第5章 三角函数 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 一、同角三角函数基本关系式的运用 1．公式变形：(1)sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±，cosα＝±；(2)sinα＝cosαtanα，cosα＝. 2．已知正切求余弦的公式：将sinα＝cosα·tanα代入sin2α＋cos2α＝1得cos2αtan2α＋cos2α＝1，因此cos2α＝. 3．“同角”的含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等． 典例1　已知＝，求下列各式的值． (1)； (2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ. [解]　∵＝， ∴＝，解得tanθ＝2. (1)原式＝＝＝1. (2)原式＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ ＝ ＝＝－. [素养训练1]　已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝. (1)求tanα的值； (2)把用tanα表示出来，并求其值． 解：(1)由sinα＋cosα＝， 得1＋2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝－. 因为α是三角形的内角， 所以sinα>0，cosα<0， 所以sinα－cosα＝ ＝ ＝＝， 故sinα＝，cosα＝－，tanα＝－. (2)＝＝， 又tanα＝－，所以＝＝－. 二、诱导公式的应用 对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α(k∈Z)，π±α，±α，±α的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简． 解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，消除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用． 典例2　在①tan(π＋α)＝2；②sin(π－α)－sin＝cos(－α)；③2sin＝cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 已知________， (1)求的值； (2)当α为第三象限角时，求sin(－α)－cos(π＋α)－cossin的值． [解]　若选①tan(π＋α)＝2，则tanα＝2. 若选②sin(π－α)－sin＝cos(－α)， 则sinα－cosα＝cosα， 即sinα＝2cosα，则tanα＝2. 若选③2sin＝cos， 则2cosα＝sinα， 即tanα＝2. (1)＝. 将tanα＝2代入，得原式＝＝8. (2)当α为第三象限角时，cosα＝－，sinα＝－. sin(－α)－cos(π＋α)－cossin＝－sinα＋cosα＋sinαcosα＝－－＋×＝. [素养训练2]　已知α是第三象限角，且 f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若cos＝，求f(α)． 解：(1)f(α)＝ ＝＝－cosα. (2)因为cos＝，所以sinα＝－. 又α是第三象限角， 所以cosα＝－＝－， 所以f(α)＝－cosα＝. 三、三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等． 典例3　(1)化简：＋； (2)求证：tan2x＋＝. [解]　(1)原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝＋＝＝. (2)证法一：左边＝＋＝ ＝ ＝＝＝ ＝＝ ＝右边． 故原等式得证． 证法二：右边＝ ＝＝ ＝ ＝＝tan2x＋＝左边． 故原等式得证． [素养训练3]　(1)化简：； (2)求证： ＝tanx. 解：(1)原式 ＝ ＝· ＝·＝. (2)证法一：左边 ＝ ＝＝ ＝＝tanx＝右边． 故原等式成立． 证法二：左边 ＝ ＝ ＝＝ ＝＝tanx＝右边． 故原等式成立． 四、三角函数求值　　 1．“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数． 2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，一般用已知角表示所求角． 3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再根据角的范围，确定角． 典例4　已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈. (1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值． [解]　(1)由题意，得(sinα＋cosα)2＝， 即1＋sin2α＝，∴sin2α＝， 又易知2α∈， ∴cos2α＝＝， ∴tan2α＝＝. (2)∵β∈，β－∈，sin＝， ∴cos＝， ∴sin＝2sincos＝. 又sin＝－cos2β，∴cos2β＝－. 又易知2β∈，∴sin2β＝. 又cos2α＝＝，α∈， ∴cosα＝，∴sinα＝， ∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－. [素养训练4]　(1)求值： ①； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)． 解：①原式＝ ＝ ＝＝sin30°＝. ②设α＝θ＋15°， 则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cosα ＝＋－cosα＝0. (2)已知tanα＝－，tanβ＝－，且<α<π，－π<β<0，求2α＋β的值． 解：因为<α<π，tanα＝－，所以<α<π. 因为－π<β<0，tanβ＝－，所以－<β<0. 于是<2α＋β<2π. 又tan2α＝＝＝－， tan(2α＋β)＝ ＝＝－1， 所以2α＋β＝. 五、三角函数的图象 1．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 (1)列表，由ωx＋φ＝0，，π，，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 　　(2)在同一坐标系中描出各点． (3)用光滑的曲线连接这些点，进而形成图象． 2．由图象或部分图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数 (1)A：由最大值、最小值来确定A. (2)ω：通过求周期T来确定ω. (3)φ：利用已知点列方程求出． 典例5　某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x －1 5 Asin(ωx＋φ) 0 2 －2 0 (1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； (2)将f(x)的图象向右平移3个单位长度，然后把曲线上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到g(x)的图象．若关于x的方程g(x)＝a2－a在x∈上有解，求实数a的取值范围． [解]　(1) ωx＋φ 0 π 2π x －4 －1 2 5 8 Asin(ωx＋φ) 0 2 0 －2 0 f(x)＝2sin. (2)由题意可得g(x)＝2sin， ∵x∈，∴x＋∈[0，π]， ∴sin∈[0，1]， ∴0≤g(x)≤2，即0≤a2－a≤2， 解得－1≤a≤0或1≤a≤2， 即实数a的取值范围为[－1，0]∪[1，2]． [素养训练5]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图象． (1)求此函数的解析式； (2)分析一下该函数的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？ 解：(1)由图象知， A＝＝， k＝＝－1， T＝2×＝π， ∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)－1. 当x＝时，2×＋φ＝， ∴φ＝. ∴所求函数的解析式为y＝sin－1. (2)把y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，然后把图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin的图象，再把横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin的图象，最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位长度，得到y＝sin－1的图象． 六、三角函数的性质 1．三角函数的周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为. 2．三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式． 3．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sinx，cosx的有界性． (2)从y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误． 4．求三角函数的单调区间：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． 典例6　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示． (1)直接写出A，ω，φ的值； (2)求f(x)的对称中心和单调递增区间； (3)当x∈时，求f(x)的最值，并指出取最值时x的值． [解]　(1)由题图可知， A＝＝＝2， 函数f(x)的最小正周期T满足T＝－＝，则T＝π，故ω＝＝2， 所以f(x)＝2sin(2x＋φ)， 因为f＝2sin＝2， 可得sin＝1， 所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)， 则φ＝2kπ－(k∈Z)， 因为|φ|<π，所以φ＝－， 综上，A＝2，ω＝2，φ＝－. (2)由(1)可得f(x)＝2sin， 由2x－＝kπ(k∈Z)，可得x＝＋(k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心为(k∈Z)． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (3)当x∈时，－≤2x－≤， 故当2x－＝－，即x＝时，函数f(x)取得最小值， 即f(x)min＝f＝2sin＝－1， 当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值， 即f(x)max＝f＝2sin＝2. [素养训练6]　(新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间． 解：(1)由题意，得f(0)＝cosφ＝， 又0≤φ<π，所以φ＝. (2)由(1)可知f(x)＝cos， 所以g(x)＝f(x)＋f ＝cos＋cos2x ＝cos2x－sin2x＋cos2x ＝cos2x－sin2x ＝cos， 所以函数g(x)的值域为[－，]． 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z. 七、三角恒等变换的综合应用 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：利用三角恒等变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质． 典例7　已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求f(x)的最值； (3)当x∈时，关于x的不等式af－f≥4有解，求实数a的取值范围． [解]　(1)由题意，得函数 f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－ ＝sin2x＋cos2x ＝2＝2sin， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)当x∈时，2x＋∈， 所以sin∈， 则f(x)∈[－，2]，当2x＋＝－，即x＝－时，函数f(x)取得最小值，为－； 当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，为2. (3)由题意，得x∈时，af－f＝2asinx－2cos2x≥4有解， 而此时sinx>0，即a≥有解， 只需要a≥即可， ＝＝－2sinx，x∈，令t＝sinx，t∈，则y＝－2t在上单调递减，所以当t＝1时，ymin＝1，即＝1，所以a≥1，即实数a的取值范围为{a|a≥1}． [素养训练7]　已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx(ω>0)，其相邻两个对称中心之间的距离为. (1)求函数f(x)的表达式； (2)求函数f(x)的单调递减区间； (3)设g(x)＝f(x)－m，若函数g(x)在x∈上有两个不同零点，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx ＝＋sin2ωx ＝＋cos2ωx＋sin2ωx ＝＋sin， ∵相邻两个对称中心之间的距离为＝， ∴函数f(x)的周期T＝＝π，解得ω＝1， ∴f(x)＝＋sin. (2)由(1)知，f(x)＝＋sin， 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 故函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)． (3)由函数y＝f(x)的单调性可知，f(x)在上单调递增，函数值从0增大到，在上单调递减，函数值从减小到1， 作出函数y＝f(x)在上的图象，如图， 由g(x)＝0，得f(x)＝m，函数g(x)在x∈上有两个不同零点， 即直线y＝m与函数y＝f(x)在上的图象有两个交点，此时1≤m<， 所以实数m的取值范围是. 15 学科网（北京）股份有限公司 $