1.1.3 第1课时 集合的交集与并集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦集合的交集与并集，衔接集合基本概念，通过自然语言、符号语言、图形语言（维恩图、数轴）定义运算，结合性质讲解与例题解析，构建从概念理解到运算应用的学习支架。 资料特色在于注重三种语言转化培养数学抽象素养，分层题型（基础、中档、拔高）与实际问题（如测绘队人数）应用提升逻辑推理和数学运算能力，高考真题与跟踪训练结合，助力学生巩固知识，适合师生高效教学使用。

数学 必修 第一册RJB 1.1.3　集合的基本运算 第1课时　集合的交集与并集 (教师独具内容) 课程标准：1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集.2.能使用维恩图表达集合的交集运算与并集运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 教学重点：1.交集与并集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.求两个集合的交集与并集． 教学难点：根据两个集合的运算结果求参数的取值范围． 核心素养：1.通过对交集、并集概念的学习培养数学抽象素养.2.通过综合应用交集、并集的知识解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” A∩B＝{x|x∈A且x∈B} [注意]　A∩B仍是一个集合；两个集合A与B没有公共元素不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 知识点二　交集运算的性质 对于任意两个集合A，B，都有： (1)A∩B＝B∩A； (2)A∩A＝A； (3)A∩∅＝∅∩A＝∅； (4)如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立． [想一想]　若A∩B＝A∩C，则一定有B＝C吗？ 提示：不一定，如A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{0，1，2}，满足A∩B＝A∩C＝{1，2}，但是B≠C. 知识点三　并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” A∪B＝{x|x∈A或x∈B} [提醒]　A∪B仍是一个集合；求集合A与B的并集时，公共元素只能算一次(元素的互异性)． 知识点四　并集运算的性质 对于任意两个集合A，B，都有： (1)A∪B＝B∪A； (2)A∪A＝A； (3)A∪∅＝∅∪A＝A； (4)如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立． [拓展]　有限集中所含元素的个数 从维恩图可以直观地看出，对于两个有限集A，B，必有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 1．(交集)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N＝(　　) A．{－1} B．{0，1} C．{－1，0，1，2} D．{－2，－1，0，1，2} 答案：B 2．(并集)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝(　　) A．(－1，3) B．(－1，0) C．(0，2) D．(2，3) 答案：A 3．(利用并集运算的性质求参数的值)已知集合A＝{1，2，x2}，B＝{2，x}，若A∪B＝A，则x＝________． 答案：0 题型一　集合的交集运算　 　(1)设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝(　　) A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} [解析]　易知M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N＝{－1，0，1}．故选B. [答案]　B (2)已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|x<3或x>5}，则A∩B＝(　　) A．{x|2<x<5} B．{x|x<4或x>5} C．{x|2<x<3} D．{x|x<2或x>5} [解析]　将集合A，B画在数轴上，如图所示，由图可知A∩B＝{x|2<x<3}．故选C. [答案]　C 【感悟提升】　求两个集合交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 【跟踪训练】　 1．(1)设集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{－2，－1，0，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，3} B．{x|－1<x<3} C．{0，1} D．{0} 答案：D 解析：由题意，得A∩B＝{0}．故选D. (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝(　　) A．{2，1} B．{x＝2，y＝1} C．{(2，1)} D．(2，1) 答案：C 解析：A∩B＝＝{(2，1)}． (3)若区间A＝(－2，1)，B＝(0，2)，则集合A∩B＝(　　) A．(－1，1) B．(－2，1) C．(－2，2) D．(0，1) 答案：D 解析：如图所示，因为A＝(－2，1)，B＝(0，2)，所以A∩B＝(0，1)． 题型二　集合的并集运算　 　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0}，N＝{x|x2－2x＝0}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} [解析]　M＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}．故选D. [答案]　D (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5} [解析]　在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A. [答案]　A 【感悟提升】　求集合并集的基本方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)图形法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． 【跟踪训练】　 2．(1)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，3} C．{1，3，9} D．{0，1，3，9} 答案：D 解析：因为M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}＝{0，3，9}，所以M∪N＝{0，1，3，9}．故选D. (2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝________． 答案：{x|x>－2} 解析：画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}． 题型三　利用集合交集、并集的性质求参数的值或取值范围　 　(1)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，则实数a的值为________． [解析]　因为M∩N＝{3}，所以a2－3a－1＝3，解得a＝－1或a＝4.又N＝{－1，a，3}，所以a≠－1.所以a＝4. [答案]　4 (2)已知集合A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}． ①若A∪B＝A，求实数k的取值范围； ②若A∩B＝A，求实数k的取值范围． [解]　①∵A∪B＝A，∴B⊆A， (ⅰ)当B＝∅时，k＋1>2k－1，∴k<2. (ⅱ)当B≠∅时， 根据数轴可得 解得2≤k≤. 综合(ⅰ)(ⅱ)可得，实数k的取值范围为. ②∵A∩B＝A，∴A⊆B. 又A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}， 可知B≠∅. 由数轴可知 解得k∈∅， 即当A∩B＝A时，k不存在． 【感悟提升】　利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已经学过的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A(A≠∅)时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉． 【跟踪训练】　 3．(1)已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝________． 答案：－14 解析：∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B.将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}．∵A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2，5}．∴－2＋5＝－q，－2×5＝r，解得q＝－3，r＝－10，∴p＋q＋r＝－14. (2)已知集合A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}．若A∪B＝R，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|－3≤a<－1} 解析：a<a＋8，又B＝{x|x<－1或x>5}，在数轴上表示出集合A，B，如图所示．要使A∪B＝R，则解得－3≤a<－1.综上可知，实数a的取值范围为{a|－3≤a<－1}． (3)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}． ①若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； ②若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 解：①因为A∩B＝∅，所以 解得－1≤a≤2， 所以实数a的取值范围是[－1，2]． ②因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以a>5或a＋3<－1， 即a>5或a<－4， 所以实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(5，＋∞)． 题型四　用维恩图解决实际问题　 　为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？ [解]　如图，不妨设参加计算的人为集合A，参加测量的人为集合B，参加绘图的人为集合C.设3项工作都参加的人数为x， 则测绘队总人数为(10－x)＋(8－x)＋(6－x)＋4＋6＋8＋x＝42－2x， 因为0<x≤6，所以30≤42－2x<42， 即测绘队人数最少为30，此时x＝6. 故这个测绘队至少有30人． 【感悟提升】　用维恩图解决实际问题的步骤 (1)利用维恩图将集合间的关系直观地表示出来，即根据维恩图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言； (2)通过解方程和限制条件的运用解决问题． 【跟踪训练】　 4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62% B．56% C．46% D．42% 答案：C 解析：用维恩图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C. 1．(天津高考)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{1} 答案：B 解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}．故选B. 2．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝(　　) A．{(1，1)} B．{(－2，4)} C．{(1，1)，(－2，4)} D．∅ 答案：C 解析：首先注意到集合A与集合B均为点集，联立解得或从而A∩B＝{(1，1)，(－2，4)}．故选C. 3．(多选)已知集合A＝{x|x2＝x}，集合B中有两个元素，且满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B可以是(　　) A．{0，1} B．{0，2} C．{0，3} D．{1，2} 答案：BD 解析：因为A＝{0，1}，集合B中有两个元素，且满足A∪B＝{0，1，2}，则B中一定有元素2，所以集合B可以是{0，2}或{1，2}． 4．已知集合A＝{x|x是不大于8的正奇数}，B＝{x|x是9的正因数}，则A∩B＝________，A∪B＝________． 答案：{1，3}　{1，3，5，7，9} 解析：由题意，知A＝{1，3，5，7}，B＝{1，3，9}，所以A∩B＝{1，3}，A∪B＝{1，3，5，7，9}． 5．已知集合A＝{x|x2－4＝0}，B＝{x|ax2－(2a＋1)x＋2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为________． 答案： 解析：由A∩B＝B，得B⊆A，当a＝0时，B＝{2}，符合题意；当a≠0时，由ax2－(2a＋1)x＋2＝0，得a(x－2)＝0，而B⊆A，所以＝2或＝－2，解得a＝或－.所以实数a的取值集合为. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 利用维恩图求两集合的交集 求两集合的并集　　 求两集合的交集　　 利用集合的交集求参数范围 新定义背景下集合的交集、并集运算 利用集合的交集及包含关系确定集合 新定义背景下解决与集合交集、并集有关的问题 利用集合的并集求参数范围 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用集合的交集、并集求代数式的值 集合的交集、并集运算 利用集合并集的运算性质求参数范围 利用集合的交集、并集求参数值 求两集合交集的元素个数 用维恩图解决实际问题 集合的交集、并集运算及集合交集运算性质的应用 利用集合的交集运算及并集的运算性质求参数值或范围 一、单选题 1.已知集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} 答案：A 解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}．故选A. 2．(北京高考)已知集合M＝{x|－4<x≤1}，N＝{x|－1<x<3}，则M∪N＝(　　) A．{x|－4<x<3} B．{x|－1<x≤1} C．{0，1，2} D．{x|－1<x<4} 答案：A 解析：由题意得M∪N＝(－4，3)．故选A. 3．若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝(　　) A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2} C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3} 答案：A 解析：把集合A，B表示在同一数轴上，如图所示，由图可得，A∩B＝{x|－3<x<2}．故选A. 4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－2，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(－1，2] 答案：C 解析：A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴，可知a>－1.故选C. 5．设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a与b可以相等，也可以不相等)，a＋b∈S且a－b∈S，则称S是“和谐集”．则下列说法中错误的是(　　) A．存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合{x|x＝k，k∈Z}是“和谐集” C．若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅ D．对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2＝R 答案：D 解析：对于A，根据题意可得S＝{0}是“和谐集”，又是有限集，故A正确；对于B，设x1＝k1，x2＝k2，k1，k2∈Z，则x1＋x2＝(k1＋k2)∈S，x1－x2＝(k1－k2)∈S，所以集合{x|x＝k，k∈Z}是“和谐集”，故B正确；对于C，根据已知条件可知，a，b可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以S1∩S2≠∅，故C正确；对于D，取S1＝{x|x＝2k，k∈Z}，S2＝{x|x＝3k，k∈Z}，则S1，S2都是“和谐集”，但5不属于S1，也不属于S2，所以S1∪S2不是实数集，故D错误．故选D. 二、多选题 6．已知集合M满足M⊆{a，b，c，d}，且M∩{a，b，c}＝{a，b}，则集合M＝(　　) A．{a，b} B．{a，b，c} C．{a，b，d} D．{a，b，c，d} 答案：AC 解析：因为M∩{a，b，c}＝{a，b}，所以a∈M，b∈M，c∉M，又M⊆{a，b，c，d}，所以M＝{a，b}或M＝{a，b，d}．故选AC. 7．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，若M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列结论中可能成立的是(　　) A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 答案：BD 解析：对于A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，且m≠n，则一定存在k∈(m，n)使M∪N＝Q不成立，若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选BD. 三、填空题 8．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． 答案：[2，＋∞) 解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m≥2. 9．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，则2a－b＝________． 答案：－4 解析：如下图所示，可知a＝1，b＝6，2a－b＝－4. 10．若集合A＝{2，4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2，4，x}，则x＝________，A∩B＝________． 答案：0，1或－2　{2，0}，{2，1}或{2，4} 解析：由已知，得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0，1，±2，由元素的互异性，知x≠2，∴x＝0，1或－2.当x＝0时，A∩B＝{2，0}，当x＝1时，A∩B＝{2，1}；当x＝－2时，A∩B＝{2，4}．∴A∩B＝{2，0}，{2，1}或{2，4}． 四、解答题 11．已知集合A＝{x|－2<x<8}，B＝{x|2m－1<x<m＋3}．若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 解：因为A∪B＝A，则B⊆A， 集合B有两种情况： 当B＝∅时，2m－1≥m＋3， 解得m≥4； 当B≠∅时， 解得－≤m<4. 综上，实数m的取值范围是. 12．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3，4}，求实数a，b，c的值． 解：由A∩B＝{－3}，得－3∈A. ∴(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1. ∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3，4}． 又A∪B＝{－3，4}，A≠B， ∴B中只有一个元素－3， ∴解得 ∴a＝－1，b＝6，c＝9. 13．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N＋，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案：C 解析：满足x，y∈N＋，y≥x，且x＋y＝8的元素(x，y)有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，共4个，故A∩B中元素的个数为4.故选C. 14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店 (1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种； (2)这三天售出的商品最少有________种． 答案：(1)16　(2)29 解析：设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示． 由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16种． (2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝(43－y)种．由于所以0≤y≤14，所以(43－y)min＝43－14＝29. 15．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}． (1)当a＝10时，求A∩B，A∪B； (2)求能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围． 解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}． 又B＝{x|3≤x≤22}， 所以A∩B＝{x|21≤x≤22}， A∪B＝{x|3≤x≤25}． (2)由A⊆(A∩B)，可知A⊆B，又因为A为非空集合， 所以解得6≤a≤9. 所以a的取值范围为[6，9]． 16．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2， 故集合A＝{1，2}． (1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B， 将x＝2代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0， 解得a＝－1或a＝－3. 当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件； 当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件． 综上，实数a的值为－1或－3. (2)对于集合B， Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)． ∵A∪B＝A，∴B⊆A. 当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件； 当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件； 当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件， 则由根与系数的关系，得 解得矛盾． 综上，实数a的取值范围是{a|a≤－3}． 14 学科网（北京）股份有限公司 $