2.2.1 不等式及其性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦不等式及其性质，引导学生理解不等式概念，掌握作差法比较大小及不等式性质的应用。以实数与数轴的对应关系为学习支架，衔接前后知识，通过例题与探究逐步深化对比较大小、证明不等式等方法的理解。 本资料通过分层例题、条件探究及跟踪训练，引导学生掌握作差法、反证法等数学方法，注重逻辑推理素养的培养。清晰的知识脉络与核心素养目标结合，助力学生形成数学思维，提升解决问题的能力，适合教师引导学生自主学习与课堂教学使用。

数学 必修 第一册RJB 2.2.1　不等式及其性质 (教师独具内容) 课程标准：1.理解不等式的概念.2.掌握不等式的性质． 教学重点：1.不等式的性质.2.用作差法比较代数式的大小.3.用不等式的性质证明不等式． 教学难点：用不等式的性质求取值范围． 核心素养：1.通过学习不等式的性质及推论培养数学抽象素养.2.通过应用不等式的性质及推论解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　不等式与不等关系 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 注意：a≥b⇔a>b或a＝b，a≤b⇔a<b或a＝b． 知识点二　比较两个实数大小的方法 (1)画数轴比较法 依据 ①实数与数轴上的点一一对应； ②一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x) 结论 数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大 (2)作差比较法 依据 a－b<0⇔a<b a－b＝0⇔a＝b a－b>0⇔a>b 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系即可 知识点三　不等式的性质及推论 (1)不等式的性质 性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c；(可加性) 性质4：如果a>b，b>c，那么a>c；(传递性) 性质5：a>b⇔b<a.(对称性) (2)不等式的推论 推论1：如果a＋b>c，那么a>c－b；(移项法则) 推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；(同向可加性) 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；(同向同正可乘性) 推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)；(可乘方性) 推论5：如果a>b>0，那么>.(可开方性) [注意]　两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d. 知识点四　证明方法 (1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，从而证得不等式． (2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． (3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． (4)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、基本事实、定理等)为止．分析法中，最重要的推理形式为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． [拓展]　常用的结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)b<0<a⇒>. (3)a>b>0，c>d>0⇒>. (4)若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(a－m>0)． 1．(比较两个实数的大小)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 答案：C 2．(不等式的性质)设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c>b－d B．ac>bd C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c 答案：C 3．(作差法比较大小)已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系是________． 答案：x2＋2>3x 题型一　作差法比较大小　 　比较下列各组中两数的大小： (1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小； (2)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (3)已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小． [解]　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b， ∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. (2)x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2＋x＋1－2x) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1). ∵x<1，∴x－1<0，又＋>0， ∴(x－1)<0， ∴x3－1<2x2－2x. (3)∵m－n＝＋－＝－ ＝＝， 又x，y均为正数， ∴xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0. ∴m－n≥0，即m≥n(当且仅当x＝y时，等号成立)． [条件探究]　若将本例(2)中“x<1”改为“x∈R”，则x3－1与2x2－2x的大小关系又如何呢？ 解：由例题知x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)·，∵＋>0， ∴当x－1<0，即x<1时，x3－1<2x2－2x； 当x－1＝0，即x＝1时，x3－1＝2x2－2x； 当x－1>0，即x>1时，x3－1>2x2－2x. 【感悟提升】　作差比较法的四个步骤 【跟踪训练】　 1．(1)比较x3＋6x与x2＋6的大小． 解：(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)． ∵x2＋6>0，∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6； 当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6； 当x<1时，x3＋6x<x2＋6. (2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小． 解：x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)． ∵a2＋1＞0，∴当a＞b时，x－y＞0，即x＞y； 当a＝b时，x－y＝0，即x＝y； 当a＜b时，x－y＜0，即x＜y. 题型二　利用不等式的性质判断　 　(1)(多选)下列命题正确的是(　　) A．若<且c>0，则a>b B．若a>b且c>d，则ac>bd C．若a>b>0且c>d>0，则> D．若>，则a>b [解析]　对于A，由可得<，当a<0，b>0时，满足已知条件，但推不出a>b，故A错误；对于B，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，故B错误；对于C，由可得>>0，所以>，故C正确；对于D，显然c2>0，所以两边同乘以c2，得a>b，故D正确．故选CD. [答案]　CD (2)若实数a，b，c满足a>b>c，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋c>b B．a|c|>b|c| C.< D.< [解析]　对于A，当a＝3，b＝2，c＝－5时，a＋c>b不成立，故A错误；对于B，当a＝3，b＝2，c＝0时，a|c|＝b|c|，故B错误；对于C，因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，故<，故C正确；对于D，当a＝0时，左右两边相等，故D错误．故选C. [答案]　C 【感悟提升】　 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2)解有关不等式性质的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【跟踪训练】　 2．(1)判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若>，则ad>bc； ②设a，b为正实数，若a－<b－，则a<b. 解：①因为>，所以－>0，即>0， 所以或 即ad>bc且cd>0或ad<bc且cd<0，故不正确． ②因为a－<b－，且a>0，b>0，所以a2b－b<ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a<0⇒ab(a－b)＋(a－b)<0⇒(a－b)(ab＋1)<0，所以a－b<0，即a<b，故正确． (2)若a<b<0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由． ①<；②>. 解：①成立．由a<b<0，得a<a－b<0， 所以<. ②成立．因为a<b<0，所以a＋b<b<0， 所以>. 题型三　利用不等式的性质求取值范围　 　(1)已知2<a≤5，3≤b<10，求a－b，的取值范围． [解]　∵3≤b<10， ∴－10<－b≤－3. 又2<a≤5，∴－8<a－b≤2. 又＜≤，∴<≤. (2)已知－≤α<β≤，求，的取值范围． [解]　∵－≤α<β≤， ∴－≤<，－<≤. 两式相加得－<<. ∵－≤<，－≤－<， 两式相加得－≤<. 又α<β，∴<0，∴－≤<0. (3)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x－3y的取值范围． [解]　设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y， 则解得 所以9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)， 因为－1≤4x－y≤5，所以－2≤2(4x－y)≤10， 又因为－4≤x－y≤－1，所以－6≤9x－3y≤9. 　若本例(1)中，条件不变，则a＋b，ab的取值范围又如何？ 解：由2<a≤5，3≤b＜10，得2＋3<a＋b<5＋10，2×3<ab<5×10，即5<a＋b<15，6<ab<50. 【感悟提升】　本例(1)中不能直接用a的范围减去或除以b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如本例(3)，要求9x－3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求9x－3y的范围，应把已知的“x－y”“4x－y”视为整体，即9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，所以需分别求出(x－y)，2(4x－y)的范围，两范围相加可得9x－3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量之间的数量关系，然后去求． 【跟踪训练】　 3．(1)已知1<a<4，2<b<8，求2a＋3b与a－b的取值范围． 解：因为1<a<4，2<b<8， 所以2<2a<8，6<3b<24， 所以8<2a＋3b<32. 因为2<b<8，所以－8<－b<－2. 又因为1<a<4， 所以1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. (2)已知－<β<α<，求2α－β的取值范围． 解：因为－<α<，－<β<， 所以－<－β<，所以－π<α－β<π. 又因为β<α，所以α－β>0，所以0<α－β<π， 因为2α－β＝α＋(α－β)， 所以－<2α－β<. (3)已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤5，求3x－2y的取值范围． 解：设3x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y， 所以解得 所以3x－2y＝(x＋y)＋(x－y)． 因为－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤5，所以－≤(x＋y)≤，≤(x－y)≤，所以2≤3x－2y≤13. 题型四　利用不等式的性质证明不等式　 角度　综合法 　(1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. [证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴－ac<－bc. ∵f<e，∴f－ac<e－bc. (2)若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. [证明]　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0. 则(a－c)2>(b－d)2>0，即<. 又e<0，∴>. 角度　反证法 　已知x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2. [证明]　假设与都不小于2，即≥2，≥2. ∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x，1＋x≥2y， 两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)． ∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． 故与至少有一个小于2. 角度　分析法 　已知bc－ad≥0，bd>0.求证：≤. [证明]　∵bd>0，∴要证≤，只需证d(a＋b)≤b(c＋d)，展开得ad＋bd≤bc＋bd，即ad≤bc，bc－ad≥0，∵bc－ad≥0成立，∴≤成立． 【感悟提升】　利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧 (1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件． (2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件，即使用分析法．所以要根据已知条件和所证结论合理选择用综合法、反证法还是分析法． 【跟踪训练】　 4．(1)已知c>a>b>0，求证：>. 证明：∵a>b，∴－a<－b，又c>a>b>0， ∴0<c－a<c－b，∴>>0. 又a>b>0，∴>. (2)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 证明：假设a，b，c，d都是非负数， ∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾， ∴假设不成立， ∴a，b，c，d中至少有一个是负数． (3)已知a>b>0，求证：<－<. 证明：要证<－<， 只需证<<. ∵a>b>0，∴同时除以，得 <1<， 同时开方，得<1<， 只需证＋<2，且＋>2， 即证<，即证b<a. ∵a>b>0， ∴原不等式成立， 即<－<. 1．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是(　　) A．m<n B．m>n C．m≥n D．m≤n 答案：D 解析：∵n－m＝x2≥0，∴n≥m. 2．已知a<0，－1<b<0，则下列不等式成立的是(　　) A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a 答案：D 解析：解法一：由于－1<b<0，所以0<b2<1，又a<0，所以a<ab2<0，且ab>0.故选D. 解法二：取特殊值，比如令a＝－1，b＝－，可得ab>ab2>a.故选D. 3．(多选)设a，b，c，d∈R，则(　　) A．a>b，c＝d⇒ac<bd B.>⇒a>b C．a3>b3，ab>0⇒< D．a>b，>⇒a>0，b<0 答案：CD 解析：显然c＝d＝0时，结论不成立，A错误；c<0时，结论不成立，B错误；因为a3>b3，ab>0，所以a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)>0，所以a>b，>，即<，C正确；因为>，所以－>0，即>0，又a>b，所以b－a<0，所以ab<0，所以a>0，b<0，D正确．故选CD. 4．设a＝＋2，b＝3＋，则a，b的大小关系为________． 答案：a<b 解析：由a＝＋2，b＝3＋，可得a2＝13＋4，b2＝19＋6，显然a2<b2，又a>0，b>0，所以a<b. 5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围为________． 答案： 解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则解得λ1＝，λ2＝－.又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，所以－≤a＋3b≤1. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 作差法比较大小——配方法　　　 利用不等式的性质及推论判断不等关系　 利用不等式的性质及推论求取值范围　　 不等式的性质与充分、必要条件相结合 利用不等式的性质及作差法判断不等关系 利用不等式的性质判断命题的真假 不等式的实际应用　 反证法证明不等式 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用不等式的性质及推论求取值范围 作差法比较大小的应用　　 作差法比较大小——因式法、分式型 不等式的证明——反证法、分析法 利用不等式的性质及推论判断不等关系 利用不等式的性质求取值范围——整体代换法 作差法比较大小、作商法比较大小 不等式的证明及应用——综合法 一、单选题 1．若a>b，则b2＋1与3b－a的大小关系是(　　) A．b2＋1>3b－a B．b2＋1≥3b－a C．b2＋1<3b－a D．b2＋1≤3b－a 答案：A 解析：b2＋1－(3b－a)＝b2－2b＋1＋(a－b)＝(b－1)2＋(a－b)．∵a>b，∴a－b>0.又(b－1)2≥0，∴(b－1)2＋(a－b)>0，即b2＋1>3b－a.故选A. 2．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是(　　) A．ac2>bc2 B．a－d>b－c C．ad<bd D．a2>b2 答案：B 解析：对于A，若c＝0，则A不正确；对于B，由c＞d，得－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，则B正确；对于C，若d为正数，则C不正确；对于D，若a，b为负数，则D不正确．故选B. 3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 答案：A 解析：由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2，又α<β，所以－2<α－β<0.故选A. 4．若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：对于0<ab<1，如果a>0，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<或b>”成立，但条件“0<ab<1”不成立，因此“0<ab<1”不是“a<或b>”的必要条件，即“0<ab<1”是“a<或b>”的充分不必要条件．故选A. 5．若a>b>c，a＋b＋c＝0，则下列不等式成立的是(　　) A．a2<b2 B．ac＞bc C.< D．a3＋a>a2b＋b 答案：D 解析：因为a>b>c，a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，取a＝3，b＝－1，c＝－2，则a2＝9＞b2＝1，>，故A，C不成立；因为ac－bc＝c(a－b)<0，所以ac＜bc，故B不成立；a3＋a－(a2b＋b)＝a(a2＋1)－b(a2＋1)＝(a2＋1)(a－b)，因为a>b，a2＋1>0，所以a3＋a>a2b＋b，故D成立．故选D. 二、多选题 6．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0 B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0 C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0 D．若<<0，则< 答案：BCD 解析：对于A，若ab<0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab，得－<0，所以A错误；对于B，若ab>0，－>0，不等式两边同时乘以ab，得bc－ad>0，所以B正确；对于C，若－>0，则>0，又bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；对于D，由<<0，可知b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以<成立，所以D正确．故选BCD. 7．两次购买同一种物品，可以用两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．张阿姨和李阿姨是邻居，经常结伴去买菜．张阿姨喜欢用第一种方式买猪肉，李阿姨喜欢用第二种方式买猪肉，已知两次买猪肉的单价分别为每斤X元和Y元(X≠Y)，则下列说法正确的是(　　) A．张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元 B．李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元 C．张阿姨的购买方式更实惠 D．李阿姨的购买方式更实惠 答案：ABD 解析：设用第一种方式买猪肉时，每次购买这种物品的数量为a(a>0)，用第二种方式买猪肉时，每次购买这种物品所花的钱数为b(b>0)．对于A，张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤＝(元)，故A正确；对于B，李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤＝＝(元)，故B正确；对于C，D，因为－＝＝，又X>0，Y>0，X≠Y，所以有－>0，所以>，故C错误，D正确．故选ABD. 三、填空题 8．用反证法证明“a，b，c中至少有一个不小于”时，假设内容是________________． 答案：a，b，c都小于 解析：“a，b，c中至少有一个不小于”的否定是“a，b，c都小于”． 9．已知60＜x＜84，28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________． 答案：(27，56)　 解析：∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，＜＜.又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，＜＜，即＜＜3. 10．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件为________． 答案：ab≠1或a≠－2 解析：∵x＞y，∴x－y＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，∴ab－1≠0或a＋2≠0，即ab≠1或a≠－2. 四、解答题 11．设a>b>0，试比较与的大小． 解：－ ＝ ＝ ＝. ∵a>b>0， ∴a＋b>0，a－b>0，2ab>0，a2＋b2>0. ∴>0，∴>. 12．(1)已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1； (2)已知n≥0，求证：－≤－. 证明：(1)假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3. 而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝2＋3≥3矛盾，故假设不成立， 即a，b，c中至少有一个不小于1. (2)要证－≤－， 只需证＋≤2. 只需证(＋)2≤(2)2， 只需证n＋1≥， 只需证(n＋1)2≥n2＋2n， 只需证n2＋2n＋1≥n2＋2n，只需证1≥0， 因为1≥0显然成立， 所以当n≥0时，－≤－. 13．(多选)若<<0，则下列结论中正确的是(　　) A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| 答案：ABC 解析：因为<<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A，B，C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．故选ABC. 14．(多选)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则(　　) A．1≤x≤4 B．－2≤y≤1 C．2≤4x＋y≤15 D.≤x－y≤ 答案：AC 解析：因为－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，3≤3x≤12，所以1≤x≤4，故A正确；因为所以－2≤－3y≤11，解得－≤y≤，故B错误；因为4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)，所以2≤4x＋y≤15，故C正确；因为x－y＝－(x＋y)＋(2x－y)，所以≤x－y≤，故D错误．故选AC. 15．已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小． 解：解法一(作差法)：－(＋)＝＋＝＋＝＝. ∵a，b为正实数， ∴＋>0，>0，(－)2≥0， ∴≥0，当且仅当a＝b时等号成立． ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． 解法二(作商法)：＝ ＝＝ ＝＝1＋≥1， 当且仅当a＝b时取等号． ∵＋>0，＋>0， ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． 16．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|. (1)求证：b＋c>0； (2)求证：<； (3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． 解：(1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0， 所以b>－c，所以b＋c>0. (2)证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0. 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0. 所以0<<.① 因为a>b，d>c，所以a＋d>b＋c， 所以a＋d>b＋c>0.② 所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性，可将不等式①②相乘得<. (3)能．因为a＋d>b＋c>0，0<<， 所以<<或<<.(只要写出其中一个即可) 15 学科网（北京）股份有限公司 $