2.1.3 方程组的解集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 2.1.3　方程组的解集 (教师独具内容) 课程标准：1.了解方程组的概念.2.会求简单方程组的解集． 教学重点：二元二次方程组、三元一次方程组的解法． 教学难点：二元二次方程组的解法． 核心素养：1.通过学习方程组解集的概念培养数学抽象素养.2.通过求方程组的解集培养数学运算素养． 知识点一　方程组 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组． 知识点二　方程组的解集 方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． [提醒]　当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 1．(二元一次方程组的解集)二元一次方程组的解集是(　　) A．{(2，－1)} B．{(－1，2)} C．{(－2，1)} D．{(1，－2)} 答案：A 2．(三元一次方程组)若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值是________． 答案：5 3．(二元二次方程组的解集)方程组的解集为________． 答案：{(1，2)，(－1，－2)} 题型一　一次方程组的解集　 　求下列方程组的解集： (1)(2) [解]　(1)已知 由①得x＝2y＋1，　　　　　　　③ 把③代入②，得2y＋1＋3y＝6， 解得y＝1.把y＝1代入③得x＝3， 所以原方程组的解为 即其解集为{(3，1)}． (2)已知 由方程②，得x＝y＋1，　　④ 将方程④分别代入方程①，③， 得解得 将y的值代入方程④，得x＝10. 所以原方程组的解为 即其解集为{(10，9，7)}． 【感悟提升】　解三元一次方程组的基本步骤 (1)观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数； (2)利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组； (3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值； (5)写出三元一次方程组的解． 【跟踪训练】　 1．求下列方程组的解集： (1)(2) 解：(1)已知 ①×2得6x＋4y＝2，②×3得6x－9y＝15， ①×2－②×3得13y＝－13，解得y＝－1， 把y＝－1代入①中，得x＝1， 所以方程组的解为 即其解集为{(1，－1)}． (2)已知 ③×2－②，得6y＋7z＝－2，　　　④ ③×4－①，得19y＋21z＝－4，　　⑤ ④与⑤组成方程组 解得 将y＝2，z＝－2代入③，得x＝5， 所以原方程组的解为即其解集为{(5，2，－2)}． 题型二　二元二次方程组的解集　 　求下列方程组的解集： (1)(2) (3) [解]　(1)解法一：已知 由①可得y＝7－x， 将其代入②得x(7－x)＝12，解得x＝3或x＝4， 代入①式可得或 所以原方程组的解集为{(3，4)，(4，3)}． 解法二：这个方程组的x，y是一元二次方程z2－7z＋12＝0的两个根，解这个方程，得z＝3或z＝4. 所以原方程组的解是或 即其解集为{(3，4)，(4，3)}． (2)已知 由方程②，得y＝1－x，　③ 把方程③代入方程①，得x2＋(1－x)2＝1， 整理，得x2－x＝0，解得x＝0或x＝1. 把x＝0代入方程③，得y＝1； 把x＝1代入方程③，得y＝0. 所以原方程组的解是或 即其解集为{(0，1)，(1，0)}． (3)已知 由①，得(3x－4y)(x＋y)－(3x－4y)＝0，(3x－4y)(x＋y－1)＝0， 即3x－4y＝0或x＋y－1＝0. 由得或 由得或 所以原方程组的解集为{(4，3)，(－4，－3)，(4，－3)，(－3，4)}． 【感悟提升】　二元二次方程组也可如一次方程组那样使用代入法和加减消元法求解，同时要注意在求解一元二次方程时，可先用判别式判断方程是否有解，若有解再代入求解未知数，从而求得方程组的解． 【跟踪训练】　 2．求下列方程组的解集： (1)(2) (3) 解：(1)已知 由①得y＝8－2x，③　 　 把③代入②，整理得x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3. 把x1＝1代入③，得y1＝6； 把x2＝3代入③，得y2＝2. 所以原方程组的解是 即其解集为{(1，6)，(3，2)}． (2)已知 解法一：由②，得x＝2y＋5.③ 将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4. 整理，得3y2＋10y＋7＝0， 解得y1＝－，y2＝－1. 把y1＝－代入③，得x1＝； 把y2＝－1代入③，得x2＝3. 所以原方程组的解是 所以方程组的解集为. 解法二：由①，得(x＋y)2＝4，即x＋y＝2或x＋y＝－2. 原方程组转化为或 解得或 所以方程组的解集为. (3)已知 由方程②因式分解，得(x－3y)(x－y)＝0， 即x－3y＝0或x－y＝0. 所以原方程组可化为两个方程组 或 用代入消元法解这两个方程组，得原方程组的解为 即其解集为{(，)，(－，－)，(3，1)，(－3，－1)}． 题型三　二元一次方程组的应用　 　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐需甲、乙两种原料各多少克恰好能满足病人的需要？ [解]　设每餐需甲、乙两种原料各x克、y克，则有下表： 甲原料x克 乙原料y克 所配的营养品 其中所含蛋白质 0.5x单位 0.7y单位 (0.5x＋0.7y) 单位 其中所含铁质 x单位 0.4y单位 (x＋0.4y) 单位 根据题意及上述表格， 可列方程组 化简，得 由①－②，得y＝30， 把y＝30代入②中，得x＝28. 答：每餐需甲原料28克，乙原料30克． 【感悟提升】　列方程组解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系，一般来说有几个未知量就必须列出几个方程．所列方程需满足： (1)方程两边表示的是同类量； (2)同类量的单位要统一； (3)方程两边所表示的数量要相等． 【跟踪训练】　 3．在“端午节”前夕，东方红商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元． (1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ (2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少元？ 解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得 解得 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元． (2)80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3640(元)． 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元． 1．方程组的解集是(　　) A. B. C．{(3，－2)} D．{(－2，3)} 答案：C 解析：已知由②－①，得3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入①，得3＋y＝1，解得y＝－2，所以原方程组的解为即其解集为{(3，－2)}． 2．三元一次方程组的解集为(　　) A．{(－2，4，3)} B．{(1，3，2)} C．{(－1，4，3)} D．{(1，2，3)} 答案：D 解析：已知由①＋②得x－z＝－2　④，由③和④组成一个二元一次方程组解得x＝1，z＝3，把x＝1代入①得1－y＝－1，解得y＝2，所以原方程组的解是即其解集为{(1，2，3)}． 3．(多选)下列各组中的值不是方程组的解的是(　　) A. B. C. D. 答案：CD 解析：把选项中的x，y的值逐项代入，A，B能让原方程组成立，而C，D不能让原方程组成立． 4．已知x，y满足方程组则x2－4y2的值是________． 答案：－15 解析：因为x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)，x－2y＝5，x＋2y＝－3，所以x2－4y2＝5×(－3)＝－15. 5．方程组的解集为________． 答案：{(3，1)，(－3，－1)} 解析：已知由①＋②得x2＋2xy＋y2＝16，即(x＋y)2＝16，所以x＋y＝4或x＋y＝－4.由①－②得x2－y2＝8，即(x＋y)(x－y)＝8，所以原方程组可化为两个二元一次方程组或解这两个方程组，得原方程组的解是或所以所求方程组的解集为{(3，1)，(－3，－1)}． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 利用二元一次方程组的一个解求代数式的值 三元一次方程组的解集——加减消元法 三元一次方程组的解集——代入消元法 二元二次方程组的解集——代入降次法 二元二次方程组的应用　　 二元一次方程组的识别及解集的应用 含参二元一次方程组的解及应用　　 三元一次方程组的解集——加减消元法、代入消元法 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 二元二次方程组的解集——代入消元法 三元一次方程组的构建与求解　　 三元一次方程组的实际应用 二元二次方程组的解集——加减消元法、代入消元法 二元二次方程组与集合相结合 三元一次方程组与二元二次方程组的应用 二元一次方程组的实际应用 由二元二次方程实数解的情况求参数值或范围 一、单选题 1．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a＋b＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：A 解析：将代入方程组得解这个方程组得所以a＋b＝5.故选A. 2．三元一次方程组的解集是(　　) A．{(1，2，3)} B．{(2，3，1)} C．{(2，1，3)} D．{(3，2，1)} 答案：B 解析：已知 由①＋③，得4x＋2z＝10，④ 由①×3＋②，得11x＋2z＝24, ⑤ 由⑤－④，解得x＝2.将其代入⑤，解得z＝1，把x＝2，z＝1代入①，解得y＝3.所以原方程组的解为即其解集是{(2，3，1)}．故选B. 3．三元一次方程组的解集是(　　) A．{(3，6，16)} B．{(4，6，2)} C．{(6，4，2)} D. 答案：C 解析：方程组整理得 由①得x＝y，由②得z＝y，代入③，得y＋2y＋y＝16，即y＝4，把y＝4代入①②，得x＝6，z＝2，则方程组的解为即其解集为{(6，4，2)}．故选C. 4．方程组的解集是(　　) A．{(3，5)} B. C．{(2，3)} D．{(3，15)} 答案：B 解析：已知 方程①可变形为(2x－3y)(2x＋3y)＝15，　③ 把②代入③中，得5(2x＋3y)＝15，即2x＋3y＝3，于是，原方程组化为解这个二元一次方程组，得即其解集为.故选B. 5．若相异两实数x，y满足则x3－2xy＋y3＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：D 解析：两式作差消元，得(x－y)(x＋y－1)＝0⇒x＋y＝1(x≠y)，反代回去，得x2－x－1＝0，同理，可得y2－y－1＝0，所以x，y是方程t2－t－1＝0的两个不等实根，由根与系数的关系，有所以x3－2xy＋y3＝x(x＋1)－2xy＋y(y＋1)＝(x2＋y2)＋(x＋y)－2xy＝(x＋y)2＋(x＋y)－4xy＝1＋1＋4＝6.故选D. 二、多选题 6．已知一个二元一次方程组的解集是{(－1，－2)}，则这个方程组可以是(　　) A. B. C. D. 答案：BD 解析：依次代入各方程组中验算，可得A，B，D均符合，此时需注意，题目中这组解是二元一次方程组的解，而A并不是二元一次方程组．故选BD. 7．已知关于x，y的方程组下列结论中正确的是(　　) A.是方程组的一组解 B．当k＝时，x，y的值互为相反数 C．若方程组的解也是方程x＋y＝4－k的解，则k＝1 D.是方程组的解 答案：AB 解析：解方程组得对于A，当k＝2时，是方程组的一组解，故A正确；对于B，当k＝时，x＝3k－2＝－2＝－，y＝1－k＝1－＝，x，y的值互为相反数，故B正确；对于C，因为也是方程x＋y＝4－k的解，所以x＋y＝3k－2＋1－k＝－1＋2k＝4－k，解得k＝，故C不正确；对于D，由知D不正确．故选AB. 三、填空题 8．三元一次方程组的解集是________． 答案：{(1，－1，－2)} 解析：已知 由①＋②，得 2x＋4y＝－2，即x＋2y＝－1，　④ 由②×3＋③，得3x＋11y＝－8，⑤ ④⑤组成二元一次方程组 解得代入②，得z＝－2.故原方程组的解为即其解集是{(1，－1，－2)}． 9．方程组的解集是________． 答案：{(2，0)，(0，－1)} 解析：已知 由②得x＝2y＋2，　　　 　　　③ 把③代入①，整理得8y2＋8y＝0，即y(y＋1)＝0，解得y1＝0，y2＝－1，把y1＝0代入③，得x1＝2，把y2＝－1代入③，得x2＝0，所以原方程组的解是或即其解集是{(2，0)，(0，－1)}． 10．甲、乙、丙三个正整数的和为100，将甲数除以乙数或将丙数除以甲数，所得的商都是5，余数都是1，则甲、乙、丙分别为________，________，________． 答案：16　3　81 解析：设甲、乙、丙分别为x，y，z，由题意得 解得 四、解答题 11．某足球联赛前三名的比赛成绩如下表所示： 胜/场 平/场 负/场 积分 甲队 8 2 2 26 乙队 6 5 1 23 丙队 5 7 0 22 问：每队胜一场，平一场，负一场各得多少分？ 解：设每队胜一场得a分，平一场得b分，负一场得c分． 根据题意，得解得 答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． 12．求下列方程组的解集： (1) (2) 解：(1)已知 把方程①移项，再两边平方，得x2－1＝y＋2. 整理，得x2－y－3＝0.　　　　　 　　③ 由③－②，得x2－2x－15＝0， 解得x＝5或x＝－3. 把x＝5代入方程②，解得y＝22； 把x＝－3代入方程②，解得y＝6. 将分别代入原方程组检验，它们都是原方程组的解， 所以原方程组的解是或 即其解集为{(5，22)，(－3，6)}． (2)已知 由①得x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0，所以x＋y＝0或x－y－5＝0， 所以原方程组可化为两个方程组 或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是 或或或 即其解集为{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}． 13．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0，a∈R，b∈R}，若A＝{1}，则(　　) A．a＝2，b＝1 B．a＝－2，b＝－1 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2 答案：A 解析：因为A＝{1}，所以解得故选A. 14．(1)已知(xyz≠0)，则＝________; (2)已知x，y是有理数，且x，y满足2x2＋3y＋y＝23－3，则x＋y＝________． 答案：(1)1　(2)1或－7 解析：(1)解方程组(xyz≠0)，可得因为xyz≠0，所以所求式子可化为＝＝1. (2)因为x，y均为有理数，所以 解得或所以x＋y＝1或x＋y＝－7. 15．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房． (1)求该店有客房多少间，房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上(含18间)，房价按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何定房更合算？ 解：(1)设该店有客房x间，房客y人， 由题意，得解得 故该店有客房8间，房客63人． (2)若每间客房住4人，则63位客人需客房16间，则需付费20×16＝320(钱)， 若一次性定客房18间， 则需付费20×18×0.8＝288(钱)， 因为288<320， 所以选择一次性定客房18间更合算． 16．当k为何值时，方程组 (1)有两组相等的实数解？ (2)有两组不相等的实数解？ (3)没有实数解？ 解：已知 将②代入①，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.③ (1)当时，方程③有两个相等的实数根， 即 解得⇒k＝1. 当k＝1时，原方程组有两组相等的实数解． (2)时，方程③有两个不相等的实数解． 即 解得⇒k<1且k≠0. 当k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解． (3)分两种情况讨论： (ⅰ)若方程③是一元二次方程， 则即 解得⇒k>1. (ⅱ)若方程③不是一元二次方程，则k＝0，此时方程③为－4x＋1＝0，它有实数解x＝. 综合(ⅰ)(ⅱ)两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数解． 16 学科网（北京）股份有限公司 $