5.6.1 5.6.2 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 5.6.1　匀速圆周运动的数学模型 5.6.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (教师独具内容) 课程标准：1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数变化对函数图象的影响． 教学重点：1.能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象． 教学难点：函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的综合变换． 核心素养：通过函数图象的变换，培养直观想象素养． 知识点一　参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 (2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 (3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 知识点二　由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的途径 由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． (1)先平移后伸缩 y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象 y＝sin(ωx＋)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． (2)先伸缩后平移 y＝sinx的图象y＝sinωx的图象 y＝sin(ωx＋φ)的图象 y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 1．(平移变换求解析式)将函数y＝cosx的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式是(　　) A．y＝cos B．y＝cos C．y＝cosx－ D．y＝cosx＋ 答案：A 2．(伸缩变换的过程)为了得到函数y＝sin，x∈R的图象，只需将函数y＝sin，x∈R的图象上的所有点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案：A 3．(伸缩变换求解析式)将函数y＝cosx图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，所得图象的解析式为________． 答案：y＝cos4x 4．(平移变换求平移长度)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________． 答案： 题型一　函数y＝sin(x＋φ)图象的平移变换 例1　(1)将函数y＝sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度，得到的函数图象的解析式为(　　) A．y＝sinx B．y＝－sinx C．y＝cosx D．y＝－cosx [解析]　将函数y＝sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度，得到y＝sin(x－π)＝－sinx的图象．故选B. [答案]　B (2)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cosx的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 [解析]　函数y＝sin＝cos＝cos＝cos，所以只需将函数y＝cosx的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝cos的图象．故选B. [答案]　B 【感悟提升】三角函数图象的平移变换 (1)左右平移 ①观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数； ②方向遵循“左加右减”的规律． (2)上下平移 平移规律为“上加下减”，即：若将函数y＝sinx的图象沿y轴向上(下)平移k(k>0)个单位长度，则得到的函数图象的解析式为y＝sinx＋k(y＝sinx－k)． 【跟踪训练】 1．(1)要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：B 解析：因为y＝cos＝sin＝sin，所以要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos＝sin的图象向右平移个单位长度．故选B. (2)将函数y＝5＋sin2x的图象向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式的最大值为________，最小值为________． 答案：3　1 解析：将函数y＝5＋sin2x的图象向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝2＋sin2x，故最大值为3，最小值为1. 题型二　三角函数图象的伸缩变换 例2　(1)将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图象的解析式为(　　) A．y＝3sin2x B．y＝2sin3x C．y＝3sinx D．y＝sinx [解析]　将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sinx的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sinx的图象．故选C. [答案]　C (2)将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，所得到的函数图象的解析式为________． [解析]　将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，所得到的函数图象的解析式为y＝sin2x. [答案]　y＝sin2x 【感悟提升】三角函数图象的伸缩变换 (1)横向伸缩 已知ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝sinωx. (2)纵向伸缩 已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝Asinx. 【跟踪训练】 2．(1)将函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到的函数图象的解析式为(　　) A．y＝sin B．y＝cos2x C．y＝sin D．y＝sin 答案：A 解析：将函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到的函数图象的解析式为y＝sin. (2)将函数y＝sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象的解析式为________． 答案：y＝sin 解析：将函数y＝sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象． 题型三　三角函数图象的综合变换与“五点法”作图 例3　已知函数y＝sinx＋1与y＝3sin＋3. (1)由函数y＝sinx＋1的图象经过怎样的变换可得到函数y＝3sin＋3的图象？ (2)用“五点法”画出函数y＝3sin＋3在一个周期内的图象． [解]　(1)途径1：将函数y＝sinx＋1图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到y＝3sinx＋3的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝3sin＋3的图象，最后沿x轴向左平移个单位长度，即可得到函数y＝3sin＋3的图象． 途径2：将函数y＝sinx＋1图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到y＝3sinx＋3的图象，再沿着x轴向左平移个单位长度，得到y＝3sin＋3的图象，最后将横坐标伸长到原来的2倍，即可得到函数y＝3sin＋3的图象．如图1. (2)列表： ＋ 0 π 2π x － y＝f(x) 3 6 3 0 3 　　描点，画出图象如图2. 【感悟提升】 1．三角函数图象的综合变换 (1)由y＝sinx的图象变换到y＝sin(ωx＋φ)的图象可以先平移再伸缩，或者先伸缩再平移．先平移再伸缩，平移的量是|φ|个单位长度，先伸缩再平移，平移的量是(ω＞0)个单位长度． (2)沿x轴平移变换是针对x而言的，是x加减多少，而不是ωx加减多少． 2．“五点法”作图的实质和步骤 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 第一步：列表： ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 　　第二步：在同一坐标系中描出各点； 第三步：用光滑的曲线连接这些点，形成图象． 【跟踪训练】 3．作出函数y＝3sin在一个周期内的图象，并说明它与y＝sinx的图象之间的关系． 解：列表： 2x＋ 0 π 2π x － 3sin 0 3 0 －3 0 描点、画图，如图： 从图可以看出，y＝3sin的图象是用下面方法得到的． 解法一： y＝sinx的图象y＝sin的图象y＝sin的图象y＝3sin的图象． 解法二： y＝sinx的图象y＝sin2x的图象y＝sin＝sin的图象y＝3sin的图象． 1．要得到函数y＝3sin的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：C 解析：因为y＝3sin＝3sin，所以只需将函数y＝3sin2x的图象向左平移个单位长度，即可得到函数y＝3sin的图象． 2．将函数y＝sinx图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：C 解析：将函数y＝sinx图象上所有的点向右平移个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为y＝sin.故选C. 3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图1所示，则图2的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝f B.y＝f(2x＋1) C．y＝f D.y＝f 答案：B 解析：观察图象可知，题图2的图象是由题图1的图象向左平移1个单位长度后得y＝f(x＋1)的图象，再把y＝f(x＋1)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到的，所以题图2的图象对应的函数解析式为y＝f(2x＋1)．故选B. 4．将函数y＝sin图象上所有点的纵坐标__________(填“伸长”或“缩短”)为原来的__________倍，横坐标保持不变，得到函数y＝3sin的图象． 答案：伸长　3 解析：由三角函数图象的伸缩规律可知，将函数y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标保持不变，得到函数y＝3sin的图象． 5．利用“五点法”作函数y＝2sin的图象时，所取的五个点的坐标为________________________________________． 答案：，，，， 解析：令3x－＝0，，π，，2π，得x＝，，，，，故五个点的坐标是，，，，. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对点 三角函数图象的平移变换 由三角函数图象的伸缩变换求参数值 三角函数图象的平移变换 三角函数图象的平移变换 由三角函数图象的平移、伸缩变换判断函数图象 由三角函数图象的平移、伸缩变换求函数值 由三角函数图象的平移、伸缩变换求参数值 三角恒等变换与三角函数图象平移变换的综合 三角函数图象的平移变换 由三角函数图象的平移变换求参数值 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 三角恒等变换与三角函数图象平移变换的综合 由三角函数图象的平移变换求函数解析式 由三角函数图象的平移变换求参数最值 由三角函数图象的平移变换求参数值 三角函数图象的平移变换与直线交点问题的综合 辅助角公式；由三角函数图象的平移变换求三角函数值 由三角函数图象的平移、伸缩变换求参数值 由三角函数图象的平移变换求参数值 “五点法”作图与三角函数图象变换的综合 一、单项选择题 1．要得到函数y＝2sin的图象，只需把函数y＝2sinx的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：C 解析：要得到函数y＝2sin的图象，只需把函数y＝2sinx的图象向左平移个单位长度．故选C. 2．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到函数图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为(　　) A．2 B. C．4 D. 答案：B 解析：由题意可知得到函数图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝. 3．要得到函数y＝sin2x的图象，可将函数y＝cos的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：B 解析：y＝cos＝sin＝sin＝sin，所以要得到函数y＝sin2x的图象，可将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度．故选B. 4．要得到函数y＝sin＋2的图象，只需将函数y＝cos的图象(　　) A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 答案：B 解析：要得到函数y＝sin＋2＝sin＋2的图象，只需将函数y＝cos＝sin2x的图象先向左平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再向上平移2个单位长度，得到函数y＝sin＋2的图象．故选B. 5．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　) 答案：A 解析：把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cosx＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象．故选A. 6．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f＝(　　) A. B．0 C. D．1 答案：B 解析：函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到函数图象的解析式为y＝sin，再向右平移个单位长度得到函数图象的解析式为y＝sin＝sin2x，即f(x)＝sin2x，则f＝sinπ＝0.故选B. 7．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sinx，则(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ 答案：B 解析：将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin2x，再将此函数图象向右平移个单位长度可得y＝sin的图象，即y＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－. 8．为了得到函数f(x)＝3cos＋1的图象，可将函数g(x)＝3sin2x＋6sinxcosx－3cos2x＋1的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：D 解析：由已知f(x)＝3cos＋1＝3cos＋1，g(x)＝3sin2x＋6sinxcosx－3cos2x＋1＝3sin2x－3cos2x＋1＝3sin＋1＝3sin＋1＝3cos＋1＝3cos＋1＝3cos＋1，所以将函数g(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到函数f(x)的图象．故选D. 二、多项选择题 9．为了得到函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：AD 解析：函数y＝sin的图象平移|φ|个单位长度后，所得函数图象的解析式为y＝sin＝sin＝sin2x，于是有2φ＋＝2kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)，所以令k＝0，得φ＝－，令k＝1，得φ＝.故选AD. 10．若函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数y＝cos2ωx的图象重合，则ω的值可能为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：ABD 解析：函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后所得函数图象的解析式为y＝sin＝sin，它与函数y＝cos2ωx的图象重合，则－π＝2kπ＋，k∈Z，解得ω＝－6k－，k∈Z，只有A，B，D满足条件．故选ABD. 11．为了得到函数y＝2sin2x的图象，下列变换正确的是(　　) A．将函数y＝(sinx＋cosx)2的图象向右平移个单位长度 B．将函数y＝1－cos2x的图象向左平移个单位长度 C．将函数y＝2sin2的图象向右平移个单位长度 D．将函数y＝2sin2的图象向左平移个单位长度 答案：AC 解析：将函数y＝(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝1＋sin＝1＋sin＝1－cos2x＝2sin2x的图象，故A正确；将函数y＝1－cos2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝1－cos＝1＋sin2x的图象，故B错误；将函数y＝2sin2＝1－cos的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝1－cos＝1－cos2x＝2sin2x的图象，故C正确，D错误．故选AC. 三、填空题 12．将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________________． 答案：y＝－cos2x－3 解析：将y＝cos的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos2x的图象，再向下平移3个单位长度得到y＝－cos2x－3的图象． 13．若函数f(x)＝|sin(ωx＋φ)|(ω>0)的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象与f(x)的图象重合，则ω的最小值为________． 答案：3 解析：f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝＝的图象，因为两图象重合，所以＝kπ，k∈Z，即ω＝3k，k∈Z，因为ω>0，所以ω的最小值为3. 14．已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin2x的图象平移φ个单位长度得到，这两个函数的部分图象如图所示，则满足题意的一个φ可以为________． 答案：(答案不唯一) 解析：f(x)＝sin2x的图象在y轴右侧的第一条对称轴为直线x＝，则图象中与x＝处函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，故φ＝－＝. 15．函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos＝cos＝－sin2x的图象，所以f(x)＝－sin2x，而直线y＝x－显然过与(1，0)两点，作出y＝f(x)与直线y＝x－的部分图象如图，所以由图可知，y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为3.故选C. 16．若将函数f(x)＝3sinx－2cosx的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝3sinx＋2cosx的图象，则cosφ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：f(x)＝3sinx－2cosx＝sin(x－θ)，则cosθ＝，g(x)＝3sinx＋2cosx＝sin(x＋θ).由f(x)的图象向左平移φ个单位长度得g(x)＝f(x＋φ)＝sin(x＋φ－θ)＝sin(x＋θ)，所以φ－θ＝θ＋2kπ，k∈Z，所以φ＝2θ＋2kπ，k∈Z，所以cosφ＝cos2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝.故选D. 17．将函数f(x)＝asinxcosx(a>0)的图象至少向左平移(b>0)个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数g(x)＝sin的图象，则ab＝________． 答案：10 解析：函数f(x)＝asinxcosx＝sin2x，从而有g(x)＝sin＝sin，故＝1，a＝2，＝－＋2kπ，k∈Z，所以b＝5，从而ab＝10. 18．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象，如图所示．若图中阴影部分的面积为，则θ＝________． 答案： 解析：根据正弦型函数图象的对称性可知，阴影部分的面积等于一个长为2，宽为θ的矩形的面积，所以2θ＝，即θ＝. 19．已知函数f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋. (1)用“五点法”在下面直角坐标系中作出该函数在上的图象(要求先列表，后描点连线)； (2)f＝4cosα，求的值； (3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式． 解：(1)因为f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋ ＝2sinxcosx－(2cos2x－1) ＝sin2x－cos2x ＝2sin， 则f(x)在上的函数值列表如下： 2x－ 0 π 2π x f(x) 0 2 0 －2 0 所以f(x)在上的图象如图． (2)因为f(x)＝2sin， 所以f ＝2sin ＝2sinα＝4cosα， 则tanα＝2， 所以＝＝＝1. (3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝2sin＝2sin的图象，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象，即g(x)＝2sin. 3 学科网（北京）股份有限公司 $