3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 (教师独具内容) 课程标准：1.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.2.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解.3.了解用二分法求方程的近似解具有一般性． 教学重点：二分法求函数零点的步骤． 教学难点：二分法求函数零点的原理． 核心素养：1.通过学习函数零点存在定理及二分法的概念培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过用二分法求函数零点的近似值培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0． [说明]　(1)此判定定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中有4个零点，而图②中仅有1个零点． (2)此判定定理是不可逆的，因为f(a)f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0. [拓展]　(1)若f(a)f(b)<0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点． (2)若f(a)f(b)>0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点． (3)若f(a)f(b)>0，且函数f(x)在[a，b]上不单调，则在(a，b)内零点是否存在不确定． (4)若f(a)f(b)＝0，则a或b是零点． 知识点二　二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法． 知识点三　用二分法求函数零点近似值的一般步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0)，给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下： 第一步：检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步； 第二步：计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步； 第三步：若f(a)f<0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff(b)<0，将的值赋给a，回到第一步． 这些步骤可用如下图所示的框图表示． 1．(函数零点存在定理)若函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)f(5)<0，则函数f(x)在区间(2，5)上的零点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 2．(判断函数零点所在的区间)用二分法求函数f(x)＝x3－3的零点时，若初始区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________． 答案：1 3．(判断函数零点所在的区间)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)<0，取区间[2，3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________． 答案：(2，2.5) 题型一　二分法的适用条件　 　下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　) [解析]　按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图象经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A. [答案]　A 【感悟提升】　运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 【跟踪训练】　 1．(1)下列图象中表示的函数能用二分法求零点的是(　　) 答案：C 解析：由于只有C中的图象满足连续，且零点左右函数值异号，故只有C能用二分法求零点． (2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是(　　) ①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0. A．①② B．①③ C．①④ D．② 答案：A 解析：由二分法的定义知①②正确． 题型二　判断函数零点所在的区间　 　若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 [解析]　∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． [答案]　A 【感悟提升】　确定函数零点所在区间的方法 (1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)f(b)<0，也不能说函数无零点，如f(x)＝x2，f(－1)f(1)＝1>0，但0是f(x)的零点． 【跟踪训练】　 2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　　) A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1) C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) 答案：A 解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2，4)内必有根． 题型三　用二分法求函数零点的近似值　 　判断函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]上有无零点，如果有，求出一个零点的近似值(精确度小于0.1)． [解]　因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数f(x)＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1，1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下： 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 (1，1.5) ＝1.25 f(1.25)≈－0.3<0 0.25 (1.25，1．5) ＝1.375 f(1.375)≈0．22>0 0.125 (1.25，1．375) ＝1.3125 — 0.0625 由上表可知，1.3125就是所求函数的一个近似零点，且精确度小于0.1. 【感悟提升】　利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z； (2)利用二分法求出满足小于精确度2倍的方程的根所在的区间M； (3)区间M的中点就是方程的近似解． 【跟踪训练】　 3．求的近似值(精确度小于0.1)． 解：令＝x，则x3＝3.令f(x)＝x3－3，则就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，所以可取初始区间(1，2)，用二分法计算，列表如下： 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 (1，2) ＝1.5 f(1.5)＝0．375>0 0.5 (1，1.5) ＝1.25 f(1.25)≈－1.047<0 0.25 (1.25，1．5) ＝1.375 f(1.375)≈－0.4<0 0.125 (1.375，1．5) ＝1.4375 — 0.0625 由于|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，所以的近似值可取为1.4375. 题型四　利用函数零点的分布求参数的取值范围　 　已知二次函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1. (1)若函数f(x)的一个零点在区间(－1，0)内，另一个零点在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若函数f(x)的两个零点均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围． [解]　(1)依题意，得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，作出图象如图所示． 由图象，得即 所以－<m<－， 即实数m的取值范围是. (2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0，1)内，作出图象如图所示． 由图象，得 即 所以－<m<1－， 即实数m的取值范围是. 【感悟提升】　解此类问题一般从四个方面考虑 (1)抛物线开口方向； (2)一元二次方程根的判别式； (3)对应区间端点函数值的符号； (4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系． 【跟踪训练】　 4．(1)若函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k的取值范围． 解：因为函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图象是连续曲线， 所以由题意可知f(－1)f(1)<0且f(1)f(3)<0， 即 即 解得k<－4或k>2. 故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)． (2)若一元二次方程x2＋(2a－1)x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比－1小，求实数a的取值范围． 解：依题意可设函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋a－2， 因为一元二次方程x2＋(2a－1)x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比－1小， 所以 解得0<a<， 所以实数a的取值范围是. 1．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　) A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝x2－3 C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 答案：C 解析：因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　) A．[－2，1] B．[－1，0] C．[0，1] D．[1，2] 答案：A 解析：∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，∴可取[－2，1]作为初始区间，用二分法逐次计算． 3．(多选)已知函数f(x)＝＋x2－2，则下列区间中一定存在零点的是(　　) A．(－3，－2) B. C．(2，3) D. 答案：AB 解析：f(－3)＝－＋－2＝>0，f(－2)＝－＋2－2＝－<0，f＝2＋－2＝>0，f(1)＝1＋－2＝－<0，f(2)＝＋2－2＝>0，f(3)＝＋－2＝>0，f(－1)＝－1＋－2＝－<0，f＝－2＋－2＝－＜0，故f(－3)f(－2)<0，ff(1)<0，f(2)f(3)>0，f(－1)f＞0.根据函数零点存在定理，得一定存在零点的区间是(－3，－2)，.故选AB. 4．定义在R上的图象连续不断的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，y＝f(x)是单调递增的，且f(1)f(2)<0，则函数f(x)的零点个数是________． 答案：2 解析：由已知可知，存在x0∈(1，2)，使f(x0)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0′∈(－2，－1)，使f(x0′)＝0，且x0′＝－x0.故函数f(x)的零点个数是2. 5．函数f(x)＝x2－8的正无理零点的近似值为________(精确度小于0.1)． 答案：2.8125 解析：由题意，只需求出函数f(x)＝x2－8的正零点即可，由于f(2)＝－4<0，f(3)＝1>0，故取区间(2，3)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 (2，3) ＝2.5 f(2.5)＝－1.75<0 0.5 (2.5，3) ＝2.75 f(2.75)＝－0.4375<0 0.25 (2.75，3) ＝2.875 f(2.875)≈0．2656>0 0.125 (2.75，2．875) ＝2.8125 — 0.0625 由于|2.8125－2.875|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝x2－8的精确度小于0.1的正无理零点的近似值可取为2.8125. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 对点 二分法的适用条件　 函数零点存在定理　 用二分法求方程的近似解　 利用二分法求零点的步骤判断零点所在的区间 利用函数零点的分布求参数范围 利用二分法判断方程实数解所在的区间 利用函数零点存在定理判断方程根的情况 二分法适用条件的应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 二分区间的选取　 函数零点存在定理 用二分法求方程的近似解 用二分法求函数零点的近似值的步骤 判断函数零点所在的区间 精确度的应用 函数零点存在定理及二分法的应用 利用函数零点的分布求参数范围 一、单选题 1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为(　　) A．4，4 B．3，4 C．5，4 D．4，3 答案：D 解析：由图象知函数f(x)的图象与x轴有4个公共点，因此零点个数为4，从左往右数第4个公共点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点． 2．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D．至多有一个零点 答案：C 解析：利用特殊值法和数形结合的思想验证．如：①令c＝1，则f(x)＝x2＋1，f(2)＝f(－2)＝5>0，在(－2，2)内无零点；②令c＝0，则f(x)＝x2，f(2)＝f(－2)＝4>0，在(－2，2)内有一个零点；③令c＝－1，则f(x)＝x2－1，f(2)＝f(－2)＝3>0，在(－2，2)内有两个零点．故选C. 3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260 f(1.4375)≈0.162 f(1.40625)≈－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度小于0.02)为(　　) A．1.5 B．1.25 C．1.390625 D．1.421875 答案：D 解析：由参考数据，知f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<2×0.02＝0.04，所以方程的一个近似解可取为1.421875.故选D. 4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间内一定有零点 B．函数f(x)在区间或内有零点 C．函数f(x)在内无零点 D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是 答案：D 解析：根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在或内，或零点是. 5．若函数f(x)＝x2＋x＋m的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围为(　　) A．[－6，－2] B．(－6，－2) C．(－∞，－6]∪[－2，＋∞) D．(－∞，－6)∪(－2，＋∞) 答案：B 解析：因为f(x)在(1，2)上单调递增，且f(x)的图象是连续不断的，所以解得－6<m<－2.故选B. 二、多选题 6．已知函数f(x)，g(x)的图象在[－1，3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是(　　) x －1 0 1 2 3 f(x) －0.677 3.011 5.432 5.241 7.651 g(x) －0.530 3.451 4.890 5.980 6.892 A.(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 答案：BCD 解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，F(2)＝f(2)－g(2)＝5.241－5.980＝－0.739<0，F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，于是有F(0)F(1)<0，F(1)F(2)<0，F(2)F(3)<0.所以F(x)在(0，1)，(1，2)，(2，3)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0，1)，(1，2)，(2，3)内有实数解．故选BCD. 7.已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，现考虑函数f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，对于方程f(x)＝0根的情况，下列说法正确的是(　　) A．有三个实根 B．在(－∞，－1)内，恰有一实根 C．在(－1，0)内，恰有一实根 D．在(0，1)内，恰有一实根 答案：AB 解析：函数f(x)的图象可由y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到，如图所示．由图象易知方程f(x)＝0有三个实根，当x∈(－∞，－1)时，恰好有一根；当x∈(－1，0)时，没有实根；当x∈(0，1)时，恰好有两根；当x∈(1，＋∞)时，没有实根．故选AB. 三、填空题 8．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________． 答案：a2＝4b 解析：函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b. 9．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)内的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________． 答案：(2，3) 解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2，3)． 10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________． 答案：3　0 解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点的和等于0. 四、解答题 11．用二分法求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度小于0.1)． 解：设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0， 又f(x)在(2，3)上单调递增， ∴在区间(2，3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根． 用二分法逐次计算，列表如下： 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 (2，3) ＝2.5 f(2.5)＝0．25>0 0.5 (2，2.5) ＝2.25 f(2.25)＝－0.4375<0 0.25 (2.25，2．5) ＝2.375 f(2.375)＝－0.109375<0 0.125 (2.375，2．5) ＝2.4375 — 0.0625 ∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2－2x－1＝0的一个精确度小于0.1的近似正解可取为2.4375. 12．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度小于0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论． 设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线． 先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________． 所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表： 零点所在区间 中点m f(m)的符号 取中点作为近似值时误差小于的值 解：－5　－1　9　31　(1，2) 填表如下： 零点所在区间 中点m f(m)的符号 取中点作为近似值时误差小于的值 (1，2) 1.5 ＋ 0.5 (1，1.5) 1.25 ＋ 0.25 (1，1.25) 1.125 － 0.125 (1.125，1.25) 1.1875 0.0625 ∵|1.1875－1.125|＝0.0625<0.1， ∴原方程的近似解可取为1.1875. 13．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点 答案：D 解析：∵f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．∴函数f(x)在区间(0，4)内有零点．故选D. 14．已知函数f(x)满足对任意x1，x2∈[a，b]，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，且f(a)f(b)<0.在用二分法寻求零点的过程中，依次确定了零点x0所在区间为[a，b]，，，，则b－a＝________；若要使x0近似值的精确度小于0.001，则至少需要进行________次区间中点函数值的计算． 答案：4　12 解析：由题意，得解得所以b－a＝4.设需要进行k次区间中点函数值的计算，则×4<0.001，解得k>11，所以至少需要进行12次区间中点函数值的计算． 15．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根． 证明：∵f(1)>0， ∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0. ∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0. 则－b－c>c，即a>c. ∵f(0)>0，∴c>0，则a>0. 在区间[0，1]内选取二等分点， 则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0. ∵f(0)>0，f(1)>0，∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根． 16．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4. (1)若函数f(x)的零点均大于1，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的一个零点大于1，一个零点小于1，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内，求实数a的取值范围． 解：(1)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，得解得2≤a＜. 所以实数a的取值范围是. (2)由二次函数的性质，结合二次函数的图象， 可得f(1)＝5－2a<0，解得a>. 所以实数a的取值范围是. (3)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，可得解得<a<. 所以实数a的取值范围是. 15 学科网（北京）股份有限公司 $