4.4.2 第2课时 对数函数性质的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　对数函数性质的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.了解并掌握对数函数的图象、性质及单调性.2.知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 教学重点：对数函数的单调性及应用． 教学难点：对数函数性质的综合应用． 核心素养：借助对数函数性质的综合应用，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　反函数的概念 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． 知识点二　指数函数与对数函数的关系 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax(a＞0，且a≠1) y＝logax(a＞0，且a≠1) 图象 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 单调性 当a＞1时，单调递增； 当0＜a＜1时，单调递减 当a＞1时，单调递增； 当0＜a＜1时，单调递减 函数值的变化情况 当a＞1时，若x＞0，则y＞1；若x＜0，则0＜y＜1.当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1；若x＜0，则y＞1 当a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0.当0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0 1．(对数函数的反函数)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，9)，则a＝(　　) A. B．2 C. D．3 答案：D 2．(指数函数的反函数)函数y＝的反函数为________． 答案：y＝logx 3．(与对数函数有关的值域问题)函数f(x)＝ln (x2＋1)的值域是________． 答案：[0，＋∞) 题型一　反函数的应用 例1　(1)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(1，e)，则函数f(x)的反函数g(x)＝________． [解析]　由题可得，a＝e，故f(x)＝ex，其定义域为R，值域为(0，＋∞)，故f(x)的反函数为g(x)＝ln x. [答案]　ln x (2)已知函数f(x)＝log3x与y＝g(x)互为反函数，则g(2)＝________． [解析]　由对数函数的反函数为同底数的指数函数可得g(x)＝3x，故g(2)＝32＝9. [答案]　9 【感悟提升】互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (4)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线y＝x对称． 【跟踪训练】 1．(1)函数f(x)与函数g(x)互为反函数，若f(x)＝，且x∈(0，＋∞)，则函数g(x)的定义域为(　　) A．(0，＋∞) B．R C．(0，1) D．(1，＋∞) 答案：C 解析：∵当x∈(0，＋∞)时，∈(0，1)，∴函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)的值域为(0，1)，又f(x)与g(x)互为反函数，故函数g(x)的定义域为(0，1)．故选C. (2)函数y＝log4x的反函数为________，它们的图象关于直线________对称． 答案：y＝4x　y＝x 解析：函数y＝log4x和函数y＝4x互为反函数，y＝log4x和y＝4x的图象关于直线y＝x对称． 题型二　与对数函数有关的值域问题 例2　求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log(3＋2x－x2)． [解]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R. 因为x2＋4≥4， 所以log2(x2＋4)≥log24＝2. 所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4. 因为u>0，所以0<u≤4. 又y＝logu在(0，4]上为减函数， 所以logu≥log4＝－2， 所以y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． 【感悟提升】形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的函数的值域的求解步骤 (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数． (2)求f(x)的定义域． (3)求u的取值范围． (4)利用y＝logau的单调性求解． 注意：当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化． 【跟踪训练】 2．求函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域． 解：令u＝x2＋2x＋4， 则u＝(x＋1)2＋3≥3. 所以log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1， 即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞)． 题型三　对数函数性质的综合应用 例3　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝log2(－x＋1)． (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式xf(x)≥0. [解]　(1)设x>0， 则－x<0，f(－x)＝log2(x＋1)， 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝log2(x＋1)． 综上，f(x)＝ (2)当x>0时，xf(x)≥0， 即f(x)≥0，log2(x＋1)≥0＝log21， 所以x＋1≥1，得x∈(0，＋∞)； 当x＝0时，xf(x)＝0，符合题意； 当x<0时，xf(x)≥0，即f(x)≤0，log2(－x＋1)≤0＝log21， 由于－x＋1>1，故不等式无解． 综上，不等式xf(x)≥0的解集为[0，＋∞)． 【感悟提升】解决对数函数性质综合应用问题的策略 (1)在研究函数的单调性、奇偶性、解不等式时都要先求定义域． (2)解对数不等式时，关键是利用对数函数的单调性转化为常见的不等式． (3)若函数图象容易作出，则可以结合图象研究函数的性质从而解决问题． 【跟踪训练】 3．已知f(x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)． (1)指出函数f(x)的定义域，并求f，f，f，f的值； (2)观察(1)中的函数值，请你猜想函数f(x)的一个性质，并证明你的猜想； (3)解不等式f(1＋x)＋ln 3>0. 解：(1)要使函数有意义， 则⇒⇒－1<x<1， 所以函数f(x)的定义域是(－1，1)． f＝ln －ln＝ln 2； f＝ln －ln＝ln 3； f＝ln －ln＝－ln 3； f＝ln－ln＝－ln 2. (2)由(1)得f＝－f，f＝－f，猜想函数f(x)是奇函数．证明如下： f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称， 又f(－x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． (3)f(1＋x)＋ln 3＝ln (－x)－ln (2＋x)＋ln 3＝ln (－3x)－ln (2＋x)>0， 所以ln (－3x)>ln (2＋x)， 原不等式等价于 ⇒⇒－2<x<－， 所以原不等式的解集为. 1．设函数y＝f(x)与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f(8)＝(　　) A．2 B．3 C．8 D．16 答案：B 解析：由题意可得函数y＝f(x)与y＝2x互为反函数，所以f(x)＝log2x，所以f(8)＝log28＝3. 2．已知函数f(x)＝logx，x∈，则f(x)的值域是(　　) A. B. C．[0，2] D. 答案：A 解析：因为函数f(x)＝logx，x∈是减函数，所以函数f(x)的最小值为f＝log＝，最大值为f＝log＝2.所以函数f(x)的值域为. 3．(多选)已知函数f(x)＝ln (2x＋1)－ln (2x－1)，则(　　) A．f(x)的定义域为(0，＋∞) B．f(x)的值域为(0，＋∞) C．f(x)为减函数 D．f(x)为奇函数 答案：ABC 解析：由解得x>0，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，A正确；f(x)＝ln ＝ln ，因为1＋>1，所以ln >0，所以f(x)的值域为(0，＋∞)，B正确；因为函数y＝1＋在(0，＋∞)上单调递减，函数y＝ln t在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在定义域内单调递减，C正确；f(x)的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误．故选ABC. 4．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(1，10)，则函数f(x)的反函数g(x)＝________． 答案：lg x 解析：函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(1，10)，则a＝10，所以f(x)＝10x，故f(x)的反函数g(x)＝lg x. 5．函数f(x)＝log5x＋的最小值为________． 答案：1 解析：由得x≥5，则f(x)的定义域为[5，＋∞)．因为y＝log5x，y＝在[5，＋∞)上都是增函数，所以f(x)在[5，＋∞)上是增函数，所以f(x)的最小值为f(5)＝1. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 反函数的应用 反函数的应用；对数型函数的图象识别 对数型函数的最值问题 反函数的应用 对数型函数的图象识别 利用对数型函数的奇偶性求函数值 对数型函数的定义域与值域 利用对数型函数的奇偶性求参数值 指数函数的反函数 指数型函数、对数型函数的图象识别 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 对数型函数的值域 对数型函数的值域 反函数的应用 由对数函数的最值求参数值 指数、对数型函数的最值 指数、对数型函数的奇偶性与单调性的应用 对数型函数的最值 对数型函数性质的综合应用 对数型函数性质的综合应用 一、单项选择题 1．下列函数的图象与函数y＝的图象关于直线y＝x对称的是(　　) A．y＝4x B．y＝4－x C．y＝logx D．y＝log4x 答案：C 解析：因为函数y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y＝x对称，因此函数y＝logx的图象与函数y＝的图象关于直线y＝x对称．故选C. 2．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数在定义域内单调递增，则函数f(x)＝loga(x－1)的图象大致是(　　) 答案：D 解析：由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数在定义域内单调递增，可得a>1，所以函数f(x)＝loga(x－1)的图象在(1，＋∞)上单调递增，又f(2)＝0，故选D. 3．函数y＝log2(x－2)在区间[3，4]上的最大值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：B 解析：因为x∈[3，4]，所以x－2∈[1，2]，所以log2(x－2)∈[0，1]，其最大值为1.故选B. 4．已知函数y＝f(x)与y＝log3x互为反函数，则f(2)＝(　　) A．8 B．9 C．log23 D．log32 答案：B 解析：由y＝log3x，得x＝3y，∴y＝log3x的反函数为f(x)＝3x，∴f(2)＝32＝9. 5．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为(　　) 答案：A 解析：由|x|－1>0，得x>1或x<－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；显然函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.故选A. 6．函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3(2x＋1)，则f(－4)的值为(　　) A．－2 B．－ C. D．2 答案：A 解析：当x>0时，f(x)＝log3(2x＋1)，则f(4)＝log39＝2，又函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－2.故选A. 7．已知函数f(x)＝aln x，g(x)＝ln xa，其中a∈N*，则下列说法中错误的是(　　) A．若a为偶数，则f(x)与g(x)的定义域相同 B．若a为奇数，则f(x)与g(x)的定义域相同 C．若a为偶数，则f(x)与g(x)的值域相同 D．若a为奇数，则f(x)与g(x)的值域相同 答案：A 解析：若a为偶数，则f(x)＝aln x的定义域为(0，＋∞)，g(x)＝ln xa的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f(x)与g(x)的定义域不相同；g(x)＝ln xa为偶函数，当x>0时，g(x)＝aln x＝f(x)，所以f(x)与g(x)的值域相同．若a为奇数，则f(x)与g(x)的定义域均为(0，＋∞)；g(x)＝aln x＝f(x)，所以f(x)与g(x)的值域相同．故选A. 8．若函数f(x)＝ln (＋bx)是奇函数，则b的值为(　　) A．±2 B．2 C．－2 D．4 答案：A 解析：由函数f(x)＝ln (＋bx)是奇函数，得f(x)＋f(－x)＝0，即ln (＋bx)＋ln (－bx)＝ln [(4－b2)x2＋1]＝0，则(4－b2)x2＋1＝1，即(4－b2)x2＝0，而x不恒为0，因此4－b2＝0，解得b＝±2，此时＋bx>2|x|＋bx≥0，函数f(x)的定义域为R，符合题意，所以b＝±2.故选A. 二、多项选择题 9．若函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(x2)＝2f(|x|) B．f(2x)＝f(x)＋f(2) C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x) 答案：ABC 解析：∵函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，∴f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．f(x2)＝logax2＝2loga|x|＝2f(|x|)，A正确；f(2x)＝loga(2x)＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)≠2f(x)，B正确，D错误；f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，C正确．故选ABC. 10．已知a>0，且a≠1，则函数f(x)＝loga|x|，g(x)＝ax＋2在同一坐标系中的大致图象可能是(　　) 答案：AC 解析：易知f(x)为偶函数．当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)在R上单调递增，图象可能是A；当0<a<1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，图象可能是C.故选AC. 11．已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4，8]，则下列函数中与f(x)的值域相同的函数是(　　) A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1) C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)| 答案：BD 解析：函数f(x)＝log2x在[4，8]上单调递增，f(4)＝log24＝2，f(8)＝log28＝3，所以f(x)的值域为[2，3]．对于A，y＝f(x)＋1的值域为[3，4]，故A不符合题意；对于B，因为f(x)＝log2x的定义域是[4，8]，所以4≤x＋1≤8，f(x＋1)＝log2(x＋1)∈[2，3]，所以y＝f(x＋1)的值域为[2，3]，故B符合题意；对于C，y＝－f(x)的值域为[－3，－2]，故C不符合题意；对于D，y＝|f(x)|的值域为[2，3]，故D符合题意．故选BD. 三、填空题 12．函数f(x)＝lg (－x2＋4x)的值域为________． 答案：(－∞，lg 4] 解析：由－x2＋4x＝－x(x－4)>0，解得0<x<4，所以函数f(x)的定义域是(0，4)，二次函数y＝－x2＋4x(0<x<4)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，所以y＝－x2＋4x∈(0，4]，又函数y＝lg x在(0，4]上单调递增，所以f(x)的值域是(－∞，lg 4]． 13．若点P(2，4)在函数f(x)＝logax的图象上，点Q(m，16)在f(x)的反函数的图象上，则m＝________． 答案：16 解析：因为点P(2，4)在函数f(x)＝logax的图象上，所以4＝loga2，得a4＝2，因为f(x)＝logax的反函数为y＝ax，且点Q(m，16)在f(x)的反函数的图象上，所以16＝am，因为a4＝2，所以16＝a16，得m＝16. 14．已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在x∈[1，4]上的最大值与最小值的和是2，则a的值为________． 答案：2 解析：当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上为增函数，所以y＝logax在[1，4]上的最大值为loga4，最小值为loga1；当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上为减函数，所以y＝logax在[1，4]上的最大值为loga1，最小值为loga4.故有loga1＋loga4＝2，即loga4＝2，a2＝4，所以a＝±2.又a＞0，且a≠1，所以a＝2. 15．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝lg (10x＋1)，则g(x)的最小值为(　　) A．2 B. C．2lg 2 D．lg 2 答案：D 解析：因为函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝lg (10x＋1)，所以f(－x)＋g(－x)＝lg (10－x＋1)，得－f(x)＋g(x)＝lg (10－x＋1)，所以g(x)＝[lg (10x＋1)＋lg (10－x＋1)]＝lg [(10x＋1)(10－x＋1)]＝lg (2＋10x＋10－x)，因为10x＋10－x≥2＝2(当且仅当x＝0时，等号成立)，所以g(x)≥lg 4＝lg 2.故选D. 16．已知函数f(x)＝lg |x|＋2x＋2－x，且在(－∞，0)上单调递减，则(　　) A．f(3)>f(5)>f B．f(3)>f>f(5) C．f>f(3)>f(5) D．f(5)>f(3)>f 答案：C 解析：由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，又f(x)在上单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．f＝f(－log35)＝f(log35)，∵log35>1，1>3>5>5>0，∴log35>3>5>0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f＝f(log35)>f(3)>f(5)．故选C. 17．函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值之和为________． 答案： 解析：因为2≤x≤4，所以log4≤logx≤log2，即－2≤logx≤－1.设t＝logx，则－2≤t≤－1，所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.故最大值和最小值之和为. 18．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即log＝－log＝log， 解得a＝－1或a＝1(舍去)． (2)f(x)＋log(x－1) ＝log＋log(x－1) ＝log(1＋x)， 当x＞1时，log(1＋x)＜－1， ∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立， ∴m≥－1. 即实数m的取值范围为[－1，＋∞)． 19．已知函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)． (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)判断函数y＝f(x)的奇偶性； (3)若f(m－2)＜f(m)，求m的取值范围． 解：(1)要使函数f(x)有意义，则 解得－2<x<2. ∴函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}． (2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，关于原点对称， 又f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝f(x)， ∴函数y＝f(x)为偶函数． (3)∵函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)， 当0≤x<2时，函数y＝f(x)为减函数， 当－2<x<0时，函数y＝f(x)为增函数， 又函数y＝f(x)为偶函数， ∴不等式f(m－2)<f(m)等价于 解得0＜m＜1. ∴m的取值范围是(0，1). 13 学科网（北京）股份有限公司 $