3.1.1 第1课时 函数的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 3.1.1　函数及其表示方法 第1课时　函数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 教学重点：1.函数的概念.2.符号“y＝f(x)”的含义.3.函数的定义域和值域的求法． 教学难点：符号“y＝f(x)”的含义及已知函数解析式求函数定义域的方法． 核心素养：1.通过学习函数的概念、构成函数的要素、同一个函数的概念培养数学抽象素养.2.通过求函数的定义域和值域培养数学运算素养． 知识点一　函数的有关概念 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域． 知识点二　构成函数的三要素 (1)定义域； (2)对应关系； (3)值域． 知识点三　同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． [提醒]　(1)A，B都是非空实数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如y＝就不是函数． (2)集合A就是定义域，因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应． (3)集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到C⊆B. (4)符号“y＝f(x)”表示“x对应的函数值”，f表示对应关系． (5)“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”． (6)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个数值，是常量；f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．例如，f(x)＝2x表示函数；当x＝3时，f(3)＝6，是一个常量． (7)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． 1．(函数的概念)已知y＝f(x)，x∈A，y∈B，若a∈A，则下列说法错误的是(　　) A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一个 C．若f(a)＝f(b)，则a＝b D．若a＝b，则f(a)＝f(b) 答案：C 2．(求函数值)已知f(x)＝x2＋1，则f(f(－1))＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 3．(函数的定义域)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(－∞，5] B. C．[5，＋∞) D. 答案：D 4．(同一个函数的判断)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝3x＋4与g(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－3x与g(t)＝t2－3t C．f(x)＝1与g(x)＝ D．f(x)＝x2与f(x－1)＝x2 答案：B 题型一　函数关系的判断　 　(1)如图可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) [解析]　观察图象可知，A，B，C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D中图象是函数图象． [答案]　D (2)已知集合A＝[0，8]，集合B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数的是(　　) A．f：“乘以” B．f：“乘以” C．f：“乘以” D．f：“乘以2” [解析]　对于A中的任意一个元素，在对应关系f：“乘以”，f：“乘以”，f：“乘以”下，在B中都有唯一的元素与之对应，能构成函数，故A，B，C不符合题意．对于A中的元素8，在对应关系f：“乘以2”下，在B中没有元素与之对应，不能构成函数，故D符合题意． [答案]　D 【感悟提升】　 1．根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)作一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若存在l与图形有两个或两个以上交点，则不是函数． 2．判断对应关系是否为函数的两个条件 (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数，“一对多”的不是函数． 【跟踪训练】　 1．(1)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象的是(　　) 答案：C 解析：由函数的概念知选C. (2)下列对应关系是集合P上的函数的是________(填序号)． ①P＝Z，Q＝N＋，对应关系f：求绝对值； ②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：求平方； ③P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：求面积． 答案：② 解析：②显然是函数；由于①中的集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素，所以①不是函数；③中的集合P不是数集，所以③不是函数． 题型二　求函数的定义域　 角度　求具体函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)y＝＋； (3)y＝. [解]　(1)函数y＝2x＋3的定义域为R. (2)要使函数有意义，则即所以函数y＝＋的定义域是[－1，2)∪(2，＋∞)． (3)要使函数有意义，则即即x≥1， 所以函数y＝的定义域为[1，＋∞)． 【感悟提升】　求具体函数定义域的步骤与方法 (1)求具体函数定义域的一般步骤 ①列出使函数解析式有意义的自变量的不等式(组)； ②解不等式(组)； ③把解集表示成集合或区间的形式． (2)列不等式(组)的依据 ①分母不为零； ②二次根式中被开方数大于或等于零； ③零指数幂的底数不为零； ④几部分组成：若y＝f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，则定义域是使各部分都有意义的集合的交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示．若用区间表示，不同区间应该用“∪”连接． 【跟踪训练】　 2．求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝＋； (3)y＝；(4)y＝(1－2x)0. 解：(1)要使函数式有意义，即分式有意义， 则x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}． (2)要使函数式有意义，则即 所以x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}． (3)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义， 所以函数的定义域为{x|x≠±1}． (4)因为1－2x≠0，即x≠， 所以函数的定义域为. 角度　求抽象函数的定义域 　(1)已知函数f(x)的定义域为[－1，1]，求函数f(2x－1)的定义域． [解]　∵函数f(x)的定义域为[－1，1]， ∴函数f(2x－1)中自变量x的取值应满足－1≤2x－1≤1，即0≤x≤1. ∴函数f(2x－1)的定义域为[0，1]． (2)已知函数f(x－1)的定义域为(1，4]，求函数f(x)的定义域． [解]　∵函数f(x－1)的定义域为(1，4]， 即x∈(1，4]，∴0<x－1≤3，令x－1＝t， 则函数f(t)的定义域为(0，3]， 即函数f(x)的定义域为(0，3]． 　若函数f(x－1)的定义域为(－1，1)，如何求函数f(2x－1)的定义域？ 解：∵函数f(x－1)的定义域为(－1，1)， ∴－1<x<1，则－2<x－1<0，令x－1＝t， ∴函数f(t)的定义域为(－2，0)， 即函数f(x)的定义域为(－2，0)． ∴由－2<2x－1<0，得－<x<. ∴函数f(2x－1)的定义域为. 【感悟提升】　求抽象函数定义域的方法 (1)当对应关系f所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，应将左、右两端统一，也可以用“换元法”，将较难配凑的式子化简． (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得．若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数g(x)在x∈[a，b]时的范围即为所求函数f(x)的定义域． 【跟踪训练】　 3．(1)若函数f(x)的定义域为[－3，5]，则函数φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域为(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－3，3] D．[3，5] 答案：C 解析：由函数f(x)的定义域为[－3，5]，得即解得－3≤x≤3.所以函数φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域为[－3，3]．故选C. (2)已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(1－x)的定义域为(　　) A．[－3，1] B．[0，3] C．[－5，1] D．[0，5] 答案：D 解析：因为函数f(x)＝的定义域满足－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x≤1.又g(x)＝f(1－x)，所以－4≤1－x≤1，解得0≤x≤5.故选D. (3)已知函数f(2x－1)的定义域为(－1，9)，则函数f(3x＋1)的定义域为(　　) A. B. C. D．(－2，28) 答案：B 解析：因为函数f(2x－1)的定义域为(－1，9)，即－1<x<9，所以－3<2x－1<17，所以函数f(x)的定义域为(－3，17)，由－3<3x＋1<17，得－<x<，所以函数f(3x＋1)的定义域为.故选B. 题型三　求函数的值或值域　 　(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． ①求f(2)，g(2)的值； ②求f(g(3))的值． [解]　①∵f(x)＝， ∴f(2)＝＝. ∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6. ②∵g(3)＝32＋2＝11， ∴f(g(3))＝f(11)＝＝. (2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1，x∈{1，2，3，4，5}； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； ③y＝； ④y＝2x－. [解]　①(观察法)因为x∈{1，2，3，4，5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2，3，4，5，6}． ②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)． ③(分离常数法) y＝＝＝2＋， 显然≠0， 所以y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(换元法)设t＝， 则x＝t2＋1，且t≥0， 所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为. 【感悟提升】　求函数值域的原则及常用方法 (1)原则 ①先确定相应的定义域； ②再根据函数的具体形式通过运算确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到； ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法； ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法； ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数”的形式，便于求值域． 【跟踪训练】　 4．(1)已知函数f(x)＝2x－5，则f(f(1))＝(　　) A．－11 B．－3 C．11 D．3 答案：A 解析：因为函数f(x)＝2x－5，所以f(1)＝2×1－5＝－3，所以f(f(1))＝f(－3)＝2×(－3)－5＝－11.故选A. (2)已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________． 答案：16 解析：因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1，又因为f(a)＝3，所以－1＝3，解得a＝16. (3)求下列函数的值域： ①y＝；②y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)． 解：①∵y＝＝＝1－，且≠0，∴函数y＝的值域为{y|y≠1}． ②配方，得y＝(x－2)2＋2. 由x∈[1，5)，结合函数的图象可知， 函数y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)的值域为{y|2≤y<11}． 题型四　同一个函数的判断　 　(多选)下列各组函数中表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 C．f(x)＝x，g(x)＝|x| D．f(x)＝，g(x)＝ [解析]　对于A，虽然两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数；对于B，函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数；对于C，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数；对于D，当x>0时，f(x)＝＝1，当x<0时，f(x)＝＝－1，所以f(x)＝＝故与g(x)是同一个函数． [答案]　BD 【感悟提升】　判断两个函数为同一个函数的条件 (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个非空实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 【跟踪训练】　 5．下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？ (1)y＝()2；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝. 解：(1)y＝()2＝x(x≥0)，与函数y＝x的定义域不同，所以不是同一个函数． (2)y＝＝x(x∈R)，与函数y＝x的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数． (3)y＝＝|x|＝ 当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以不是同一个函数． (4)y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数． 1．下列四个图中，不是以x为自变量的函数的图象是(　　) 答案：C 解析：根据函数的定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然A，B，D满足函数的定义，而C不满足．故选C. 2．函数f(x)＝＋(x－2)0的定义域为(　　) A．[1，＋∞) B．[1，2)∪(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(1，2)∪(2，＋∞) 答案：D 解析：由题意，知解得x>1，且x≠2.所以函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞)． 3．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系，能够构成以A为定义域，B为值域的函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝|4－2x| D．y＝x＋5 答案：ABC 解析：对于A，y＝2x，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，显然其值域为B＝{y|0≤y≤4}，故A满足条件；对于B，y＝x2，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，其值域为B＝{y|0≤y≤4}，故B满足条件；对于C，y＝|4－2x|，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，其值域为B＝{y|0≤y≤4}，故C满足条件；对于D，y＝x＋5，若其定义域为A＝{x|0≤x≤2}，则其值域为{y|5≤y≤7}，因此D不满足条件．故选ABC. 4．下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝·，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3. 其中表示同一个函数的是________(填上所有表示同一个函数的序号)． 答案：③ 解析：①定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，故不表示同一个函数；②对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝，故不表示同一个函数；③定义域、对应关系都相同，表示同一个函数；④对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3，故不表示同一个函数．综上，只有③中两个函数表示同一个函数． 5．已知函数f(x)＝x2＋x－1，则f(2)＝________；若f(x)＝5，则x＝________． 答案：5　2或－3 解析：f(2)＝22＋2－1＝5.由题意可得f(x)＝x2＋x－1＝5，所以x2＋x－6＝0，所以x＝2或x＝－3. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 函数的概念　 函数的三要素 函数的定义域 求函数值——分离常数法 函数的值域　 同一个函数的判断 函数的定义域、函数的值域 多层函数求值 抽象函数的定义域 题号 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 已知函数值求参数值　 函数的定义域、求函数值 函数的值域——分离常数法、配方法、换元法 函数的定义域 新定义背景下判断符合条件的函数个数 函数求值及其应用 函数的定义域、值域的综合应用 一、单选题 1．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是(　　) A．M＝R，N＝(0，＋∞)，f为“求绝对值” B．M＝N，N＝N＋，f为“先减1，再求绝对值” C．M＝(0，＋∞)，N＝R，f为“求平方” D．M＝R，N＝[0，＋∞)，f为“求非负平方根” 答案：C 解析：对于A，0∈M，但|0|＝0∉N；对于B，1∈M，但|1－1|＝0∉N；对于D，集合M中元素取负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是从集合M到集合N的函数． 2．设f(x)＝x2是定义在A上值域为B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是(　　) A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．{－1，0} 答案：D 解析：若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02∉B，故选D. 3．函数y＝的定义域是(　　) A．(0，1) B．(0，1] C．(－∞，0)∪(0，1] D．[1，＋∞) 答案：C 解析：根据题意，有解得x≤1且x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，1]．故选C. 4．已知函数f(x)＝，则f(－2)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：由题意知f(－2)＝＝＝1.故选C. 5．已知函数f(x)＝，定义域为(2，＋∞)，则f(x)的值域为(　　) A．(－∞，1) B．(3，＋∞) C．(0，2) D．(1，3) 答案：D 解析：f(x)＝＝＝1＋，当x>2时，x－1>1，所以0<<1，则0<<2.所以1<1＋<3，即f(x)＝在(2，＋∞)上的值域为(1，3)．故选D. 二、多选题 6．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝x＋3 B．y＝－1与y＝|x|－1 C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z 答案：BC 解析：A中两函数的定义域不同；D中两函数的对应关系不同；B，C中两函数的定义域与对应关系都相同．故选BC. 7．下列函数中，定义域是其值域子集的是(　　) A．y＝x＋6 B．y＝－x2－2x＋5 C．y＝ D．y＝－1 答案：AC 解析：对于A，y＝x＋6的定义域、值域均为R，故A符合题意；对于B，y＝－x2－2x＋5＝－(x＋1)2＋6的定义域为R，值域为(－∞，6]，故B不符合题意；对于C，y＝的定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，故C符合题意；对于D，y＝－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故D不符合题意．故选AC. 三、填空题 8．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，则g(f(2))＝________． 答案： 解析：∵f(2)＝2×22＋2＝10，∴g(f(2))＝g(10)＝＝. 9．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是________． 答案： 解析：由函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，得0≤2x－1≤2，解得≤x≤.又x－1>0，所以x>1.综上，可得1<x≤，故函数g(x)的定义域是. 10．已知f＝3x－2，且f(m)＝7，则实数m＝________． 答案：－ 解析：令3x－2＝7，解得x＝3，则m＝－3＝－. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝＋. (1)求函数f(x)的定义域； (2)求f(－3)，f的值； (3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值． 解：(1)要使函数有意义， 则x应满足 解得－3≤x<－2或x>－2. 即函数f(x)的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)． (2)f(－3)＝＋＝－1. f＝＋＝＋. (3)∵a>0， ∴a，a－1∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)， 即f(a)，f(a－1)有意义． 则f(a)＝＋， f(a－1)＝＋＝＋. 12．求下列函数的值域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝x－. 解：(1)因为y＝＝＝3－，且≠0，所以y≠3. 所以所求函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)． (2)因为y＝ ＝， 所以0≤y≤， 所以所求函数的值域为. (3)设t＝，则t≥0且x＝－t2＋， 得y＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋1. 因为t≥0，所以y≤， 即所求函数的值域为. 13．已知f(x)＝＋，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[－2，1)∪(1，2] B．[0，1)∪(1，4] C．[0，1)∪(1，2] D．[－1，1)∪(1，3] 答案：A 解析：∵f(x)＝＋，∴∴－1≤x≤3，∴f(x)的定义域为[－1，3]．又g(x)＝，∴∴－2≤x≤2且x≠1， ∴g(x)＝的定义域是[－2，1)∪(1，2]．故选A. 14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有(　　) A．10个 B．9个 C．8个 D．4个 答案：B 解析：由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”． 15．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值； (2)求证：f(x)＋f是定值； (3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2024)＋f的值． 解：(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＋f＝＋＝1， f(3)＋f＝＋＝1. (2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1，是定值． (3)由(2)，知f(x)＋f＝1， ∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1， … f(2024)＋f＝1. ∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2024)＋f＝2023. 16．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝x2－2x＋a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B＝R，求实数a的取值范围． 解：由题意，函数f(x)＝的定义域需满足x2－16≥0，解得x≤－4或x≥4， 所以集合A＝{x|x≤－4或x≥4}． 函数g(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，x∈[0，4]， 当x＝1时，函数g(x)取得最小值，为a－1； 当x＝4时，函数g(x)取得最大值，为a＋8， 所以函数g(x)的值域为[a－1，a＋8]， 所以集合B＝[a－1，a＋8]． 因为A∪B＝R，如图所示， 所以需满足解得－4≤a≤－3， 故实数a的取值范围为[－4，－3]． 17 学科网（北京）股份有限公司 $