3.1.1 第3课时 分段函数-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦分段函数，涵盖概念、图象、求值及应用等核心知识点。通过温度变化图象、分段求值等实例导入，衔接函数基础概念，以“先分后合”原则构建学习支架，引导学生从具体到抽象理解分段函数本质。 资料特色在于题型分层设计，包含定义域值域、图象分析、实际应用等模块，结合电费计算、出租车计费等真实情境培养数学建模素养。通过分段求值训练提升数学运算能力，借助图象分析深化数学抽象思维，课后精练分基础、中档、拔高题，适配不同学习需求，助力自主学习与教学评估。

数学 必修 第一册RJB 第3课时　分段函数 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 教学重点：1.分段函数的概念.2.分段函数的图象及其应用.3.求分段函数的函数值． 教学难点：在实际情境中，构造分段函数并解决问题． 核心素养：1.借助分段函数的概念培养数学抽象素养.2.通过分段函数的求值培养数学运算素养.3.借助函数的实际应用培养数学建模素养． 知识点一　分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． [注意]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象． 知识点二　常数函数 值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数． 1．(分段函数的图象)f(x)＝|x－1|的图象是(　　) 答案：B 2．(分段函数的图象及应用)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象，由图象可知，下列说法中错误的是(　　) A．这天15时的温度最高 B．这天3时的温度最低 C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D．这天21时的温度是30 ℃ 答案：C 3．(分段函数的求值)若f(x)＝则f(3)＝________，f(f(－2))＝________． 答案：12　42 4.(分段函数的定义域、值域)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________． 答案：[－1，2)　(－1，1] 5．(分段函数的求值)已知f(x)＝若f(x0)＝4，则x0＝________． 答案：2 题型一　分段函数的定义域、值域　 　(1)已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) [解析]　要使f(x)有意义，需x≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． [答案]　D (2)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________． [解析]　由已知得定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1，1)．又当0<x<1时，0<－x2＋1<1，当－1<x<0时，－1<x2－1<0，当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)． [答案]　(－1，1)　(－1，1) 【感悟提升】　 1．分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集； (3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． 2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 【跟踪训练】　 1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的定义域为________，值域为________． 答案：R　[0，1] 解析：由已知得函数f(x)的定义域为[－1，1]∪(－∞，－1)∪(1，＋∞)＝R，又当x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数f(x)的值域为[0，1]． 题型二　分段函数求值问题　 　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－)，f的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值； (3)若f(m)≤0，求实数m的取值范围． [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. ∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2， ∴f＝f＝＋2×＝－3＝－. (2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， ∴a＝1符合题意； 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. (3)当m≤－2时，f(m)≤0⇔ 解得m≤－2； 当－2<m<2时，f(m)≤0⇔ 解得－2<m≤0； 当m≥2时，f(m)≤0⇔不等式组无解． 综上，当f(m)≤0时，实数m的取值范围为(－∞，0]． 【感悟提升】　 1．分段函数求函数值的步骤 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2．求某条件下自变量的值(或范围)的方法 先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内． 3．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． 【跟踪训练】　 2．(1)已知f(x)＝若f(x)>2，则x的取值范围是________． 答案：{x|x>0或x<－4} 解析：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；当x<－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)>2，得－x－2>2，解得x<－4，故x<－4，所以x的取值范围是{x|x>0或x<－4}． (2)已知函数f(x)＝ ①求f(f(f(－2)))； ②若f(a)＝，求a. 解：①∵－2<－1， ∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1. ∴f(f(－2))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2. f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝. ②当a>1时，f(a)＝1＋＝， ∴a＝2>1； 当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝， ∴a＝±∈[－1，1]； 当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝， ∴a＝－>－1(舍去)． 综上，a＝2或a＝±. 题型三　分段函数的表示方法及应用　 角度　根据图象求分段函数的解析式 　根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数f(x)的解析式． [解]　当－3≤x<－1时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－； 当－1≤x<1时，设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f(x)＝x－； 当1≤x<2时，f(x)＝1. 所以f(x)＝ 【感悟提升】　已知图象求函数解析式的方法 已知函数的图象求解析式y＝f(x)，当自变量x在不同的区间上变化时，函数f(x)的解析式不同，应分段求解．此时根据图象，结合已学过的基本函数图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解．如果函数为分段函数，要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏． 【跟踪训练】　 3．(多选)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－|x|＋1 D．f(x)＝|x＋1| 答案：AC 解析：当x≤0时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，得解得所以f(x)＝x＋1；当x>0时，设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将(0，1)，(1，0)代入解析式，得解得所以f(x)＝－x＋1.综上，f(x)＝或f(x)＝－|x|＋1.故选AC. 角度　分段函数的图象及应用 　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1； 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x， 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，函数f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． [条件探究]　把本例的条件改为“f(x)＝|x|－2(x∈R)”，再求解本例的三个问题． 解：(1)f(x)＝|x|－2＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由图可知，函数f(x)的值域为[－2，＋∞)． 【感悟提升】　分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 【跟踪训练】　 4．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域和值域． 解：(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象，如图1. 由图1中函数的取值情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图2. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1，结合图2，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝ (2)由图2知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，所以φ(x)的值域为(－∞，1]． 题型四　分段函数的实际应用　 　某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费的办法，若某户居民每月应交电费y(单位：元)关于用电量x(单位：kW·h)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解答下列问题： (1)求y关于x的函数解析式； (2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； (3)若该用户某月用电62 kW·h，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少电？ [解]　(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx(k≠0)．将(100，65)代入，得65＝100k， 解得k＝0.65，所以y＝0.65x； 当x>100时， 设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)． 将(100，65)和(130，89)代入， 得解得 所以y＝0.8x－15. 综上可得，y＝ (2)由(1)知电力公司采取的收费标准：用户月用电量不超过100 kW·h时，电价为0.65元/(kW·h)；超过100 kW·h时，超出的部分电价为0.80元/(kW·h)． (3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)； 当y＝105时，由题图知x>100， 所以105＝0.8x－15，解得x＝150(kW·h)． 即若该用户某月用电62 kW·h，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用电150 kW·h. 【感悟提升】　分段函数的实际应用 (1)当目标函数在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数的图象也需要分段作． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． (3)对于分段函数的实际应用问题，在确定出函数的解析式后，不仅要注意解析式本身对自变量的限制，还要注意自变量的实际意义． 【跟踪训练】　 5．某市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9 元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km))． (1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：km)的函数； (2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程．请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？ (现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑) 解：(1)由题意，得车费f(x)关于路程x的函数为 f(x)＝ ＝ (2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)； 换乘两辆车的车费为2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)． ∵40.3>38.8， ∴该乘客换乘比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱． 1．若函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：A 解析：f(－1)＝(－1)＋2＝1，则f(f(－1))＝f(1)＝1. 2．设x∈R，定义符号函数sgnx＝则函数f(x)＝|x|sgnx的图象大致是(　　) 答案：C 解析：函数f(x)＝|x|sgnx＝即f(x)＝x，故函数f(x)＝|x|sgnx的图象为y＝x所在的直线．故选C. 3．(多选)f(x)＝且f(a)＝，则实数a的值为(　　) A．－ B. C. D. 答案：ACD 解析：当a≤0时，f(a)＝a＋2＝，解得a＝－；当0<a<2时，f(a)＝＝，解得a＝；当a≥2时，f(a)＝－a2＋4a－3＝，解得a＝或a＝(舍去)．综上可知，实数a的值为－或或.故选ACD. 4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2)))＝________，f(x)的值域是________． 答案：2　[0，4] 解析：∵f(2)＝0，∴f(f(2))＝f(0)＝4，∴f(f(f(2)))＝f(4)＝2.由图象可知，f(x)的值域是[0，4]． 5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘面试的有60人，则该公司拟录用________人． 答案：25 解析：若4x＝60，则x＝15>10，不符合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，符合题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不符合题意．故该公司拟录用25人． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 分段函数的求值　 分段函数的值域　 分段函数图象的识别　 用分段函数表示实际问题　 分段函数的应用——解不等式　 分段函数综合问题 狄利克雷函数的应用　 由分段函数的值求参数值　 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由分段函数的图象求解析式 分段函数的实际应用 分段函数的解析式、图象、定义域、值域 分段函数的实际应用——决策问题 新定义背景下分段函数的图象的识别　　 分段函数的应用——解不等式　　 分段函数解析式的求解及图象的应用　　 分段函数的实际应用 一、单选题 1．设f(x)＝则f(5)的值是(　　) A．24 B．21 C．18 D．16 答案：A 解析：f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，则f(5)＝f(21)＝24. 2．函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 答案：B 解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知，f(x)的值域为[0，2]∪{3}． 3．函数f(x)＝x2－2|x|的图象是(　　) 答案：C 解析：由题意可得f(x)＝分段画出图象可知应选C. 4．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车与A地的距离x(单位：千米)关于时间t(单位：小时)的函数表达式为(　　) A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝ 答案：D 解析：在从A地到B地的过程中，t满足0≤t≤2.5，所求表达式为x＝60t；在B地停留1小时，则2.5<t≤3.5，而x＝150；在从B地返回A地的过程中，t满足3.5<t≤6.5，所求表达式为x＝150－50(t－3.5)＝325－50t.故选D. 5．已知函数f(x)＝若f(f(m))≥5，则实数m的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．[0，] C．(－∞，－] D．[－，0] 答案：A 解析：因为当x≥0时，f(x)＝－x2≤0，所以f(m)<0，则解得f(m)≤－5.当m<0时，m2＋4m≤－5，无解；当m≥0时，－m2≤－5，解得m≥或m≤－(舍去)．综上可得，m≥.故选A. 二、多选题 6．已知函数f(x)＝下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．f(－1)＝1 D．若f(x)＝3，则x的值是 答案：BC 解析：由分段函数的解析式可知其定义域为(－∞，2)，故A错误；作出函数f(x)＝的图象，如图所示，由图可知，f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；因为f(－1)＝(－1)2＝1，故C正确；当x<－1时，3＝x＋5，x＝－2；当－1≤x<2时，3＝x2，x＝(x＝－舍去)，故若f(x)＝3，则x的值是或－2，故D错误．故选BC. 7．函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，则下列关于函数D(x)的结论正确的是(　　) A．函数D(x)的值域为[0，1] B．若D(x0)＝1，则D(x0＋1)＝1 C．若D(x1)－D(x2)＝0，则x1－x2∈Q D．∃x∈R，D(x＋)＝1 答案：BD 解析：对于A，函数D(x)的值域为{0，1}，故A错误；对于B，若D(x0)＝1，则x0∈Q，x0＋1∈Q，则D(x0＋1)＝1，故B正确；对于C，因为D(2π)－D(π)＝0－0＝0，但2π－π＝π∉Q，故C错误；对于D，当x＝－时，D(x＋)＝D(－＋)＝D(0)＝1，故∃x∈R，D(x＋)＝1，D正确．故选BD. 三、填空题 8．已知a∈R，f(x)＝若f(f(2))＝5，则a＝________． 答案：4 解析：∵a∈R，f(x)＝∴f(2)＝(2)2－9＝3，∴f(3)＝|3－2|＋a＝5，解得a＝4. 9．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________． 答案：f(x)＝ 解析：当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，将点(1，2)代入解析式，得k＝2，故f(x)＝2x；当1<x<2时，由图可知，f(x)＝2；当x≥2时，由图可知，f(x)＝3. 综上可知，f(x)＝ 10．某市家庭用水的使用量x(单位：m3)和水费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝已知某家庭2024年前四个月的水费如下表： 月份 用水量/m3 水费/元 一月 3.5 4 二月 4 4 三月 15 18 四月 20 25 若五月份该家庭使用了25 m3的水，则五月份的水费为________元． 答案：32 解析：根据一月份的用水量3.5 m3，水费4元，二月份的用水量4 m3，水费4元，可知f(4)＝m＝4，由表中数据可得 解得所以f(x)＝ 所以f(25)＝4＋×(25－5)＝32. 四、解答题 11．设函数f(x)＝且f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域． 解：(1)因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1， 所以16－4b＋c＝3，4－2b＋c＝－1， 解得b＝4，c＝3， 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示， 函数f(x)的定义域为[－4，4]． 当－4≤x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1， 所以－1≤f(x)≤3； 当0≤x≤4时，f(x)＝－x＋3， 所以－1≤f(x)≤3. 故函数f(x)的值域为[－1，3]． 12．某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元．某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)(12≤x≤30)元，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)(12≤x≤30)元，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？ 解：(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]， g(x)＝ (2)①12≤x≤20时，令6x＝90，解得x＝15， 即当12≤x<15时，f(x)<g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15<x≤20时，f(x)>g(x)． ②当20<x≤30时，f(x)>g(x)． 故当12≤x<15时，选A俱乐部合算； 当x＝15时，两家俱乐部一样； 当15<x≤30时，选B俱乐部合算． 13．定义运算a*b＝则函数f(x)＝x2*|x|的图象是(　　) 答案：B 解析：由给出的运算定义知 f(x)＝x2*|x|＝ 即f(x)＝ 所以B符合题意． 14．已知f(x)＝则满足不等式f(1－x)>f(x)的x的取值范围是________． 答案： 解析：解法一：根据题意求x的取值范围，需分四种情况讨论，具体如下：①当1－x≥0且x≥0，即0≤x≤1时，由f(1－x)>f(x)，得(1－x)2＋1>x2＋1，解得x<，所以0≤x<；②当1－x≥0且x<0，即x<0时，由f(1－x)>f(x)，得(1－x)2＋1>1，解得x≠1，所以x<0；③当1－x<0且x<0，此时x不存在，不满足要求；④当1－x<0且x≥0，即x>1时，由f(1－x)>f(x)，得1>x2＋1，此时不成立．综上可知，所求x的取值范围是. 解法二：画出函数f(x)＝的图象，如图所示，由图象可知，若f(1－x)>f(x)，则解得x<，即所求x的取值范围是. 15.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿逆时针方向由点B(起点)向点A(终点)移动，设点P移动的路程为x，△ABP的面积为y. (1)根据题意写出y与x之间的函数解析式； (2)作出函数的图象，并根据图象求y的最大值． 解：(1)点P移动，△ABP的面积随之变化，可分点P落在边BC上，CD上，DA上三种情况进行讨论，得函数解析式为 y＝ (2)函数的图象如图所示． 由图象可得ymax＝8. 16．小刘周末自驾游，早上8点从家出发，驾车3 h到达景区停车场，期间由于交通等原因，小刘的车所走路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13)，由于景区内不能驾车，小刘把车停在景区停车场，在景区玩到16点，小刘开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回． (1)求这天小刘的车所走路程s与离家时间t的函数解析式； (2)在距离小刘家60 km处有一加油站，求这天小刘的车途经该加油站的时间． 解：(1)依题意得， 当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)， 所以s(3)＝－5×3×(3－13)＝150， 即小刘家距景点150 km，小刘的车在景点停留时间为16－8－3＝5(h)． 所以当3<t≤8时，s(t)＝150. 小刘从景区回家所花时间为＝2.5(h)． 所以当8<t≤10.5时，s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330. 故s(t)＝ (2)当0≤t≤3时，令－5t(t－13)＝60， 得t2－13t＋12＝0， 解得t＝1或t＝12(舍去)． 当t＝1时，时间为9点． 当8<t≤10.5时，令60t－330＝240， 解得t＝9.5. 当t＝9.5时，时间为17点30分． 综上，这天小刘的车途经该加油站的时间分别为9点和17点30分． 9 学科网（北京）股份有限公司 $