本册综合测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案围绕集合运算、不等式性质、函数性质（奇偶性、单调性）、二次函数应用及均值不等式等核心知识点展开，课堂导入可通过回顾集合与不等式基础，搭建函数学习支架，衔接函数性质与不等式解法的综合应用，形成连贯知识脉络。 资料按基础题（60%）、中档题（30%）、拔高题（10%）分层设计，基础题巩固概念，中档题强化综合应用，拔高题提升探究能力。结合实际情境问题（如利润计算）培养数学应用意识，解答题注重逻辑推理与抽象思维，助力学生用数学思维分析问题，发展数学眼光与表达能力，适合分层教学与自主学习。

数学 必修 第一册RJB 本册综合测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ ★ 对点 交集、补集的混合运算 不等式的性质 奇函数的性质 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断 三个“二次”之间的关系 利用函数的单调性求参数范围 函数的定义域、值域　 利用函数的奇偶性与单调性解不等式 二次函数的应用　 利用均值不等式求最值、一元二次不等式的解法 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 嵌套函数零点个数问题　　 利用均值不等式求最值　　 利用分段函数的单调性求参数范围 奇、偶函数的图象及应用　 一元二次不等式的解法、利用集合间的包含关系求参数范围 均值不等式与一元二次不等式的综合 分段函数的实际应用 二次函数解析式的求法、恒成立问题 函数的单调区间和值域、恒成立问题 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{－1，1，2，4}，则B∩(∁RA)＝(　　) A．∅ B．{4} C．{1，2，4} D．{－1，1，2} 答案：B 解析：∵集合A＝{x|－2≤x≤3}，∴∁RA＝{x|x<－2或x>3}，∵集合B＝{－1，1，2，4}，∴B∩(∁RA)＝{4}．故选B. 2．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．xy2>zy2 答案：C 解析：由题意得3x>x＋y＋z>3z，即x>0>z，由不等式的基本性质可得，若y<0，由x>z，得xy<yz，故A错误；由x>y，z<0，得xz<yz，故B错误；由x>0，y>z，得xy>xz，故C正确；当y＝0时，xy2＝zy2，故D错误．故选C. 3．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　) A．－15 B．15 C．10 D．－10 答案：A 解析：令g(x)＝x7＋ax5＋bx，则f(x)＝g(x)－5.因为f(－3)＝5，所以g(－3)＝f(－3)＋5＝10.易知g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－10，所以f(3)＝g(3)－5＝－15.故选A. 4．(新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 答案：B 解析：对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题．综上，綈p和q都是真命题．故选B. 5．如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c有(　　) A．f(5)<f(2)<f(－1) B．f(2)<f(5)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(5) D．f(－1)<f(2)<f(5) 答案：C 解析：由于关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2和4，且a>0.由根与系数的关系得解得∴f(x)＝ax2－2ax－8a，∴f(－1)＝－5a，f(2)＝－8a，f(5)＝7a，因此f(2)<f(－1)<f(5)．故选C. 6．若函数f(x)＝－x2＋3ax＋a在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：依题意，f(x)＝－x2＋3ax＋a＝－＋a＋在[1，2]上单调递增，由二次函数的图象和性质，得≥2，解得a≥.故选C. 7．函数f(x)＝x－1的定义域为[0，4]，则函数y＝f(x2)＋[f(x)]2的值域为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为函数f(x)的定义域为[0，4]，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2的定义域满足所以0≤x≤2，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2的定义域为[0，2]，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2＝x2－1＋(x－1)2＝2(x2－x)，x∈[0，2]，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2在上单调递减，在上单调递增，则当x＝时，y＝f(x2)＋[f(x)]2取得最小值，为－，当x＝2时，y＝f(x2)＋[f(x)]2取得最大值，为4，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2的值域为.故选C. 8．定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集为(　　) A．[1，3] B．[－3，－1] C．(－∞，－3]∪[－2，－1] D．(－∞，1]∪[2，3] 答案：D 解析：因为f(x)是定义域为R的奇函数且在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(0)＝0，又f(－1)＝0，故f(1)＝0.由以上可知，当－1<x<0或x>1时，f(x)<0；当0≤x≤1或x≤－1时，f(x)≥0，故不等式f(x－2)≥0等价于0≤x－2≤1或x－2≤－1，即2≤x≤3或x≤1.故选D. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在线段AD上(不与端点重合)，点F在线段AB上(不与端点重合)，且线段BF与线段DE的长度相等，设DE＝x，△AEF的面积为S(x)，则(　　) A．函数S(x)的定义域为[0，2) B．S(1)<1 C．函数S(x)的定义域为(0，2) D．S(x)有最大值 答案：BC 解析：在边长为2的正方形ABCD中，因为BF＝DE＝x>0，所以AF＝AE＝2－x>0，则0<x<2，S(x)＝，所以函数S(x)的定义域为(0，2)，S(1)＝<1，S(x)没有最大值．故选BC. 10．已知正数a，b满足a＋b＝4，ab的最大值为t，不等式x2＋3x－t<0的解集为M，则(　　) A．t＝2 B．t＝4 C．M＝{x|－4<x<1} D．M＝{x|－1<x<4} 答案：BC 解析：∵正数a，b满足a＋b＝4，∴ab≤＝4，即ab的最大值为t＝4，当且仅当a＝b＝2时，取等号．∵x2＋3x－4<0的解集为M，∴M＝{x|－4<x<1}．故选BC. 11．已知函数f(x)，g(x)的图象分别如图1，2所示，方程f(g(x))＝1，g(f(x))＝－1，g(g(x))＝－的实根个数分别为a，b，c，则(　　) A．a＋b＝c B．b＋c＝a C．ab＝c D．b＋c＝2a 答案：AD 解析：由方程f(g(x))＝1，得－1<g(x)<0，此时对应4个解，故a＝4；由方程g(f(x))＝－1，得f(x)＝－1或f(x)＝1，此时有2个解，故b＝2；方程g(g(x))＝－，g(x)取到4个值，如图所示，即－2<g(x)<－1或－1<g(x)<0或0<g(x)<1或1<g(x)<2，则对应的x的解有6个，故c＝6.根据选项，可得A，D成立．故选AD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．设a＞2，b＞0，若a＋b＝3，则＋的最小值为________． 答案：4 解析：根据题意，若a＋b＝3，则(a－2)＋b＝1，则＋＝[(a－2)＋b]＝2＋，又a＞2，b＞0，则＋≥2＝2，当且仅当＝，a＋b＝3，即a＝，b＝时，等号成立，则＋＝2＋≥4，故＋的最小值为4. 13．已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则a的取值范围是________． 答案：(0，1] 解析：∵f(x)＝是R上的单调函数，又y＝－x2－1在(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在R上单调递增．∴a＞0且－02－1≤－a，∴0＜a≤1. 14．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则f(g(－3))＝________，不等式<0的解集是________． 答案：0　{x|－2<x<－1或0<x<1或2<x<3} 解析：由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，并结合图象知f(g(－3))＝f(g(3))＝f(0)＝0.根据函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图象如图所示.<0等价于或可求得其解集是{x|－2<x<－1或0<x<1或2<x<3}． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)设集合A＝{x|a－1<x<2a，a∈R}，不等式x2－7x＋6<0的解集为B. (1)当a＝0时，求集合A，B； (2)当A⊆B时，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，A＝{x|－1<x<0}， B＝{x|x2－7x＋6<0}＝{x|1<x<6}． (2)①当a－1≥2a，即a≤－1时， 可得A＝∅，满足A⊆B，故a≤－1符合题意； ②当a－1<2a，即a>－1时， 由A⊆B，可得 解得2≤a≤3. 综上可得a≤－1或2≤a≤3. 所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，3]． 16．(本小题满分15分)设x>0，y>0，且x＋y＋xy＝2. (1)求x＋y的取值范围； (2)求xy的取值范围． 解：(1)∵2＝x＋y＋xy≤x＋y＋， 当且仅当x＝y＝－1时，取等号． ∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0， ∴x＋y≤－2－2或x＋y≥－2＋2， 又x>0，y>0，∴x＋y≥－2＋2， 又x＋y<2， ∴x＋y的取值范围是[2－2，2)． (2)解法一：∵2＝x＋y＋xy≥2＋xy， 当且仅当x＝y＝－1时，取等号． ∴()2＋2－2≤0， ∴－1－≤≤－1＋，又x>0，y>0， ∴0<≤－1＋， ∴0<xy≤4－2， ∴xy的取值范围是(0，4－2]． 解法二：∵x＋y＋xy＝2，x＋y∈[2－2，2)， ∴xy的取值范围是(0，4－2]． 17．(本小题满分15分)随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段．已知某5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机x(0≤x≤10)万台，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)(单位：万元)满足 R(x)＝ (1)将利润f(x)表示为产量x万台的函数； (2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 解：(1)由题意得G(x)＝800＋1000x. 因为R(x)＝ 所以f(x)＝R(x)－G(x) ＝ (2)由(1)可得，当0≤x≤5时，f(x)＝－400·(x－4)2＋5600. 所以当x＝4时，f(x)max＝5600； 当5<x≤10时，f(x)＝1000x－4600，f(x)单调递增， 所以f(x)max＝f(10)＝5400. 综上，当x＝4时，f(x)max＝5600. 所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元． 18．(本小题满分17分)已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1及f(x＋1)－f(x)＝2x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的取值范围． 解：(1)∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴f(1)－f(0)＝0， ∴f(1)＝f(0)， ∵f(0)＝1，∴f(1)＝1， ∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝. 设函数f(x)的解析式为f(x)＝a＋h. ∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴f(0)－f(－1)＝－2， ∵f(0)＝1， ∴f(－1)＝3，∴ ∴a＝1，h＝， ∴f(x)＝＋＝x2－x＋1. (2)∵在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方， ∴x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立， ∴x2－3x＋1＞m在[－1，1]上恒成立． 令g(x)＝x2－3x＋1＝－， 则g(x)＝x2－3x＋1在[－1，1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－1， ∴m＜－1， ∴实数m的取值范围为(－∞，－1)． 19．(本小题满分17分)已知函数y＝有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数． (1)已知f(x)＝，x∈[2，4]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－a，若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值． 解：(1)f(x)＝＝x－1＋－8， 设m＝x－1，∵x∈[2，4]，∴m∈[1，3]， 由y＝m＋－8，m∈[1，3]可得， 当1≤m<2，即2≤x<3时，f(x)单调递减， ∴函数f(x)的单调递减区间为[2，3)； 当2≤m≤3，即3≤x≤4时，f(x)单调递增， ∴函数f(x)的单调递增区间为[3，4]， 由f(2)＝－3，f(3)＝－4，f(4)＝－，得 f(x)的值域为[－4，－3]． (2)g(x)＝－x－a为减函数， 故当x∈[0，1]时，g(x)∈[－1－a，－a]， 由题知f(x)的值域是g(x)的值域的子集， ∴ 解得a＝3. 8 学科网（北京）股份有限公司 $