1.2.3 第2课时 充要条件-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 第2课时　充要条件 (教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 教学重点：1.掌握充要条件的概念.2.理解充要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充要性． 教学难点：判断条件与结论之间的充要性． 核心素养：1.通过学习充分不必要条件的概念、必要不充分条件的概念及充要条件的概念培养数学抽象素养.2.通过判断条件与结论之间的充要性培养逻辑推理素养． 知识点一　充分不必要条件 一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． 知识点二　必要不充分条件 如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 知识点三　充要条件 (1)如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”． (2)当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． (3)充要条件与数学中的定义有关，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件． (4)除了充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件外，还存在p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件的情形，例如，当p：x>0，q：x2>2时就是如此． [拓展]　 1．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若B⊆A，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 1．(必要不充分条件的判断) “x∈A∪B”是“x∈A”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 2．(充要条件的判断)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：充要 3．(利用充分不必要条件求参数的值)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________． 答案：2 题型一　充分、必要、充要条件的判断　 　在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p：x，y∈Q，q：xy∈Q； (2)p：x≥－2，q：－1<x<1； (3)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (4)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (5)p：|a|>|b|，q：a>b. [解]　(1)因为x，y∈Q⇒xy∈Q，而xy∈Q不能推出x，y∈Q，如：当x＝y＝时，满足xy＝2∈Q，而x，y∉Q， 所以p是q的充分不必要条件． (2)设A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－1<x<1}， 因为BA，所以p是q的必要不充分条件． (3)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (4)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． (5)因为当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是a<b， 所以pq.当a＝1，b＝－2时，a>b成立，但是|a|<|b|，所以qp.所以p是q的既不充分也不必要条件． 　已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问： (1)p是r的什么条件？ (2)s是q的什么条件？ (3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？ 解：作出“⇒”图，如右图所示，可知p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r. (1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知， ∴p是r的充分条件． (2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件． (3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q. 【感悟提升】　判断p是q的充分条件、必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断p是q的充分条件、必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件． (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的． 此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度． 【跟踪训练】　 1．指出下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； (2)p：q： (3)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (4)p：点M(1－a，2a＋6)在第四象限，q：a<1； (5)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0； (6)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． 解：(1)因为A∪B＝A⇔B⊆A，而A∩B＝B⇔B⊆A， 所以A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件． (2)由根据不等式的性质可得即p⇒q， 而由不能推出 如α＝1，β＝5，满足但不满足α>2. 所以p是q的充分不必要条件． (3)因为由x≠0推不出x＋|x|>0， 如x＝－1≠0， 但是x＋|x|＝0，所以pq，由x＋|x|>0可得x>0， 可推出x≠0，所以q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． (4)因为点M(1－a，2a＋6)在第四象限， 所以解得a<－3. 因为(－∞，－3)(－∞，1)，所以p⇒q，qp， 所以p是q的充分不必要条件． (5)由a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p是q的充要条件． (6)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件． 题型二　利用充分不必要、必要不充分条件求参数的取值范围　 　设p：实数x满足a<x<4a(a>0)，q：实数x满足2<x≤5.若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． [解]　因为q是p的充分不必要条件，所以q对应的集合是p对应集合的真子集， 所以(2，5](a，4a)，则 解得即<a≤2， 所以实数a的取值范围是. 【感悟提升】　由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系； (2)根据集合间的关系列方程(组)或不等式(组)求解． 【跟踪训练】　 2．已知p：{x|－1<x<3}，q：{x|－1<x<m＋1}，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________． 答案：(2，＋∞) 解析：因为q是p的必要不充分条件，所以{x|－1<x<3}{x|－1<x<m＋1}，所以m＋1>3，解得m>2，即实数m的取值范围是(2，＋∞)． 题型三　充要条件的证明　 　已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． [证明]　①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0， ∴a≠0且b≠0， ∴a2－ab＋b2＝＋b2≠0. ∴a＋b－1＝0， ∴a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 　已知a，b是实数，求证a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论． 解：因为a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1. 即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件． a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件． 证明如下： 若a4－b4－2b2＝1， 即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0. 又a2＋b2＋1≠0， 所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件． 【感悟提升】　充要条件的证明 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． 【跟踪训练】　 3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根， ∴Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 题型四　探求充要条件　 　求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解]　①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求． ②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1. 设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. (ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⇒a<0； (ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为⇒0<a≤1. 综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 【感悟提升】　探求充要条件的两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【跟踪训练】　 4．已知关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 解：设方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两个大于1的实数根分别为x1，x2. 则 即 则解得m≥3. 故使方程有两个大于1的实数根的充要条件是m≥3. 1．“x<－1或x>1”是“x<－1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：因为x<－1或x>1x<－1，x<－1⇒x<－1或x>1，故“x<－1或x>1”是“x<－1”的必要不充分条件． 2．“x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2.所以x＝－3⇒x2＋x－6＝0，但x2＋x－6＝0 x＝－3.所以“x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的充分不必要条件．故选A. 3．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的是(　　) A．A∪B＝A B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UB)⊆(∁UA) D．A∪(∁UB)＝U 答案：ABD 解析：画图可知，B⊆A⇔A∪B＝A；B⊆A⇔(∁UA)∩B＝∅；B⊆A⇔(∁UA)⊆(∁UB)；B⊆A⇔A∪(∁UB)＝U.故选ABD. 4．已知x，y都是非零实数，且x>y，则“xy>0”是“<”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：解法一：①充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.②必要性：由<，得－<0，即<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以“xy>0”是“<”的充要条件．故选C. 解法二：<⇔－<0⇔<0.由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.所以<⇔xy>0，即“xy>0”是“<”的充要条件．故选C. 5．关于x的不等式|x|>a的所有解组成的集合为R的充要条件是________． 答案：a<0 解析：由题意知|x|>a恒成立， ∵|x|≥0，∴a<0. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 充分不必要条件的判断——不等式问题 必要不充分条件的判断——不等式问题 充要条件的判断——不等式问题 充分不必要条件的判断——方程问题 充分条件和必要条件的传递性 充分、必要、充要条件的判断——不等式、方程、定理问题 探求充分不必要条件——集合问题 充分不必要条件的判断——绝对值问题 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用必要不充分条件求参数范围 探求充要条件——方程问题 充要条件的证明——方程问题 充要条件的判断——方程问题 充分不必要条件的判断——集合问题 利用必要不充分条件求参数范围 探求充要条件 充要条件的证明——绝对值问题 一、单选题 1．若x，y∈R，则“x2＋y2≤1”是“x≤1，y≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为若x，y∈R，x2＋y2≤1，则可得x≤1，y≤1，所以充分性成立．当x≤1，y≤1时，x2＋y2≤1不一定成立，所以必要性不成立．故选A. 2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．故选B. 3．已知a，b是实数，则“a<0且b<0”是“a＋b<0且ab>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：“a<0且b<0”可以推出“a＋b<0且ab>0”，反之也是成立的．故选C. 4．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤.又m<是m≤的充分不必要条件.故选A. 5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析： 根据题意列出A，B，C，D的关系如图，显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；而AB⇒CD，即AD.故选B. 二、多选题 6．下列命题中是真命题的是(　　) A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件 B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件 C．“b2－4ac＝0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解”的充要条件 D．“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 答案：BD 解析：因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件，A为假命题；因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件，B为真命题；因为由b2－4ac＝0能推出关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解，而由关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解⇒b2－4ac≥0，所以“b2－4ac＝0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解”的充分不必要条件，C为假命题；由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，D为真命题．故选BD. 7．已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<m＋1}，则A∩B＝∅的一个充分不必要条件可以是(　　) A．m≤－2 B．m<－2 C．m<2 D．－4<m<－3 答案：BD 解析：设A∩B＝∅的一个充分不必要条件是p，p对应的集合为C，当A∩B＝∅时，m＋1≤－1，解得m≤－2，所以C(－∞，－2]，因此B，D满足条件．故选BD. 三、填空题 8． “x<0”是“|x|＝－x”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：充分不必要 解析：因为|x|＝－x⇔x≤0，{x|x<0}{x|x≤0}，由此可知“x<0”是“|x|＝－x”的充分不必要条件． 9．若“x>k”是“－3≤x<2”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是________． 答案：(－∞，－3) 解析：若“x>k”是“－3≤x<2”的必要不充分条件，则[－3，2)是(k，＋∞)的真子集，故k<－3，即实数k的取值范围是(－∞，－3)． 10．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________． 答案：a<－1 解析：方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1. 四、解答题 11．证明：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：①充分性：由a＋b＋c＝0，得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx＋c＝0，即(1－x)(bx＋cx＋c)＝0， ∴ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. ②必要性：由ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0. 综上可知，ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 12．已知p：0<m<；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根，那么p是q的什么条件？ 解：设x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的两个根，则方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于 所以p是q的充要条件． 13．已知集合M＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则“x∈M”是“x∈N”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：集合N表示所有奇数构成的集合，而集合M中的元素为奇数，但不是所有的奇数，所以“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件．故选A. 14．已知p：m－1<x<m＋1，q：<x<.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________． 答案： 解析：因为p是q的必要不充分条件，所以(m－1，m＋1)，则解得－≤m≤.当m＝－时，有；当m＝时，有.综上所述，实数m的取值范围是. 15．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件． 解： ⇔ ⇔⇔ 所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝－2. 16．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明：①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0， 则|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 当xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0. 又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， ∴等式成立． 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)， ∴等式成立． 综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：由|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy， ∴xy≥0. 综上可知，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 11 学科网（北京）股份有限公司 $