19， 因为19>18，所以函数g(x)在区间[2，3]上函数值变化的较快． 题型三　函数变化快慢的应用　 　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小． [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2024>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)；当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2024)>g(2024)．又因为g(2024)>g(6)，所以f(2024)>g(2024)>g(6)>f(6)． 【感悟提升】不同增长的函数模型的特点 一次函数模型的增长是匀速的；二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数函数模型适合描述增长速度越来越快的变化规律；对数函数模型比较适合描述增长速度逐渐平缓的变化规律；幂函数模型的增长特点与其指数有关． 【跟踪训练】 3．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)． 1．函数y＝f(x)的自变量x由x1改变到x2时，函数值的改变量Δf为(　　) A．f(x1)－f(x2) B．f(x1)＋f(x2) C．f(x1)f(x2) D．f(x2)－f(x1) 答案：D 解析：当自变量x由x1改变到x2时，函数值的改变量Δf为f(x2)－f(x1)．故选D. 2．已知函数y＝2x＋3，则函数在区间[2，4]上的平均变化率为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案：B 解析：＝＝＝2.故选B. 3．(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示． 横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是(　　) A．投资3天以内(含3天)，采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 答案：ABC 解析：由题图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，方案一的回报最高，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．故选ABC. 4．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为________；函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为__________． 答案：　 解析：从题图可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为＝＝，函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为＝＝. 5．已知a>1，函数f(x)＝ln x，则下列结论中正确的是________(填正确答案的序号)． ①函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是大于1； ②函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是小于1； ③函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而减小； ④函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率为定值． 答案：②③ 解析：＝＝ln (a＋1)－ln a＝ln ＝ln ，因为a>1，所以ln <ln (1＋1)＝ln 2<1，所以①错误，②正确；当a>1时，1＋随着a的增大而减小，ln 随着1＋的减小而减小，所以随着a的增大而减小，所以③正确，④错误． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 平均变化率的概念 同一函数在不同区间上变化率的比较 由平均变化率的范围求自变量改变量的范围 不同函数在同一区间上变化率的比较 平均变化率在实际中的应用 由图象判断平均变化率的大小 平均变化率在实际中的应用 已知平均变化率的大小求参数 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 对点 同一函数在不同区间上变化率的比较 平均变化率的概念及应用 平均变化率的几何意义 不同函数在同一区间上变化率的比较 指数、对数、幂函数在同一区间上增长速度的比较 指数衰减的特点及在实际中的应用 不同函数在同一区间上变化率的比较 平均变化率在实际中的应用 一、单选题 1．已知函数f(x)＝－x2＋2x，则函数f(x)在区间[2，4]上的平均变化率为(　　) A．－8 B．8 C．－4 D．4 答案：C 解析：因为f(2)＝－22＋2×2＝0，f(4)＝－42＋2×4＝－8，所以函数f(x)在区间[2，4]上的平均变化率为＝＝－4.故选C. 2．若记函数y＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率为k1，在区间[4，8]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不能确定 答案：A 解析：由题意可知k1＝＝＝，k2＝＝＝，所以k1>k2.故选A. 3．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，则Δx的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．[3，5) C．(0，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：C 解析：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝ ＝＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)． 4．已知四个函数：①y＝x；②y＝2x；③y＝x3；④y＝，其中在区间[2，4]上的平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 答案：B 解析：对于函数①y＝x，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝1；对于函数②y＝2x，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝6；对于函数③y＝x3，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝28；对于函数④y＝，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝－.故选B. 5．某公司的盈利y(单位：元)和时间x(单位：天)的函数关系是y＝f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则这些数据说明后10天与前10天比较(　　) A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大 C．公司在亏损，且亏损幅度变小 D．公司的盈利在增加，且增加的幅度变小 答案：D 解析：平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．故选D. 二、多选题 6.如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则下列说法正确的是(　　) A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 答案：BC 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误．故选BC. 7.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量WA(t)，WB(t)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 答案：BC 解析：由题图可知，A机关与B机关自节能以来用电量不总是一样大，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好，且A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小．故选BC. 三、填空题 8．若函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________． 答案：5 解析：因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以＝＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)． 9．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________． 答案：[x3，x4] 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，结合图象可以发现，函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 10．已知函数f(x)＝ax2在区间[1，2]上的平均变化率为，则a＝________，函数f(x)在区间[2，3]上的平均变化率为________． 答案：　 解析：因为函数f(x)＝ax2在区间[1，2]上的平均变化率为，所以＝＝，所以a＝，所以f(x)＝x2，所以函数f(x)在区间[2，3]上的平均变化率为＝＝. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，分别计算函数在区间[3，4]与[4，5]上的平均变化率，并说明当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律．若记A(3，f(3))，B(4，f(4))，C(5，f(5))，试判断直线AB与直线BC斜率的相对大小． 解：因为＝＝2(x2＋x1)＋3，所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率为2×(3＋4)＋3＝17，函数f(x)在区间[4，5]上的平均变化率为2×(4＋5)＋3＝21，由此可知，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点数值越大，f(x)的函数值增加越快． 因为函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率小于函数f(x)在区间[4，5]上的平均变化率，由平均变化率的几何意义可知直线AB的斜率小于直线BC的斜率． 12．已知函数f(x)＝2x2＋3，g(x)＝2x2＋x，h(x)＝2x2－x，分别计算这三个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解：因为＝ ＝＝10， ＝＝＝11， ＝＝＝9， 11>10>9，因此在区间[2，3]上，g(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 13．(多选)下面关于函数f(x)＝logx，g(x)＝和h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的说法，不正确的是(　　) A．f(x)的递减速度越来越慢，g(x)的递减速度越来越快，h(x)的递减速度越来越慢 B．f(x)的递减速度越来越快，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递减速度越来越快 C．f(x)的递减速度越来越慢，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递减速度越来越慢 D．f(x)的递减速度越来越快，g(x)的递减速度越来越快，h(x)的递减速度越来越快 答案：ABD 解析：观察函数f(x)＝logx，g(x)＝和h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的图象可知，函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢． 14.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位：月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．给出以下说法： ①第4个月时，剩留量就会低于；②每月减少的有害物质质量都相等；③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确说法的序号是________． 答案：①③ 解析：由于函数图象经过点，故函数的关系式为y＝.当t＝4时，y＝<，故①正确；当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故③正确． 15．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，而且f(x)在定义域内的任意区间上的平均变化率均比g(x)＝x2－x＋1在同一区间上的平均变化率大，求证：f(4)－f(2)>10. 证明：函数g(x)在区间[2，4]上的平均变化率为＝＝5. 根据题意，函数f(x)在区间[2，4]上的平均变化率＝>5， 所以f(4)－f(2)>10. 16．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间． (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解：(1)T(10)－T(0)＝＋15－＝－16，即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是＝＝－1.6，它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. 13 学科网（北京）股份有限公司 $