2.1.1 等式的性质与方程的解集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦等式的性质与方程的解集，梳理等式性质、恒等式及方程解集的核心概念，通过知识点详解、典型例题解析与跟踪训练搭建学习支架，引导学生从等式变形过渡到一元一次、二次方程求解，夯实代数变形基础。 资料以提升数学运算和逻辑推理素养为目标，设置等式性质应用、恒等式证明、含参方程求解等分层题型，搭配基础到拔高的课后练习，帮助学生掌握十字相乘法等技能，培养严谨思维，同时便于教师实施分层教学，提升课堂效率。

数学 必修 第一册RJB 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质，理解恒等式是进行代数变形的依据之一.2.理解方程的解集的定义，并会用集合的形式表示方程的所有解． 教学重点：1.等式的性质.2.恒等式的证明.3.求方程的解集． 教学难点：求方程的解集． 核心素养：通过利用十字相乘法分解因式、求方程的解集、证明恒等式提升数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点一　等式的性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果a＝b，则对任意c，都有a±c＝b±c； (2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc，＝． 知识点二　恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． [拓展]　几种常见的恒等式 (1)(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2ab＋b2. (3)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3， (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3. (4)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab， (a－b)2＝(a＋b)2－4ab. (5)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， (a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. 知识点三　方程的解 方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值． 知识点四　方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 1．(等式的性质)(多选)下列式子中变形正确的是(　　) A．若4x－3＝3x＋2，则x＝0 B．若＝，则a＝b C．若＝，则＝ D．若＝，则y＝x 答案：CD 2．(恒等式)化简(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)的结果为(　　) A．x5－1 B．1－x5 C．x6－1 D．1－x6 答案：C 3．(一元一次方程的解集)＝的解集为(　　) A．x＝－ B. C．－17 D．{－17} 答案：B 4．(一元二次方程的解集)一元二次方程x2－x－6＝0的解集为________． 答案：{3，－2} 题型一　等式性质的应用　 　已知x＝y，则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正确的是(　　) A．①②③ B．④⑤⑥ C．①③⑤ D．②④⑥ [解析]　①x－3＝y－3，③－2x＝－2y，⑤＝正确；②显然不正确；④中y应不为0；⑥中a应不为0.故选C. [答案]　C 【感悟提升】　在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同时除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件． 【跟踪训练】　 1．(多选)下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　　) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a＝3，那么a2＝9 C．如果a2＝6a，那么a＝6 D．如果a＝b，那么＝ 答案：BD 解析：对于A，当c≠0时，显然不正确；对于B，如果a＝3，那么a2＝9，显然正确，故B正确；对于C，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，故C不正确；对于D，如果a＝b，因为c2＋1>0，所以＝，故D正确．故选BD. 题型二　恒等式及其应用　 角度　利用恒等式化简 　(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的结果是(　　) A．－2m2 B．0 C．－2 D．－1 [解析]　(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2. [答案]　C (2)证明：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)(三数和平方公式)． [证明]　∵(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)， ∴等式成立． 【感悟提升】　 (1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式． (2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算． 【跟踪训练】　 2．(1)化简(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(　　) A．8x2－8y2 B．8y2－8x2 C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2 答案：B 解析：解法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2. 解法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2. (2)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(　　) A．49 B．7 C．－7 D．7或－7 答案：D 解析：(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，则a－b＝±7. (3)已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值． 解：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)， ∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)． ∵a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4， ∴a2＋b2＋c2＝8. 角度　十字相乘法分解因式 　把下列各式分解因式： (1)x2＋3x＋2； (2)6x2－7x－5； (3)x2－(m＋n)xy＋mny2； (4)4x4y2－5x2y2－9y2； (5)4x2－4xy－3y2－4x＋10y－3. [解]　(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)． 1×2＋1×1＝3 (2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)． 2×(－5)＋3×1＝－7 (3)原式＝(x－my)(x－ny)． (4)4x4y2－5x2y2－9y2＝y2(4x4－5x2－9)＝y2(4x2－9)(x2＋1)＝y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3)． (5)原式＝(4x2－4xy－3y2)＋(－4x＋10y)－3＝(2x－3y)(2x＋y)＋(－4x＋10y)－3＝(2x－3y＋1)(2x＋y－3)． 【感悟提升】　十字相乘法分解因式的形式 尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，再把c分解成c＝c1c2，并且排列如下： 这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)． 【跟踪训练】　 3．把下列各式分解因式： (1)x2－2x－15； (2)x2－xy－2y2； (3)3x2＋2xy－y2； (4)(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24； (5)6x3－11x2＋x＋4. 解：(1)∵－15＝(－5)×3，(－5)＋3＝－2， ∴x2－2x－15＝[x＋(－5)](x＋3)＝(x－5)(x＋3)． (2)原式＝(x－2y)(x＋y)． (3)原式＝(x＋y)(3x－y)． (4)(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24＝(x2－7x＋12)(x2－7x－2)＝(x－3)(x－4)(x2－7x－2)． (5)6x3－11x2＋x＋4＝6x3－11x2＋4x－3x＋4＝x(6x2－11x＋4)－(3x－4)＝x(3x－4)(2x－1)－(3x－4)＝(3x－4)(2x2－x－1)＝(3x－4)(2x＋1)(x－1)． 题型三　方程的解集　 角度　一元一次方程的解集 　用适当的方法求下列方程的解集： (1)－＝1； (2)x－＝. [解]　(1)原方程可化为x－(0.17－0.2x)＝1，即x－＝1， 去分母，得30x－7(17－20x)＝21， 去括号，得30x－119＋140x＝21， 移项，得30x＋140x＝21＋119， 合并同类项，得170x＝140， 系数化为1，得x＝. 所以该方程的解集为. (2)去小括号，得x－＝， 去括号，得x－x＋x－＝， 去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8， 移项，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3， 合并同类项，得x＝－5. 所以该方程的解集为{－5}． 【感悟提升】　解一元一次方程时，要根据方程的形式灵活安排求解步骤 (1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数． (2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号． 【跟踪训练】　 4．(1)已知关于x的方程2x＋a－9＝0的解集是{2}，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 解析：方程可化为x＝，又方程的解集是{2}，所以＝2，解得a＝5.故选D. (2)若关于x的方程(2＋2k)x＝1的解集为∅，则(　　) A．k＝－1 B．k＝1 C．k≠－1 D．k≠1 答案：A 解析：当2＋2k＝0时，方程的解集为∅，即k＝－1. (3)求下列方程的解集： ①2(2x－1)＝3x－7；②－＝1. 解：①去括号，得4x－2＝3x－7，x＝－5，所以原方程的解集为{－5}． ②去分母，得3(x＋3)－4(2x－1)＝12，3x＋9－8x＋4＝12，－5x＝－1，x＝，所以原方程的解集为. 角度　一元二次方程的解集 　求下列方程的解集： (1)x2－2x＝0； (2)x2＋2x＋1＝0； (3)x2－23x＋42＝0； (4)ax2－(a＋1)x＋1＝0. [解]　(1)方程可化为x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，即方程的解集为{0，2}． (2)方程可化为(x＋1)2＝0，解得x＝－1，即方程的解集为{－1}． (3)方程可化为(x－2)(x－21)＝0，解得x＝2或x＝21，即方程的解集为{2，21}． (4)当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0，所以x＝1； 当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说， 因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1)，如图所示， 所以ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)， 所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0. 所以当a＝1时，x＝1， 当a≠1时，x＝或x＝1. 所以当a＝0，1时，方程的解集为{1}； 当a≠0，1时，方程的解集为. 【感悟提升】　用因式分解法解一元二次方程的关键是把方程分解为两个一次因式的积，并令每个因式分别为0，即可得一元二次方程的解集．当方程中含有参数时，注意分类讨论参数的取值． 【跟踪训练】　 5．求下列一元二次方程的解集： (1)x2－4x＋3＝0； (2)2(x－3)＝3x(x－3)； (3)12x2－ax－a2＝0(a为常数)． 解：(1)方程可化为(x－1)(x－3)＝0， 解得x＝1或x＝3，即方程的解集为{1，3}． (2)原式可化为2(x－3)－3x(x－3)＝0，得(x－3)(2－3x)＝0，解得x＝3或x＝，即方程的解集为. (3)因为3×4＝12，(－a)×a＝－a2，3×a＋4×(－a)＝3a－4a＝－a，如图所示， 所以12x2－ax－a2＝(3x－a)(4x＋a)， 所以原方程可化为(3x－a)(4x＋a)＝0. 所以3x－a＝0或4x＋a＝0， 所以当a＝0时，x＝0； 当a≠0时，x1＝，x2＝－. 所以当a＝0时，方程的解集为{0}； 当a≠0时，方程的解集为. 1．如果a＝b，则下列变形正确的是(　　) A．3a＝3＋b B．－＝－ C．5－a＝5＋b D．a＋b＝0 答案：B 解析：根据等式的性质可得等式两边同乘以一个数，等式仍然成立． 2．在解方程＋x＝时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是(　　) A．2x－1＋6x＝3(3x＋1) B．2(x－1)＋6x＝3(3x＋1) C．2(x－1)＋x＝3(3x＋1) D．(x－1)＋x＝3(x＋1) 答案：B 解析：方程左边乘以6后得2(x－1)＋6x，方程右边乘以6后得3(3x＋1)．故选B. 3．(多选)下列分解因式正确的是(　　) A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2 B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2 C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y) D．x2＋(a＋2)x＋2a＝(x＋a)(x＋2) 答案：AD 解析：A正确；B错误，B中式子不能分解因式；对于C，2x2－8y2＝2(x2－4y2)＝2(x＋2y)·(x－2y)，故C错误；D正确．故选AD. 4．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________． 答案：12 解析：∵a＋b＝4，a－b＝1，∴(a＋1)2－(b－1)2＝(a＋1＋b－1)(a＋1－b＋1)＝(a＋b)(a－b＋2)＝4×(1＋2)＝12. 5．方程2－＝的解集为________； 方程x2－7x＋10＝0的解集为________． 答案：{1}　{2，5} 解析：方程2－＝可化为12－2(2x＋1)＝3(1＋x)，7－7x＝0，即x＝1，所以方程2－＝的解集为{1}．方程x2－7x＋10＝0可化为(x－2)(x－5)＝0，解得x＝2或x＝5，所以方程x2－7x＋10＝0的解集为{2，5}． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 等式性质的应用　 因式分解 一元二次方程的解集——不含参 一元一次方程的解 一元二次方程的解集——不含参 一元二次方程的解 恒等式及其应用 因式分解与化简　 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 一元一次方程的解集　 一元二次方程的解集——含参　 简单方程的解集　 含参方程的解集及应用 恒等式及其应用　 等式性质及恒等式的综合应用　 复杂方程的解集　 方程的解集及应用 一、单选题 1．下列变形中正确的是(　　) A．若＝，则a＝b B．若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b 答案：A 解析：对于A，c≠0，显然成立；对于B，当a＋1≠0时，x＝1，当a＋1＝0时，x∈R；对于C，若|a|＝|b|，则a＝±b；对于D，若a2＝b2，则a＝±b.故选A. 2．下列分解因式正确的是(　　) A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y) C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) 答案：C 解析：对于A，因为－x2＋4x＝－x(x－4)，故A错误；对于B，因为x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1)，故B错误；对于C，因为x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2，故C正确；对于D，因为x2－4x＋4＝(x－2)2，故D错误．故选C. 3．方程y2－3y－4＝0的解集是(　　) A．y＝1或y＝－4 B．{1，－4} C．y＝－1或y＝4 D．{－1，4} 答案：D 解析：方程y2－3y－4＝0可化为(y＋1)(y－4)＝0，即y＝－1或y＝4，所以方程的解集为{－1，4}．故选D. 4．若方程2m＋x＝1和3x－1＝2x＋1的解相同，则m的值为(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－ 答案：D 解析：方程3x－1＝2x＋1的解集为{2}，方程2m＋x＝1可化为x＝1－2m，所以由已知可得1－2m＝2，即m＝－.故选D. 5．方程(10－2x)(6－2x)＝32的解集是(　　) A．x＝1或x＝7 B．{1，7} C．x＝3或x＝5 D．{3，5} 答案：B 解析：方程(10－2x)(6－2x)＝32可化为28－32x＋4x2＝0，x2－8x＋7＝0，(x－1)(x－7)＝0，解得x＝1或x＝7，所以方程的解集为{1，7}．故选B. 二、多选题 6．已知关于x，y的方程＋＝6是二元一次方程，则m的取值可以为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案：BC 解析：由已知可得m2＋2m－2＝1，(m＋3)(m－1)＝0，即m＝－3或m＝1.故选BC. 7．若x2＋xy－2y2＝0(xy≠0)，则的值可以为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：BD 解析：由x2＋xy－2y2＝0，得(x＋2y)(x－y)＝0，得x＝－2y或x＝y，又xy≠0，所以当x＝－2y时，＝＝－；当x＝y时，＝＝.故选BD. 三、填空题 8．补全下列等式： (1)a3－b3＝________(因式分解)； (2)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝________(化简)； (3)x2＋(m＋n)x＋mn＝________(因式分解)； (4)x2＋(5＋t)x＋5t＝________(因式分解)． 答案：(1)(a－b)(a2＋ab＋b2)　(2)a3＋b3　(3)(x＋m)(x＋n)　(4)(x＋5)(x＋t) 解析：(1)(2)由立方差公式和立方和公式可得，(3)(4)由“十字相乘法”可得． 9．方程－＝1的解集为________． 答案： 解析：原方程可化为－＝1，即6x－4－3x＋9＝6，即3x＝1，解得x＝，所以方程的解集为. 10．方程x2＋mx＝5m＋5x(m为常数且m≠－5)的解集为________． 答案：{5，－m} 解析：原方程可化为x2＋(m－5)x－5m＝0，(x－5)(x＋m)＝0，又m≠－5，所以x＝5或x＝－m，所以方程的解集为{5，－m}． 四、解答题 11．求下列方程的解集： (1)4x－3＝2(x－1)； (2)5－＝； (3)x2＋25x＋156＝0； (4)ax＝5x＋7(a为常数)． 解：(1)方程4x－3＝2(x－1)可化为2x＝1， 即x＝， 所以方程的解集为. (2)方程5－＝可化为30－2(2x＋1)＝3(1＋x)，25＝7x，即x＝，所以方程的解集为. (3)方程x2＋25x＋156＝0可化为(x＋12)(x＋13)＝0，即x＝－12或x＝－13， 所以方程的解集为{－12，－13}． (4)方程ax＝5x＋7可化为(a－5)x＝7. 当a≠5时，x＝，方程的解集为； 当a＝5时，方程无解，此时方程的解集为∅. 综上，当a＝5时，方程的解集为∅； 当a≠5时，方程的解集为. 12．(1)求方程x2－(k＋3)x＋3k＝0(k为常数)的解集； (2)方程ax＝3的解集A包含于方程x2＋6x＋5＝0的解集B，求a的值． 解：(1)原方程可化为(x－3)(x－k)＝0， 当k≠3时，方程的解集为{3，k}， 当k＝3时，方程的解集为{3}． (2)x2＋6x＋5＝0可化为(x＋1)(x＋5)＝0， 即x＝－1或x＝－5，所以B＝{－1，－5}． 又当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B；当a≠0时，A＝，由A⊆B，得＝－1或＝－5，即a＝－3或a＝－. 综上可得，a＝0或a＝－3或a＝－. 13．(多选)下列式子变形正确的是(　　) A．(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝x3－64y3 B.＝x3－x2y＋xy2－y3 C．(2x－3y＋z)2＝4x2＋9y2＋z2－12xy－6yz＋4xz D．(x＋3)(x2－6x＋9)＝x3＋27 答案：ABC 解析：(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝(x－4y)·[x2＋x·4y＋(4y)2]＝x3－(4y)3＝x3－64y3，故A正确；＝－3y＋3×xy2－y3＝x3－x2y＋xy2－y3，故B正确；(2x－3y＋z)2＝[2x＋(－3y)＋z]2＝(2x)2＋(－3y)2＋z2＋2[2x(－3y)＋(－3y)z＋2xz]＝4x2＋9y2＋z2－12xy－6yz＋4xz，故C正确；x3＋27＝x3＋33＝(x＋3)(x2－3x＋9)，故D不正确．故选ABC. 14．已知a，b，c是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边，且△ABC满足a2＋b2＝12a＋8b－52，则c的取值范围为________． 答案：(2，4] 解析：∵a2＋b2＝12a＋8b－52，∴a2－12a＋36＋b2－8b＋16＝0，∴(a－6)2＋(b－4)2＝0，∴a＝6，b＝4，根据构成三角形的条件，得2<c<10.∵c是最短边，∴2<c≤4.∴c的取值范围为(2，4]． 15．求下列方程的解集： (1)x(x＋3)(x－2)(x－3)＝0； (2)22x2＋25x－12＝0； (3)－＝－. 解：(1)由方程，可得x＝0或x＋3＝0或x－2＝0或x－3＝0，解得x＝0或x＝－3或x＝2或x＝3，所以所求方程的解集为{－3，0，2，3}． (2)方程22x2＋25x－12＝0可化为(11x－4)·(2x＋3)＝0，所以11x－4＝0或2x＋3＝0，解得x＝或x＝－，所以所求方程的解集为. (3)方程可化为 ＝， 即＝， 所以x(x＋3)＝(x＋1)(x＋4)，整理得2x＋4＝0， 解得x＝－2. 经检验x＝－2是原方程的解． 所以所求方程的解集为{－2}． 16．已知集合A＝{x|x2＋(m－2)x－2m＝0}，B＝{x|mx＝2x＋1}，若B⊆A，求实数m的值． 解：当m≠2时，B＝； 当m＝2时，B＝∅. 又A＝{x|(x－2)(x＋m)＝0}，当m≠－2时，A＝{2，－m}；当m＝－2时，A＝{2}． 又因为B⊆A，所以当m＝2时，B＝∅⊆A，满足条件； 当m≠2时，由B⊆A，得＝2或＝－m， 解得m＝或m＝1. 综上，实数m的值为1，2，. 5 学科网（北京）股份有限公司 $