3.1.1 第2课时 函数的表示方法-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 第2课时　函数的表示方法 (教师独具内容) 课程标准：1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.理解函数图象的作用． 教学重点：1.函数的三种表示方法.2.求函数的解析式． 教学难点：会根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数． 核心素养：1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养.2.借助函数解析式的求法提升数学运算素养． 知识点　函数的表示方法 (1)解析法 用代数式(或解析式)来表示函数的方法称为解析法． [注意]　利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)列表法 用列表的形式给出函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法． [提醒]　采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少，当自变量的个数较多时，使用不方便． (3)图象法 ①函数图象的定义：一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}． ②函数图象需满足的条件：如果F是函数y＝f(x)的图象，则需满足：（ⅰ）图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；（ⅱ）满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数的图象F上． ③用函数的图象表示函数的方法称为图象法． [说明]　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． 1．(列表法)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝(　　) x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 A.1 B．2 C．3 D．不存在 答案：C 2．(图象法)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________． 答案：[－2，3] 3．(解析法)已知正比例函数f(x)满足f(2)＝4，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝2x 4．(解析法)若f＝x＋1，则f(2)＝________． 答案： 5．(解析法)若f(x)＝2x＋1，则f(x＋1)＝________． 答案：2x＋3 题型一　函数的三种表示方法　 　某商场新进了10台4K高清电视，每台售价3000元，试求售出台数x(单位：台)与收款总额y(单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． [解]　①列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3000 6000 9000 12000 15000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18000 21000 24000 27000 30000 ②图象法： ③解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}． 【感悟提升】　函数的表示方法 (1)解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数． (2)图象法的优点是能直观形象地表示出随自变量的变化，相应的函数值的变化趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等． (3)列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛应用，如银行利率表、列车时刻表等． 【跟踪训练】　 1．(1)已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))＝(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 答案：B 解析：由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f(1)＝2，故f(g(2))＝f(1)＝2.故选B. (2)某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系． 解：①该函数关系用列表法表示为 x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 ②该函数关系用图象法表示，如图． ③该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5})． 题型二　函数图象的作法及应用　 　作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈(－2，2)． [解]　(1)列表： x 0 1 2 y 1 2 3 4 5 当x∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]． (2)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 　　当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝图象的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]． (3)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2<x<2之间的部分．由图可知函数的值域是[－1，8)． 【感悟提升】　描点法作函数图象的基本步骤 为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的草图或较为精确的图象．作函数图象通常有下列三个步骤： (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来； (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来； (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 注意：(1)作函数的图象时要注意函数的定义域． (2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数图象的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点． 【跟踪训练】　 2.(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________． 答案：[－3，3]　[－2，2] 解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3，3]，值域为[－2，2]． (2)作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： ① x －4 －2 2 4 y 1 －3 2 3 ②y＝－，x∈(－3，0)∪(0，1]； ③y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]． 解：①该函数的图象如图1所示，由图象可知值域为{－3，1，2，3}． 　　 ②作出函数y＝－，x∈(－3，0)∪(0，1]的图象，如图2所示，由图象可知值域为(－∞，－4]∪. ③作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图3所示，由图象可知值域为[－3，1]． 题型三　函数解析式的求法　 　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＋2f(x)＝－x－2，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (3)已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)； (4)设f(x)是R上的函数，f(0)＝1，并且对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋y(4x＋2y＋1)，求f(x)． [解]　(1)(待定系数法)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 由f(f(x))＋2f(x)＝－x－2，得 k(kx＋b)＋b＋2(kx＋b)＝－x－2， 即(k2＋2k)x＋kb＋3b＝－x－2， ∴ 解得 ∴f(x)＝－x－1. (2)解法一(配凑法)： ∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二(换元法)： 令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)(解方程组法)用代替x有2f＋f(x)＝， ∴ ①×2－②，得3f(x)＝4x－， 即f(x)＝－(x≠0)． (4)(赋值法)由已知条件得f(0)＝1，f(x＋y)＝f(x)＋y(4x＋2y＋1)．令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋(－x)(2x＋1)， ∴f(x)＝2x2＋x＋1. 【感悟提升】　函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法(消去法)、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，代入f(g(x))中求出f(t)，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式．一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 【跟踪训练】　 3．(1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求函数f(x)的解析式． 解：(待定系数法)设二次函数的解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题意，得解得 故f(x)＝x2＋1. (2)已知函数f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)． 解：解法一(换元法)：令x＋1＝t， 则x＝t－1， 代入，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2， 即f(t)＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. 解法二(配凑法)：f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. (3)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)． 解：解法一(配凑法)：∵f(＋4)＝()2＋8＝(＋4)2－16，∴f(x)＝x2－16(x≥4)． ∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)． 解法二(换元法)：令＋4＝t(t≥4)， 则x＝(t－4)2. ∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)， 即f(x)＝x2－16(x≥4)． ∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)． (4)已知2f(x－1)－f(1－x)＝2x2－1，求函数f(x)的解析式． 解：(解方程组法)令x－1＝t， 则1－x＝－t，x＝t＋1. 所以 解得f(t)＝2t2＋t＋1. 即函数f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋x＋1. (5)已知函数f(x)的定义域为R，且f≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，求f(x)． 解：令x＝，y＝0， 则有f＋f×f(0)＝f[1＋f(0)]＝0， 又f≠0， 所以1＋f(0)＝0，所以f(0)＝－1. 令x＝，y＝－， 则有f＋ff ＝4××， 即f(0)＋ff＝－1， 由f(0)＝－1，得ff＝0， 又f≠0，所以f＝0. 令y＝－， 则有f＋f(x)f＝4x×， 即f＝－2x， 令x－＝t，则x＝t＋， 所以f(t)＝－2t－1，即f(x)＝－2x－1. 1．已知函数y＝f(x)如下表，则f(f(1))＝(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 4 5 3 2 1 A.1 B．2 C．4 D．5 答案：B 解析：由题意可得f(1)＝4，f(4)＝2，所以f(f(1))＝f(4)＝2.故选B. 2．若f(x)＝3x－4，g(x－1)＝f(x)，则g(x)＝(　　) A．3x－3 B．3x－5 C．3x－1 D．3x＋4 答案：C 解析：∵g(x－1)＝3x－4＝3(x－1)－1，∴g(x)＝3x－1. 3.(多选)甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．乙与甲跑的路程一样多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点 答案：BD 解析：从图中直线看出甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲的速度比乙快，甲先于乙到达终点．故选BD. 4.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________． 答案：[－1，2]　[－1，3] 解析：观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的横坐标的取值范围是[－1，2]，纵坐标的取值范围是[－1，3]，故f(x)的定义域是[－1，2]，值域是[－1，3]． 5．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，则f(3)＝________． 答案：－3 解析：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x　①，∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x　②，②×2－①，得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.∴f(3)＝×32－2×3＝－3. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 列表法——求函数值域 解析法——求函数值 解析法——表示实际问题 图象法、解析法 解析法——新定义问题 图象法——求函数值、定义域、值域 解析法 列表法——求方程解集 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 实际问题中函数解析式的求法及应用 解析法——求参数值 函数图象的作法及应用 函数解析式的求法——待定系数法、配凑法、赋值法 函数解析式的求法及应用——待定系数法 函数解析式的求法及应用——赋值法 列表法、图象法、解析法的综合 实际问题中函数解析式的求法及应用——待定系数法、换元法 一、单选题 1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　) x x<2 2≤x≤3 x>3 y 1 0 1 A.{y|0≤y≤1} B．R C．{0，1，1} D．{0，1} 答案：D 解析：由题意，知该函数的值域是{0，1}．故选D. 2．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f＝(　　) A．1 B．3 C．15 D．30 答案：C 解析：解法一：令1－2x＝t，则x＝(t≠1)，∴f(t)＝－1(t≠1)，∴f＝16－1＝15. 解法二：令1－2x＝，得x＝，∴f＝＝15. 3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y(单位：cm)表示成x的函数为(　　) A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0) C．y＝(x>0) D．y＝(x>0) 答案：C 解析：由·y＝100，得2xy＝100，∴y＝(x>0)． 4．函数y＝的图象是(　　) 答案：C 解析：由题意得y＝＝＋1，则将反比例函数y＝的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y＝的图象．故选C. 5．定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝的解析式为(　　) A．f(x)＝－，x∈[－2，0)∪(0，2] B．f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2] C．f(x)＝－，x∈[－2，－1)∪(－1，2] D．f(x)＝，x∈[－2，－1)∪(－1，2] 答案：A 解析：因为2⊕x＝，x⊗2＝，则f(x)＝.又4－x2≥0，所以－2≤x≤2，于是f(x)＝－，定义域为{x|－2≤x≤2且x≠0}．故选A. 二、多选题 6．如图是函数f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f(0)＝－2 B．函数f(x)的定义域为[－3，2] C．函数f(x)的值域为[－2，2] D．若f(x)＝0，则x＝或x＝2 答案：ABD 解析：由题图知f(0)＝－2，故A正确；由图象知函数f(x)的定义域为[－3，2]，值域为[－3，2]，故B正确，C错误；由题图可知，若f(x)＝0，则x＝或x＝2，故D正确．故选ABD. 7．下列函数中，满足f(3x)＝3f(x)的是(　　) A．f(x)＝2|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝－x D．f(x)＝x＋2 答案：ABC 解析：对于A，f(x)＝2|x|，因为f(3x)＝2|3x|＝6|x|，3f(x)＝3×2|x|＝6|x|，所以f(3x)＝3f(x)，故A符合题意；对于B，f(x)＝x－|x|，因为f(3x)＝3x－|3x|＝3(x－|x|)＝3f(x)，所以满足f(3x)＝3f(x)，故B符合题意；对于C，f(x)＝－x，因为f(3x)＝－3x＝3f(x)，所以满足f(3x)＝3f(x)，故C符合题意；对于D，f(x)＝x＋2，因为f(3x)＝3x＋2，而3f(x)＝3x＋6，所以f(3x)≠3f(x)，故D不符合题意．故选ABC. 三、填空题 8．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如下表： x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程g(f(x))＝x的解集为________． 答案：{3} 解析：当x＝1时，f(1)＝2，g(f(1))＝2，不符合题意；当x＝2时，f(2)＝3，g(f(2))＝1，不符合题意；当x＝3时，f(3)＝1，g(f(3))＝3，符合题意．综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}． 9．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间的函数解析式为________．若悬挂弹簧的总长度为15 cm，则悬挂的物体的质量是________ kg.(注：弹簧始终在弹性限度内) 答案：y＝x＋12(x≥0)　6 解析：设所求函数解析式为y＝kx＋12(k≠0)，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝，所以所求的函数解析式为y＝x＋12(x≥0)．当y＝15时，可求得x＝6. 10．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________． 答案：－1 解析：因为g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝x＋，x∈[－1，0)∪(0，2]． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解：(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 即f(x)的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 12．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式； (3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式； (4)已知f(0)＝1，且对于任意实数x，y，f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)恒成立，求f(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21， 所以a＝2，b＝5， 所以f(x)＝2x＋5. (2)因为f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c＝1. 又因为f(x－1)－f(x)＝4x， 所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x， 求得a＝－2，b＝－2， 所以f(x)＝－2x2－2x＋1. (3)因为f＝＋2＋1＝＋3，所以f(x)＝x2＋3. (4)令x＝0，则有f(－y)＝1－y(－y＋1)＝y2－y＋1，再令x＝－y，则f(x)＝x2＋x＋1. 13．(多选)已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)＝2，h(1)＝－3，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝2x2＋ B．函数f(x)的定义域为(0，＋∞) C．f(4)＝ D．f＝－3 答案：BD 解析：对于A，设g(x)＝k1x2(k1∈R，且k1≠0)，h(x)＝(k2∈R，且k2≠0)，由于g(1)＝2，h(1)＝－3，所以k1＝2，k2＝－3.所以f(x)＝2x2－，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，故B正确；对于C，f(4)＝2×42－＝，故C错误；对于D，因为f(x)＝2x2－，所以f＝－3，故D正确．故选BD. 14．已知对任意的x，y∈N＋，都有f(x＋y)＝f(x)f(y)．若f(1)＝3，则＋＋…＋＝________． 答案：6069 解析：令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)f(1)＝3f(x)，则＝＝＝…＝＝3，所以＋＋…＋＝3×2023＝6069. 15．某商场经营一批进价是30元的商品，在市场试销中发现，此商品销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：台)之间有如下关系： x 35 40 45 50 … y 57 42 27 12 … 在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定你认为比较适合的x与y的一个函数关系式y＝f(x)． 解：作出点(35，57)，(40，42)，(45，27)，(50，12)，并用直线将其连接起来，如图，则可知其为一次函数，不妨设y＝kx＋b(k≠0)，将点(35，57)，(40，42)代入其中， 即解得 即y＝162－3x， 经验证，点(45，27)，(50，12)也在直线上，又日销售量y为非负数，因此162－3x≥0， 即x≤54，且由于进价为30元， 从而函数的定义域为[30，54]， 于是y＝162－3x(x∈[30，54])． 16．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益f(x)与投资额x成正比，其关系如图①；投资股票等风险型产品的年收益g(x)与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图②. (1)分别写出两种产品的年收益f(x)和g(x)的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益？其最大年收益是多少万元？ 解：(1)依题意，可设f(x)＝k1x(x≥0)， g(x)＝k2(x≥0)， 由题意知f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝， 所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20－x)万元，年收益为y万元， 依题意得y＝f(x)＋g(20－x)， 即y＝＋(0≤x≤20)， 令t＝，则x＝20－t2，t∈[0，2]， 则y＝＋＝－(t－2)2＋3，t∈[0，2]， 所以当t＝2，即x＝16时，y取最大值，为3. 故投资债券类产品16万元，股票类产品4万元能使年收益最大，其最大年收益为3万元． 17 学科网（北京）股份有限公司 $